Ruch po okręgu

Współrzędne punktu na okręgu jednostkowym to $(\cos\alpha,\ \sin\alpha)$. Dla $\alpha=0$:

$$(\cos0,\ \sin0)=(1,\ 0)$$

Odpowiedź: B. $(1,\ 0)$.

$$(\cos\tfrac{\pi}{2},\ \sin\tfrac{\pi}{2})=(0,\ 1)$$

Interpretacja: obrót o $90^\circ$ przenosi punkt z $(1,0)$ na szczyt okręgu.

Odpowiedź: $(0,\ 1)$.

Okres $T$ to czas jednego pełnego obrotu ($2\pi$ radianów).

Prędkość kątowa: $\omega=\frac{2\pi}{T}$.

Odpowiedź: C. $T$ sekund.

$$(\cos\pi,\ \sin\pi)=(-1,\ 0)$$

Interpretacja: obrót o $180^\circ$ przenosi punkt na przeciwną stronę okręgu.

Odpowiedź: $(-1,\ 0)$.

Dla okręgu o promieniu $r$ współrzędne to $(r\cos\alpha,\ r\sin\alpha)$:

$$x=2\cos\frac{\pi}{6}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$$

$$y=2\sin\frac{\pi}{6}=2\cdot\frac12=1$$

Odpowiedź: $(\sqrt3,\ 1)$.

$$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$$

Odpowiedź: B. $\frac{\pi}{2}$.

Krok 1 — sprowadzamy kąt do jednego obrotu. Odejmujemy pełny obrót $2\pi$:

$$\frac{5\pi}{2}-2\pi=\frac{5\pi}{2}-\frac{4\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$$

Krok 2 — współrzędne dla $\frac{\pi}{2}$:

$$(\cos\tfrac{\pi}{2},\ \sin\tfrac{\pi}{2})=(0,\ 1)$$

Interpretacja: obrót o $\frac{5\pi}{2}$ to jeden pełny obrót plus ćwierć — kończy na szczycie okręgu.

Odpowiedź: $(0,\ 1)$.

Krok 1 — kąt obrotu. Pełny obrót ($2\pi$) trwa $60$ minut, więc $15$ minut to ćwierć obrotu:

$$\alpha=\frac{15}{60}\cdot2\pi=\frac{\pi}{2}$$

Krok 2 — droga końca wskazówki to długość łuku:

$$l=r\alpha=10\cdot\frac{\pi}{2}=5\pi\approx15{,}7\ \text{cm}$$

Interpretacja. Koniec wskazówki porusza się ruchem jednostajnym po okręgu — w $15$ min pokonuje ćwierć obwodu.

Odpowiedź: kąt $\frac{\pi}{2}$, droga $5\pi$ cm.

Krok 1 — współrzędne punktu. Punkt na okręgu jednostkowym odpowiadający kątowi $\alpha$ ma współrzędne:

$$x=\cos\alpha,\qquad y=\sin\alpha$$

Krok 2 — podstawiamy do wyrażenia $x^2+y^2$:

$$x^2+y^2=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha$$

Krok 3 — jedynka trygonometryczna:

$$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1 \qquad ∎$$

Interpretacja. To dowód, że definicja sinusa i cosinusa przez okrąg jednostkowy jest spójna z równaniem tego okręgu $x^2+y^2=1$. Jedynka trygonometryczna to po prostu twierdzenie Pitagorasa dla promienia jednostkowego.

Sprawdzenie dla $\alpha=\frac{\pi}{4}$: $\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac12+\frac12=1$ ✔