Równania trygonometryczne (2)

1. $x=\frac\pi3$ lub $x=\pi-\frac\pi3=\frac{2\pi}3$.

Odpowiedź: $\tfrac\pi3,\ \tfrac{2\pi}3$

1. $2x=\pm\frac\pi3+2k\pi \Rightarrow x=\pm\frac\pi6+k\pi$.

Odpowiedź: $x=\pm\tfrac\pi6+k\pi,\ k\in\mathbb Z$

1. $t=\sin x$: $2t^2-t-1=0 \Rightarrow t=1$ lub $t=-\frac12$.
2. $\sin x=1 \Rightarrow x=\frac\pi2$.
3. $\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=\frac{7\pi}6$ lub $x=\frac{11\pi}6$.

Odpowiedź: $\tfrac\pi2,\ \tfrac{7\pi}6,\ \tfrac{11\pi}6$

1. $2\sin x\cos x-\cos x=0 \Rightarrow \cos x(2\sin x-1)=0$.
2. $\cos x=0$: $\frac\pi2$, $\frac{3\pi}2$.
3. $\sin x=\frac12$: $\frac\pi6$, $\frac{5\pi}6$.

Odpowiedź: $\tfrac\pi6,\ \tfrac\pi2,\ \tfrac{5\pi}6,\ \tfrac{3\pi}2$

1. $2(1-\sin^2x)+3\sin x-3=0 \Rightarrow 2\sin^2x-3\sin x+1=0$.
2. $\sin x=1$ lub $\sin x=\frac12$.
3. $x=\frac\pi2+2k\pi$; $x=\frac\pi6+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}6+2k\pi$.

Odpowiedź: $x=\tfrac\pi2+2k\pi$ lub $x=\tfrac\pi6+2k\pi$ lub $x=\tfrac{5\pi}6+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$

1. Gdyby $\cos x=0$, to $\sin^2x=0$ — sprzeczność z jedynką. Dzielimy przez $\cos^2x$:
2. $\operatorname{tg}^2x-(1+\sqrt3)\operatorname{tg} x+\sqrt3=0 \Rightarrow (\operatorname{tg} x-1)(\operatorname{tg} x-\sqrt3)=0$.
3. $\operatorname{tg} x=1 \Rightarrow x=\frac\pi4$; $\operatorname{tg} x=\sqrt3 \Rightarrow x=\frac\pi3$ (w $[0,\pi]$).

Odpowiedź: $\tfrac\pi4,\ \tfrac\pi3$

1. $\sin3x+\sin x=2\sin2x\cos x=0$.
2. $\sin2x=0 \Rightarrow x=\frac{k\pi}2$; $\cos x=0 \Rightarrow x=\frac\pi2+k\pi$ — zawiera się w poprzedniej serii.
3. Odpowiedź: $x=\frac{k\pi}2$.

Odpowiedź: $x=\tfrac{k\pi}2,\ k\in\mathbb Z$

1. $2\cos^2x-1+3\cos x+2=0 \Rightarrow 2\cos^2x+3\cos x+1=0$.
2. $\cos x=-\frac12$ lub $\cos x=-1$.
3. $x=\frac{2\pi}3$, $\frac{4\pi}3$, $\pi$.

Odpowiedź: $\tfrac{2\pi}3,\ \pi,\ \tfrac{4\pi}3$

1. $2\sin5x\cos3x=\sin8x+\sin2x$.
2. Równanie: $\sin8x+\sin2x=\sin8x+\frac12 \Rightarrow \sin2x=\frac12$.
3. $2x=\frac\pi6+2k\pi$ lub $2x=\frac{5\pi}6+2k\pi$, więc $x=\frac\pi{12}+k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$.

Odpowiedź: $x=\tfrac{\pi}{12}+k\pi$ lub $x=\tfrac{5\pi}{12}+k\pi$, $k\in\mathbb Z$

1. $\sin x(2\sin x-1)\gt 0 \iff \sin x\lt 0$ lub $\sin x\gt \frac12$.
2. $\sin x\gt \frac12$: $x\in\left(\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right)$.
3. $\sin x\lt 0$: $x\in(\pi,2\pi)$.
4. Suma: $\left(\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right)\cup(\pi,2\pi)$.

Odpowiedź: $x\in\left(\tfrac\pi6,\tfrac{5\pi}6\right)\cup(\pi,2\pi)$

1. $\sin\tfrac{\pi}{2}=1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D daje $-1$.

1. $\cos0=1$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A daje $-1$.

1. $\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$ i $\tfrac{\pi}{4}\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A daje $\cos=\tfrac{\sqrt3}{2}$, B daje $\cos=\tfrac12$, D daje $\cos=0$ i leży poza przedziałem.

1. $\sin x=0$ dla $x=k\pi$.
2. W przedziale $\langle0,2\pi\rangle$: $0$, $\pi$, $2\pi$ — trzy rozwiązania (końce należą do przedziału).

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A i B pomijają rozwiązania na końcach przedziału, C myli z równaniem sprzecznym.

1. $\sin x=\tfrac12$.
2. W $\langle0,2\pi\rangle$: $x=\tfrac{\pi}{6}$ lub $x=\pi-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6}$.

Odpowiedź: $x=\tfrac{\pi}{6}$ lub $x=\tfrac{5\pi}{6}$

1. $\sin x=1$ dla $x=\tfrac{\pi}{2}$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D daje $\sin x=-1$.

1. $\cos x=-1$ dla $x=\pi$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A daje $\cos x=1$.

1. $\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A daje $\tfrac{\sqrt3}{2}$.

1. $|\sin x|\le1$, a $2>1$.
2. Brak rozwiązań.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? Sinus nie przekracza $1$.

1. $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$.
2. $\tfrac{\pi}{3}\in\langle0,\tfrac{\pi}{2}\rangle$.

Odpowiedź: $x=\tfrac{\pi}{3}$.

1. $\tan\tfrac{\pi}{4}=1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B daje $\tan\tfrac{\pi}{3}=\sqrt3$.

1. $\cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac12$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A daje $\cos\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt3}{2}$.

1. $\cos x=0$ dla $x=\tfrac{\pi}{2}$ i $x=\tfrac{3\pi}{2}$.
2. Dwa rozwiązania.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A pomija drugie miejsce.

1. $\sin x=0$ dla $x=\pi$ (wewnątrz przedziału otwartego).

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A i C są poza przedziałem otwartym.

1. $\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}$.
2. W $\langle0,\pi\rangle$: $x=\tfrac{\pi}{6}$ (cosinus dodatni tylko w pierwszej ćwiartce).

Odpowiedź: $x=\tfrac{\pi}{6}$.

1. $\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C daje $\tfrac12$.

1. $\cos 0=1$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A daje $-1$.

1. $\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A daje $\tfrac12$.

1. $|\cos x|\le1$, a $3>1$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? Cosinus nie przekracza $1$.

1. $\cos x=\tfrac12$.
2. W $\langle0,\tfrac{\pi}{2}\rangle$: $x=\tfrac{\pi}{3}$.

Odpowiedź: $x=\tfrac{\pi}{3}$

Sinus zeruje się w punktach, gdzie wykres przecina oś:

$$x=0,\quad x=\pi \quad (\text{w } \langle0,\ 2\pi))$$

Ogólnie: $\sin x=0$ dla $x=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Odpowiedź: B. $x=0$ i $x=\pi$.

Cosinus osiąga wartość $1$ tylko na początku okresu:

$$x=0$$

Dlaczego tylko jeden punkt: $\cos x=1$ zachodzi dla $x=2k\pi$, a w przedziale $\langle0,\ 2\pi)$ mieści się jedynie $x=0$.

Odpowiedź: $x=0$.

Sinus osiąga maksimum $1$ w:

$$x=\frac{\pi}{2}$$

Interpretacja: to najwyższy punkt wykresu sinusa w pierwszym okresie.

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{2}$.

Cosinus przyjmuje wartości tylko z przedziału $\langle-1,\ 1\rangle$:

$$-1\le\cos x\le1$$

Ponieważ $2>1$, równanie nie ma rozwiązań.

Zawsze sprawdzaj zakres: zanim rozwiążesz równanie trygonometryczne, upewnij się, że wartość mieści się w $\langle-1,\ 1\rangle$.

Odpowiedź: C. brak rozwiązań.

Tangens jest zerem tam, gdzie sinus jest zerem (a cosinus różny od zera):

$$x=0,\quad x=\pi$$

Ogólnie: $\operatorname{tg}x=0$ dla $x=k\pi$.

Odpowiedź: $x=0$ oraz $x=\pi$.

Wartość $\frac12$ sinus osiąga dwukrotnie w jednym okresie — raz w pierwszej, raz w drugiej ćwiartce:

$$x=\frac{\pi}{6} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{5\pi}{6}$$

Zasada: dla wartości z wnętrza $(-1,\ 1)$ sinus daje zwykle dwa rozwiązania na okres.

Odpowiedź: A. $2$.

Krok 1 — kąt podstawowy. Wartość $\frac{\sqrt3}{2}$ odpowiada kątowi $\frac{\pi}{3}$ (czyli $60^\circ$).

Krok 2 — druga ćwiartka. Sinus jest dodatni także w drugiej ćwiartce, gdzie kąt to $\pi-\frac{\pi}{3}$:

$$x=\frac{\pi}{3} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{2\pi}{3}$$

Kontrola: $\sin\frac{2\pi}{3}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{3}$ lub $x=\frac{2\pi}{3}$.

Krok 1 — kąt podstawowy. Wartość bezwzględna $\frac12$ odpowiada kątowi $\frac{\pi}{3}$.

Krok 2 — ćwiartki. Cosinus jest ujemny w drugiej i trzeciej ćwiartce:

$$x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3},\qquad x=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$

Kontrola: $\cos\frac{2\pi}{3}=\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{2\pi}{3}$ lub $x=\frac{4\pi}{3}$.

Sinus zeruje się co pół okresu, w każdej wielokrotności $\pi$:

$$x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$$

Uwaga: odpowiedź B ($2k\pi$) obejmuje tylko $0,\ 2\pi,\ 4\pi,\dots$ — pomija $\pi,\ 3\pi,\dots$, gdzie sinus też jest zerem.

Odpowiedź: D. $x=k\pi$.

Krok 1 — izolujemy sinus:

$$2\sin x=1 \quad\Rightarrow\quad \sin x=\frac12$$

Krok 2 — rozwiązania. Wartość $\frac12$ odpowiada kątowi $\frac{\pi}{6}$, a sinus jest dodatni w I i II ćwiartce:

$$x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{5\pi}{6}$$

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{6}$ lub $x=\frac{5\pi}{6}$.

Sinus osiąga minimum $-1$ w:

$$x=\frac{3\pi}{2}$$

Interpretacja: to najniższy punkt wykresu sinusa w pierwszym okresie.

Odpowiedź: B. $x=\frac{3\pi}{2}$.

Krok 1 — pierwiastkujemy obie strony. Uwaga na oba znaki:

$$\cos x=\frac12 \quad\text{lub}\quad \cos x=-\frac12$$

Krok 2 — dla $\cos x=\frac12$:

$$x=\frac{\pi}{3},\qquad x=\frac{5\pi}{3}$$

Krok 3 — dla $\cos x=-\frac12$:

$$x=\frac{2\pi}{3},\qquad x=\frac{4\pi}{3}$$

Częsty błąd: pominięcie ujemnego pierwiastka. Z $\cos^2 x=\frac14$ wynikają cztery rozwiązania, nie dwa.

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}$.

Krok 1 — iloczyn jest zerem, gdy zeruje się czynnik:

$$\sin x=0 \quad\text{lub}\quad \cos x=0$$

Krok 2 — dla $\sin x=0$:

$$x=0,\qquad x=\pi$$

Krok 3 — dla $\cos x=0$:

$$x=\frac{\pi}{2},\qquad x=\frac{3\pi}{2}$$

Uwaga: zamiast mnożyć przez... lepiej rozłożyć na czynniki. Można też zauważyć, że $\sin x\cos x=\frac12\sin2x=0$, co daje ten sam zbiór.

Odpowiedź: $x\in\left\{0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\right\}$.

Tangens ma okres $\pi$, więc $\operatorname{tg}x=1$ powtarza się co $\pi$:

$$x=\frac{\pi}{4},\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}$$

Uwaga na okres. Tangens ma okres $\pi$ (nie $2\pi$ jak sinus i cosinus), dlatego oba rozwiązania różnią się o $\pi$.

Odpowiedź: A. $\frac{\pi}{4}$ i $\frac{5\pi}{4}$.

Krok 1 — izolujemy cosinus:

$$2\cos x=-\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad \cos x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Krok 2 — kąt podstawowy $\frac{\pi}{6}$, cosinus ujemny w II i III ćwiartce:

$$x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6},\qquad x=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$$

Kontrola: $\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{5\pi}{6}$ lub $x=\frac{7\pi}{6}$.

Cosinus osiąga $1$ raz na okres $2\pi$. W przedziale o długości $4\pi$ mieszczą się dwa okresy:

$$x=0 \quad\text{oraz}\quad x=2\pi$$

Uwaga na przedział: $4\pi$ jest wyłączone (nawias otwarty), więc go nie liczymy.

Odpowiedź: C. $2$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $t=\sin x$, gdzie $t\in\langle-1,\ 1\rangle$:

$$2t^2+t-1=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$\Delta=1+8=9,\qquad t=\frac{-1\pm3}{4}$$

$$t_1=\frac12,\qquad t_2=-1$$

Krok 3 — wracamy do $x$ dla $\sin x=\frac12$:

$$x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{5\pi}{6}$$

Krok 4 — dla $\sin x=-1$:

$$x=\frac{3\pi}{2}$$

Uwaga. Oba pierwiastki $t$ mieszczą się w $\langle-1,\ 1\rangle$, więc żadnego nie odrzucamy. Gdyby któryś wypadł poza ten zakres, nie dałby rozwiązań.

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right\}$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $u=2x$. Gdy $x\in\langle0,\ 2\pi)$, to $u\in\langle0,\ 4\pi)$.

Krok 2 — rozwiązujemy $\cos u=\frac12$. Kąt podstawowy $\frac{\pi}{3}$, cosinus dodatni w I i IV ćwiartce, i powtarzamy co $2\pi$:

$$u=\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3},\ \frac{11\pi}{3}$$

Krok 3 — wracamy do $x=\frac{u}{2}$:

$$x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}$$

Klucz do zadania. Skoro argumentem jest $2x$, trzeba rozpatrzyć przedział dwukrotnie dłuższy — stąd cztery rozwiązania, a nie dwa.

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right\}$.

Krok 1 — dzielimy przez $\cos x$. Najpierw sprawdzamy, czy $\cos x=0$ może dać rozwiązanie: wtedy $\sin x=0$, ale sinus i cosinus nie zerują się jednocześnie, więc bezpiecznie dzielimy:

$$\frac{\sin x}{\cos x}=1 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}x=1$$

Krok 2 — rozwiązania $\operatorname{tg}x=1$ (okres $\pi$):

$$x=\frac{\pi}{4},\qquad x=\frac{5\pi}{4}$$

Kontrola. W $\frac{\pi}{4}$: $\sin=\cos=\frac{\sqrt2}{2}$ ✔ W $\frac{5\pi}{4}$: oba równe $-\frac{\sqrt2}{2}$ ✔

Interpretacja geometryczna. Sinus równa się cosinusowi tam, gdzie wykresy się przecinają — na przekątnych, pod kątem $45^\circ$ do osi.

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{4}$ lub $x=\frac{5\pi}{4}$.

Sposób 1 — szacowanie grube. Sinus i cosinus nie przekraczają $1$, więc ich suma nie przekracza $2$:

$$\sin x+\cos x\le1+1=2\lt 3$$

Lewa strona nigdy nie osiąga $3$, więc równanie jest sprzeczne. $\qquad ∎$

Sposób 2 — dokładne oszacowanie. Korzystając z tożsamości:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

Ponieważ sinus mieści się w $\langle-1,\ 1\rangle$, cała suma należy do $\langle-\sqrt2,\ \sqrt2\rangle$. Skoro $\sqrt2\approx1{,}41\lt 3$, wartość $3$ jest nieosiągalna.

Wniosek dodatkowy. Drugi sposób daje więcej: pokazuje, że największa możliwa wartość wyrażenia to $\sqrt2$, a nie $2$ — pierwsze oszacowanie było poprawne, ale zawyżone.