Pojęcie ciągu

Podstawiamy $n=4$:

$$a_4=3\cdot4-1=11$$

Odpowiedź: B. $11$.

Podstawiamy kolejno $n=1,2,3,4,5$:

$$1,\quad 4,\quad 9,\quad 16,\quad 25$$

Odpowiedź: $1$, $4$, $9$, $16$, $25$.

Sprawdzamy różnicę kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_n=\left(5-2(n+1)\right)-(5-2n)=-2\lt 0$$

Różnica jest ujemna dla każdego $n$, więc ciąg maleje.

Sprawdzenie: $3$, $1$, $-1$, $-3$ — faktycznie coraz mniej ✔

Odpowiedź: A. malejący.

$$a_1=\frac12,\qquad a_2=\frac23,\qquad a_3=\frac34$$

Obserwacja: wyrazy rosną i zbliżają się do $1$, ale nigdy jej nie osiągają.

Odpowiedź: $\frac12$, $\frac23$, $\frac34$.

Sprawdzamy wzór $a_n=2n$ dla kolejnych $n$:

$$2,\quad 4,\quad 6,\quad 8 \ ✔$$

Pozostałe wzory dają: $3,4,5,6$ (A); $2,4,8,16$ (B); $1,4,9,16$ (D) — tylko pierwsze dwa wyrazy się zgadzają w niektórych przypadkach, co pokazuje, że sprawdzenie jednego wyrazu nie wystarcza.

Odpowiedź: C. $a_n=2n$.

Krok 1 — różnica kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_n=\left[(n+1)^2-4(n+1)\right]-\left[n^2-4n\right]$$

$$=\left(n^2+2n+1-4n-4\right)-n^2+4n=2n-3$$

Krok 2 — znak różnicy. Dla $n=1$ mamy $-1\lt 0$, ale dla $n\ge2$ wychodzi $2n-3>0$.

Wniosek. Ciąg nie jest monotoniczny — najpierw maleje, potem rośnie.

Sprawdzenie: $-3$, $-4$, $-3$, $0$, $5$ — widać spadek, a potem wzrost ✔

Każdy wyraz podwajamy i dodajemy jeden:

$$a_1=1$$

$$a_2=2\cdot1+1=3$$

$$a_3=2\cdot3+1=7$$

$$a_4=2\cdot7+1=15$$

$$a_5=2\cdot15+1=31$$

Ciekawa obserwacja: każdy wyraz jest o $1$ mniejszy od potęgi dwójki — $a_n=2^n-1$.

Odpowiedź: $1$, $3$, $7$, $15$, $31$.

Wypisujemy wyrazy:

$$-1,\quad 1,\quad -1,\quad 1,\dots$$

Wartości naprzemiennie rosną i maleją, więc ciąg nie jest monotoniczny.

Nazwa: taki ciąg nazywamy naprzemiennym.

Odpowiedź: D. niemonotoniczny.

Krok 1 — równanie:

$$4n-7=25$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$4n=32 \quad\Rightarrow\quad n=8$$

Krok 3 — sprawdzenie sensu. Wynik $n=8$ jest liczbą naturalną, więc taki wyraz istnieje.

Uwaga: gdyby wyszło $n$ niecałkowite, oznaczałoby to, że liczba $25$ nie jest wyrazem tego ciągu.

Odpowiedź: ósmy wyraz.

Ciąg rosnący to taki, w którym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego.

Uwaga: dodatniość wyrazów (odpowiedź D) nie ma z monotonicznością nic wspólnego — ciąg $5$, $3$, $1$ ma wszystkie wyrazy dodatnie, a jest malejący.

Odpowiedź: B. $a_{n+1}>a_n$.

Krok 1 — uprośćmy wzór:

$$a_n=\frac{2n}{n}+\frac{1}{n}=2+\frac{1}{n}$$

Krok 2 — obserwacja. Składnik $2$ jest stały, a $\frac1n$ maleje wraz ze wzrostem $n$.

Krok 3 — formalnie:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}\lt 0$$

Mianownik jest dodatni, licznik ujemny, więc różnica jest ujemna dla każdego $n$. ∎

Sprawdzenie: $3$; $2{,}5$; $2\frac13$; $2{,}25$ — faktycznie maleje i zbliża się do $2$ ✔

Każdy wyraz to suma dwóch poprzednich:

$$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21$$

Cecha szczególna: ten ciąg wymaga dwóch wyrazów początkowych — jeden by nie wystarczył, bo wzór odwołuje się do dwóch poprzedników.

Odpowiedź: $1$, $1$, $2$, $3$, $5$, $8$, $13$, $21$.

Krok 1 — nierówność:

$$2n-1\lt 20 \quad\Rightarrow\quad 2n\lt 21 \quad\Rightarrow\quad n\lt 10{,}5$$

Krok 2 — liczby naturalne spełniające warunek: $n=1,2,\dots,10$ — jest ich $10$.

Sprawdzenie: $a_{10}=19\lt 20$ ✔, a $a_{11}=21>20$ ✘

Odpowiedź: A. $10$.

Krok 1 — równanie:

$$n^2-5n+6=0$$

Krok 2 — rozkładamy. Szukamy liczb o sumie $5$ i iloczynie $6$:

$$(n-2)(n-3)=0 \quad\Rightarrow\quad n=2 \ \text{lub}\ n=3$$

Krok 3 — oba wyniki są naturalne, więc oba wyrazy istnieją.

Sprawdzenie: $a_2=4-10+6=0$ ✔ oraz $a_3=9-15+6=0$ ✔

Odpowiedź: drugi i trzeci wyraz.

Wszystkie wyrazy są równe, więc różnica kolejnych wynosi zero:

$$a_{n+1}-a_n=7-7=0$$

To ciąg stały — szczególny przypadek ciągu arytmetycznego o różnicy $r=0$.

Uwaga: ciąg stały jest jednocześnie niemalejący i nierosnący, ale nie jest ani rosnący, ani malejący.

Odpowiedź: C. stały.

Krok 1 — przekształcamy wzór:

$$a_n=\frac{(n+1)+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$$

Krok 2 — wyrazy większe od $1$. Składnik $\frac{1}{n+1}$ jest dodatni dla każdego $n$ naturalnego, więc:

$$a_n=1+\frac{1}{n+1}>1 \qquad ∎$$

Krok 3 — monotoniczność:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}=\frac{-1}{(n+1)(n+2)}\lt 0$$

Różnica jest ujemna, więc ciąg maleje. ∎

Sprawdzenie: $1{,}5$; $1\frac13$; $1{,}25$; $1{,}2$ — maleje i pozostaje nad jedynką ✔

Krok 1 — wzór rekurencyjny. Każdy rząd ma o $2$ miejsca więcej niż poprzedni:

$$a_1=20,\qquad a_{n+1}=a_n+2$$

Krok 2 — wzór ogólny. Do pierwszego rzędu dodajemy $(n-1)$ razy po $2$ miejsca:

$$a_n=20+2(n-1)=2n+18$$

Krok 3 — piętnasty rząd:

$$a_{15}=2\cdot15+18=48$$

Kontrola wzoru: $a_1=2+18=20$ ✔

Porównanie obu zapisów. Wzór rekurencyjny lepiej opisuje regułę („o dwa więcej"), ale żeby policzyć $a_{15}$, trzeba przejść przez wszystkie poprzednie. Wzór ogólny daje wynik od razu.

Odpowiedź: $a_n=2n+18$; w rzędzie piętnastym jest $48$ miejsc.

Krok 1 — rozdzielamy ułamek:

$$a_n=\frac{3n}{n}-\frac{1}{n}=3-\frac{1}{n}$$

Krok 2 — monotoniczność:

$$a_{n+1}-a_n=\left(3-\frac{1}{n+1}\right)-\left(3-\frac1n\right)=\frac1n-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}>0$$

Różnica jest dodatnia dla każdego $n$, więc ciąg jest rosnący.

Sprawdzenie: $2$; $2{,}5$; $2\frac23$; $2{,}75$ — faktycznie rośnie ✔

Krok 3 — do czego zbliżają się wyrazy. Gdy $n$ rośnie, $\frac1n$ maleje do zera, więc wyrazy zbliżają się do $3$ — ale nigdy jej nie osiągają, bo $\frac1n$ nigdy nie jest zerem.

Wniosek metodyczny. Rozdzielenie ułamka na część stałą i malejącą ($3-\frac1n$) od razu pokazuje obie odpowiedzi: co rośnie i do czego zmierza. Ten sam chwyt działa dla każdego ciągu postaci $\frac{an+b}{n}$.

Odpowiedź: ciąg jest rosnący, a jego wyrazy zbliżają się do $3$.

Podstawiamy $n=3$:

$$a_3=2\cdot3=6$$

Odpowiedź: B. $6$.

Podstawiamy $n=1,2,3,4$:

$$a_1=0,\quad a_2=3,\quad a_3=8,\quad a_4=15$$

Odpowiedź: $0,\ 3,\ 8,\ 15$.

Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych (numery wyrazów).

Wartości ciągu mogą być dowolne, ale argumenty (numery $n$) to liczby naturalne.

Odpowiedź: C. liczb naturalnych.

$$a_1=\frac{1}{2},\qquad a_4=\frac{4}{5}$$

Obserwacja: wyrazy rosną i zbliżają się do $1$, ale nigdy go nie osiągają.

Odpowiedź: $a_1=\frac12$, $a_4=\frac45$.

Potęga $(-1)^n$ zależy od parzystości $n$:

$$a_1=-1,\ a_2=1,\ a_3=-1,\ a_4=1,\ \dots$$

Ciąg jest naprzemienny.

Odpowiedź: A. na przemian $-1$ i $1$.

Każdy wyraz powstaje z poprzedniego przez dodanie $3$:

$$a_2=a_1+3=5,\qquad a_3=a_2+3=8$$

To ciąg arytmetyczny o różnicy $3$.

Odpowiedź: $a_2=5$, $a_3=8$.

Krok 1 — układamy równanie:

$$2n-1=15$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$2n=16 \quad\Rightarrow\quad n=8$$

Sprawdzenie: $a_8=2\cdot8-1=15$ ✔

Odpowiedź: ósmy wyraz.

Krok 1 — równanie:

$$n^2-4n+3=0 \quad\Rightarrow\quad (n-1)(n-3)=0$$

Krok 2 — rozwiązania:

$$n=1 \quad\text{lub}\quad n=3$$

Krok 3 — sprawdzenie dziedziny. Oba są liczbami naturalnymi, więc oba są numerami wyrazów zerowych.

Odpowiedź: $a_1=0$ oraz $a_3=0$.

Wszystkie wyrazy są równe $5$, więc ciąg jest stały.

Odpowiedź: D. stały.

Krok 1 — warunek:

$$n^2\lt 50$$

Krok 2 — szukamy największego $n$. $7^2=49\lt 50$, ale $8^2=64>50$:

$$n\le7$$

Krok 3 — wyrazy: $a_1,\dots,a_7$ — jest ich siedem.

Odpowiedź: $7$ wyrazów.

Różnica kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_n=(n+3)-(n+2)=1>0$$

Ciąg rośnie.

Odpowiedź: B. rosnącym.

Każdy wyraz to suma dwóch poprzednich:

$$a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_3=2,\quad a_4=3,\quad a_5=5$$

Ciekawostka: ciąg Fibonacciego pojawia się w przyrodzie — w układzie liści, płatków kwiatów, muszli.

Odpowiedź: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5$.

Krok 1 — rozdzielamy ułamek:

$$a_n=\frac{2n+1}{n}=2+\frac{1}{n}$$

Krok 2 — analiza. Gdy $n$ rośnie, $\frac1n$ dąży do zera, więc:

$$a_n\to2$$

Interpretacja: wyrazy zbliżają się do $2$ od góry ($a_1=3$, $a_2=2{,}5$, $a_{10}=2{,}1$…). Liczbę $2$ nazywamy granicą ciągu.

Odpowiedź: do $2$.

Różnica kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_n=(10-(n+1))-(10-n)=-1\lt 0$$

Ciąg maleje (wyrazy: $9, 8, 7, \dots$).

Odpowiedź: A. malejący.

Krok 1 — warunek dwucyfrowości:

$$10\le3n-2\le99$$

Krok 2 — lewa nierówność:

$$3n\ge12 \quad\Rightarrow\quad n\ge4$$

Krok 3 — prawa nierówność:

$$3n\le101 \quad\Rightarrow\quad n\le33{,}67 \quad\Rightarrow\quad n\le33$$

Krok 4 — liczba wyrazów od $n=4$ do $n=33$:

$$33-4+1=30$$

Odpowiedź: $30$ wyrazów.

Kolejne wyrazy to podwojone numery:

$$a_1=2,\ a_2=4,\ a_3=6 \quad\Rightarrow\quad a_n=2n$$

Odpowiedź: C. $a_n=2n$.

Krok 1 — warunek $a_n\lt 0$:

$$n^2-6n+5\lt 0 \quad\Rightarrow\quad (n-1)(n-5)\lt 0$$

Krok 2 — rozwiązanie nierówności kwadratowej:

$$1\lt n\lt 5$$

Krok 3 — tylko liczby naturalne. W przedziale $(1,\ 5)$ leżą $n=2,\ 3,\ 4$:

$$a_2=-3,\quad a_3=-4,\quad a_4=-3$$

Uwaga. Nierówność dała przedział ciągły, ale ciąg jest określony tylko dla liczb naturalnych — bierzemy $n\in\{2,3,4\}$.

Odpowiedź: ujemne są $a_2$, $a_3$, $a_4$.

Krok 1 — liczymy kolejne wyrazy:

$$a_2=2\cdot3-1=5$$

$$a_3=2\cdot5-1=9$$

$$a_4=2\cdot9-1=17$$

Krok 2 — zachowanie. Ciąg $3,\ 5,\ 9,\ 17,\dots$ jest rosnący, a przyrosty ($2$, $4$, $8$) podwajają się — rośnie coraz szybciej.

Ciekawostka. Wzór jawny to $a_n=2^n+1$: $a_1=3$, $a_2=5$, $a_3=9$ ✔ — ciąg rośnie wykładniczo.

Odpowiedź: $a_2=5$, $a_3=9$, $a_4=17$; ciąg rosnący, przyrosty się podwajają.

Krok 1 — wypisujemy oba wyrazy:

$$a_n=\frac{n}{n+1},\qquad a_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}$$

Krok 2 — różnica na wspólnym mianowniku:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}$$

Krok 3 — upraszczamy licznik:

$$(n+1)^2-n(n+2)=n^2+2n+1-n^2-2n=1$$

Krok 4 — wniosek:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0$$

Różnica jest dodatnia dla każdego $n$, więc ciąg jest rosnący.

Interpretacja. Wyrazy rosną, ale coraz wolniej, zbliżając się do granicy $1$.

Odpowiedź: ciąg rosnący.

Krok 1 — definicja. Ciąg jest malejący, gdy $a_{n+1}\lt a_n$ dla każdego $n$, czyli $a_{n+1}-a_n\lt 0$.

Krok 2 — liczymy różnicę:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}$$

Krok 3 — badamy znak. Licznik $-1\lt 0$, a mianownik $n(n+1)>0$ dla $n$ naturalnych, więc:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{-1}{n(n+1)}\lt 0 \qquad ∎$$

Różnica jest ujemna dla każdego $n$, więc ciąg jest malejący.

Sprawdzenie: $a_1=1$, $a_2=\frac12$, $a_3=\frac13$ — wyrazy istotnie maleją ✔