Odległość punktu od prostej

W postaci kierunkowej $y=ax+b$ współczynnik kierunkowy to liczba przy $x$:

$$a=3$$

Liczba $-2$ to wyraz wolny $b$ (miejsce przecięcia z osią OY).

Odpowiedź: B. $3$.

Krok 1 — zapisujemy postać kierunkową z $a=2$:

$$y=2x+b$$

Krok 2 — podstawiamy punkt $P$:

$$5=2\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=3$$

$$y=2x+3$$

Sprawdzenie: $2\cdot1+3=5$ ✔

Odpowiedź: $y=2x+3$.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej $Ax+By+C=0$:

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Podstawiamy $A=3$, $B=4$, $C=-19$, $P=(1,\,1)$:

$$d=\frac{|3\cdot1+4\cdot1-19|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-12|}{5}=\frac{12}{5}=2{,}4$$

Uwaga: prosta musi być w postaci ogólnej (z zerem po prawej) — inaczej wzór da zły wynik.

Odpowiedź: $d=2{,}4$.

Warunek prostopadłości: $a_1\cdot a_2=-1$. Dla $a_1=2$:

$$2\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-\frac12$$

Reguła: współczynnik prostej prostopadłej to odwrotność ze zmienionym znakiem.

Odpowiedź: A. $-\frac12$.

Metoda podstawy i wysokości. Bok $AB$ jest poziomy, więc łatwo go zmierzyć:

$$a=|AB|=5-1=4$$

Wysokość to pionowa odległość $C$ od prostej $y=1$:

$$h=6-1=5$$

Pole:

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{4\cdot5}{2}=10$$

Odpowiedź: $P=10$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{7-1}{4-2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny z podstawienia punktu $A$:

$$1=3\cdot2+b \quad\Rightarrow\quad b=-5$$

$$y=3x-5$$

Sprawdzenie dla $B$: $3\cdot4-5=7$ ✔

Odpowiedź: $y=3x-5$.

Oba współczynniki kierunkowe są równe ($a=2$), więc proste są równoległe. Różne wyrazy wolne ($3$ i $-4$) oznaczają, że się nie pokrywają.

Odpowiedź: D. równoległe i różne.

Przecięcie z osią OY: tam $x=0$, więc $y=0+1=1$ — punkt $(0,\,1)$.

Przecięcie z osią OX: tam $y=0$, więc:

$$0=x+1 \quad\Rightarrow\quad x=-1$$

punkt $(-1,\,0)$.

Zapamiętaj: na osi OY zeruje się $x$, na osi OX zeruje się $y$.

Odpowiedź: z OY w $(0,\,1)$, z OX w $(-1,\,0)$.

Podstawiamy współrzędne do lewej strony równania:

$$1^2+2^2=1+4=5$$

Wynik równy prawej stronie, więc punkt leży na okręgu.

Reguła: wynik mniejszy niż $r^2$ oznaczałby wnętrze, większy — zewnętrze.

Odpowiedź: B. tak.

Krok 1 — współczynnik prostej prostopadłej. Dla $a_1=\frac12$:

$$\frac12\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-2$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $P=(0,\,4)$ leży na osi OY, więc $b=4$.

$$y=-2x+4$$

Odpowiedź: $y=-2x+4$.

Ze wzoru na odległość punktu od prostej, dla $A=1$, $B=1$, $C=-6$, $P=(0,\,0)$:

$$d=\frac{|1\cdot0+1\cdot0-6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{6}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$$

Przybliżenie: $3\sqrt2\approx4{,}24$.

Odpowiedź: $d=3\sqrt2\approx4{,}24$.

Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców:

$$S=\left(\frac{-2+6}{2},\ \frac{4+(-2)}{2}\right)=(2,\,1)$$

Odpowiedź: A. $(2,\,1)$.

Krok 1 — długości boków. Trójkąt jest prostokątny (przyprostokątne leżą na osiach):

$$|AB|=6,\qquad |AC|=8,\qquad |BC|=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — pole:

$$P=\frac{6\cdot8}{2}=24$$

Krok 3 — obwód:

$$O=6+8+10=24$$

Krok 4 — promień okręgu wpisanego ze wzoru $r=\frac{P}{p}$, gdzie $p=\frac{O}{2}=12$:

$$r=\frac{24}{12}=2$$

Odpowiedź: $P=24$, $O=24$, $r=2$.

Na osi OX zeruje się $y$:

$$0=-x+5 \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Punkt przecięcia to $(5,\,0)$.

Uwaga: odpowiedź A ($0,\,5$) to punkt przecięcia z osią OY, nie OX.

Odpowiedź: C. $(5,\,0)$.

Prosta jest styczna, gdy jej odległość od środka okręgu równa się promieniowi.

Krok 1 — środek i promień. Okrąg ma środek $S=(0,\,0)$ i $r=\sqrt2$.

Krok 2 — prosta w postaci ogólnej: $x-y+1=0$, czyli $A=1$, $B=-1$, $C=1$.

Krok 3 — odległość środka od prostej:

$$d=\frac{|1\cdot0-1\cdot0+1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$

Krok 4 — porównanie. $d=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}71$, a $r=\sqrt2\approx1{,}41$. Ponieważ $d\lt r$, prosta nie jest styczna — jest sieczną (przecina okrąg w dwóch punktach).

Odpowiedź: nie, prosta jest sieczną, bo $d\lt r$.

Krok 1 — środek odcinka:

$$S=\left(\frac{2+6}{2},\ \frac{1+5}{2}\right)=(4,\,3)$$

Krok 2 — współczynnik odcinka $AB$:

$$a_{AB}=\frac{5-1}{6-2}=1$$

Krok 3 — współczynnik symetralnej (prostopadła do $AB$):

$$a=-1$$

Krok 4 — wyraz wolny z warunku, że symetralna przechodzi przez środek $S$:

$$3=-1\cdot4+b \quad\Rightarrow\quad b=7$$

$$y=-x+7$$

Odpowiedź: $y=-x+7$.

Krok 1 — promień to odległość środka od punktu $A$:

$$r=|SA|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=5$$

Krok 2 — równanie okręgu:

$$(x-1)^2+(y-2)^2=25$$

Krok 3 — sprawdzamy punkt $B=(-2,\,2)$:

$$(-2-1)^2+(2-2)^2=9+0=9$$

Wynik $9\neq25$, więc punkt $B$ nie leży na okręgu (leży wewnątrz, bo $9\lt 25$).

Odpowiedź: $(x-1)^2+(y-2)^2=25$; punkt $B$ nie leży na okręgu.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów:

$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

Podstawiamy współrzędne:

$$|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Warto zapamiętać: to klasyczny trójkąt o bokach $3$, $4$, $5$ — wzór na odległość to po prostu twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.

Odpowiedź: C. $|AB|=5$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{7-1}{2-0}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $A$ leży na osi OY, więc od razu odczytujemy $b=1$.

$$y=3x+1$$

Sprawdzenie dla punktu $B$: $3\cdot2+1=7$. Zgadza się.

Odpowiedź: $y=3x+1$.

Warunek prostopadłości prostych o współczynnikach kierunkowych $a_1$ i $a_2$:

$$a_1\cdot a_2=-1$$

Podstawiamy $a_1=2$:

$$2\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-\frac12$$

Pułapka: nie wystarczy zmienić znak ($-2$) ani samo odwrócić ułamek ($\frac12$) — trzeba zrobić obie rzeczy naraz.

Odpowiedź: B. $a_2=-\frac12$.

Symetria względem osi OX zmienia znak drugiej współrzędnej:

$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (x,\,-y)$$

Zatem $P=(4,\,-2)$ przechodzi na $(4,\,2)$.

Dla porównania: symetria względem osi OY dałaby $(-4,\,-2)$, a symetria względem początku układu $(-4,\,2)$.

Odpowiedź: A. $(4,\,2)$.

Krok 1 — współrzędne wektora. Od końca odejmujemy początek:

$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]=[5-1,\ 4-2]=[4,\,2]$$

Krok 2 — długość wektora:

$$|\vec{AB}|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$$

Uwaga na kolejność: gdybyśmy odjęli odwrotnie, dostalibyśmy wektor $\vec{BA}=[-4,\,-2]$ — przeciwny, ale o tej samej długości.

Odpowiedź: $\vec{AB}=[4,\,2]$, $|\vec{AB}|=2\sqrt5$.

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Tutaj oba wynoszą $3$.

Wyrazy wolne są różne ($2$ oraz $-7$), więc proste się nie pokrywają.

Sprawdzenie: gdyby miały punkt wspólny, zachodziłoby $3x+2=3x-7$, czyli $2=-7$ — sprzeczność, więc punktu wspólnego nie ma.

Odpowiedź: D.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej $Ax+By+C=0$:

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Krok 1 — licznik. Mamy $A=3$, $B=4$, $C=-10$:

$$|3\cdot3+4\cdot4-10|=|9+16-10|=|15|=15$$

Krok 2 — mianownik:

$$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

Krok 3 — dzielimy:

$$d=\frac{15}{5}=3$$

Uwaga: prostą trzeba najpierw zapisać w postaci ogólnej (z zerem po prawej stronie), inaczej wzór da zły wynik.

Odpowiedź: $d=3$.

Krok 1 — długości boków:

$$|AB|=\sqrt{4^2+0^2}=4,\qquad |AC|=\sqrt{0^2+3^2}=3$$

$$|BC|=\sqrt{(0-4)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=5$$

Krok 2 — sprawdzamy twierdzenie odwrotne do Pitagorasa:

$$3^2+4^2=9+16=25=5^2$$

Równość zachodzi, więc trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty leży przy wierzchołku $A$.

Krok 3 — pole. Przyprostokątne to $|AB|=4$ i $|AC|=3$:

$$P=\frac{4\cdot3}{2}=6$$

Odpowiedź: trójkąt jest prostokątny, jego pole wynosi $6$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy. Proste równoległe mają ten sam współczynnik, więc $a=-2$:

$$y=-2x+b$$

Krok 2 — wyznaczamy $b$, podstawiając współrzędne punktu $P$:

$$5=-2\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad 5=-2+b \quad\Rightarrow\quad b=7$$

Krok 3 — zapisujemy wynik:

$$y=-2x+7$$

Wniosek: punkt $P$ leżał na danej prostej, więc szukana prosta jest z nią tożsama. Warto to zauważyć — nie jest to błąd rachunkowy.

Odpowiedź: $y=-2x+7$.

Krok 1 — wymiary prostokąta. Bok $AB$ jest poziomy:

$$|AB|=5-1=4$$

Bok $BC$ jest pionowy:

$$|BC|=4-1=3$$

Krok 2 — przekątna z twierdzenia Pitagorasa:

$$d=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$

Można też policzyć wprost odległość $|AC|$ ze wzoru na odległość punktów — wynik będzie ten sam.

Odpowiedź: C. $d=5$.

Ze wzoru na środek odcinka układamy dwa równania:

$$\frac{x_A+x_B}{2}=3,\qquad \frac{y_A+y_B}{2}=2$$

Pierwsza współrzędna:

$$\frac{1+x_B}{2}=3 \quad\Rightarrow\quad 1+x_B=6 \quad\Rightarrow\quad x_B=5$$

Druga współrzędna:

$$\frac{-1+y_B}{2}=2 \quad\Rightarrow\quad -1+y_B=4 \quad\Rightarrow\quad y_B=5$$

Sprawdzenie: środek odcinka o końcach $(1,\,-1)$ i $(5,\,5)$ to $\left(\frac{1+5}{2},\ \frac{-1+5}{2}\right)=(3,\,2)$. Zgadza się.

Odpowiedź: $B=(5,\,5)$.

W punkcie przecięcia obie proste mają tę samą wartość $y$, więc przyrównujemy prawe strony:

$$2x-1=-x+5$$

Krok 1 — porządkujemy równanie:

$$2x+x=5+1 \quad\Rightarrow\quad 3x=6 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 2 — obliczamy $y$, podstawiając do dowolnego z równań:

$$y=2\cdot2-1=3$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $-2+5=3$. Zgadza się.

Odpowiedź: punkt przecięcia to $(2,\,3)$.

Podstawiamy współrzędne punktu do lewej strony równania:

$$3^2+4^2=9+16=25$$

Otrzymana wartość jest równa prawej stronie, więc punkt spełnia równanie i leży na okręgu.

Jak czytać wynik: gdyby suma wyszła mniejsza od $25$, punkt leżałby wewnątrz koła, a gdyby większa — na zewnątrz.

Odpowiedź: A.

Metoda 1 — podstawa i wysokość. Bok $AB$ leży na osi OX, więc jako podstawę bierzemy:

$$a=|AB|=6$$

Wysokość opuszczona na tę podstawę to po prostu druga współrzędna punktu $C$:

$$h=5$$

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15$$

Metoda 2 — wzór wyznacznikowy (dla dowolnego położenia trójkąta):

$$P=\frac12\left|x_B\cdot y_C-x_C\cdot y_B\right|=\frac12\left|6\cdot5-2\cdot0\right|=\frac{30}{2}=15$$

Obie metody dają ten sam wynik.

Odpowiedź: $P=15$.

Symetralna przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła.

Krok 1 — środek odcinka:

$$S=\left(\frac{1+5}{2},\ \frac{2+6}{2}\right)=(3,\,4)$$

Krok 2 — współczynnik kierunkowy odcinka $AB$:

$$a_{AB}=\frac{6-2}{5-1}=\frac{4}{4}=1$$

Krok 3 — współczynnik symetralnej z warunku prostopadłości:

$$1\cdot a=-1 \quad\Rightarrow\quad a=-1$$

Krok 4 — wyznaczamy $b$, podstawiając środek $S=(3,\,4)$:

$$4=-1\cdot3+b \quad\Rightarrow\quad b=7$$

$$y=-x+7$$

Sprawdzenie: punkt $S=(3,\,4)$ spełnia równanie, bo $-3+7=4$. Zgadza się.

Odpowiedź: $y=-x+7$.

Krok 1 — promień to odległość środka od punktu, przez który okrąg przechodzi:

$$r=|SP|=\sqrt{(5-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Krok 2 — równanie okręgu:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=25$$

Krok 3 — badamy punkt $Q$. Liczymy jego odległość od środka:

$$|SQ|=\sqrt{(2-2)^2+(7-1)^2}=\sqrt{0+36}=6$$

Porównanie z promieniem: $6>5$, więc punkt $Q$ leży na zewnątrz okręgu.

Odpowiedź: $(x-2)^2+(y-1)^2=25$; punkt $Q$ leży na zewnątrz okręgu.

1. $d=\frac{|9-16+12|}{\sqrt{9+16}}=\frac55=1$.

Odpowiedź: $1$

1. $\vec{AB}=[4,1]$, $\vec{AC}=[1,3]$: $P=\frac12|4\cdot3-1\cdot1|=\frac{11}2$.

Odpowiedź: $\tfrac{11}{2}$

1. $k:\ y=2x+3$, więc $l:\ y=-\frac12x+b$; $1=-2+b \Rightarrow b=3$.
2. $2x+3=-\frac12x+3 \Rightarrow x=0$, punkt $(0,3)$.
3. $d=\frac{|8-1+3|}{\sqrt5}=\frac{10}{\sqrt5}=2\sqrt5$ (= odległość $P$ od $(0,3)$ ✓).

Odpowiedź: $l:\ y=-\tfrac12x+3$; $(0,3)$; $d=2\sqrt5$

1. Prosta przez $P$ prostopadła do $y=x+1$: $y=-x+5$.
2. Przecięcie: $x+1=-x+5 \Rightarrow x=2$, $S=(2,3)$ — środek $PP^\prime$.
3. $P^\prime=2S-P=(4-5,\ 6-0)=(-1,6)$.

Odpowiedź: $P^\prime=(-1,6)$

1. $M=(6,2)$, $AM:\ y=\frac13x$. $BD:\ y=-\frac23x+4$.
2. $\frac13x=-\frac23x+4 \Rightarrow x=4$, $y=\frac43$.
3. Pole $ABP=\frac12\cdot6\cdot\frac43=4$.

Odpowiedź: $P=\left(4,\tfrac43\right)$, pole $4$

1. Prosta $AB$: $x+3y-1=0$.
2. $h_C=\frac{|2+15-1|}{\sqrt{10}}=\frac{16}{\sqrt{10}}=\frac{8\sqrt{10}}5$.
3. $|AB|=\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}$, $P=\frac12\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{16}{\sqrt{10}}=16$ (kontrola: $\frac12|6\cdot4-(-2)\cdot4|=16$ ✓).

Odpowiedź: $h_C=\tfrac{8\sqrt{10}}{5}$, $P=16$

1. $C$ leży na symetralnej $AB$: środek $(2,3)$, $a_{AB}=\frac13$, symetralna $y=-3x+9$.
2. $x-3=-3x+9 \Rightarrow x=3$, $C=(3,0)$.
3. Kontrola: $|AC|^2=16+4=20=|BC|^2=4+16$ ✓.
4. $\vec{AB}=[6,2]$, $\vec{AC}=[4,-2]$: $P=\frac12|6\cdot(-2)-2\cdot4|=10$.

Odpowiedź: $C=(3,0)$, $P=10$

1. $\vec{AB}=[3,4]$, $|AB|=5$. Wektor prostopadły: $[-4,3]$ (długość $5$).
2. $\vec{AC}=\pm2\cdot[-4,3]$: $C=(1-8,\ 2+6)=(-7,8)$ lub $C=(9,-4)$.
3. $P=\frac12\cdot5\cdot10=25$.

Odpowiedź: $C=(-7,8)$ lub $C=(9,-4)$; $P=25$

1. $\operatorname{tg}\varphi=\left|\frac{2-(-3)}{1+2\cdot(-3)}\right|=\left|\frac{5}{-5}\right|=1 \Rightarrow \varphi=45^\circ$.

Odpowiedź: $45^\circ$

1. $S=\left(\frac{0+8+2}3,\frac{0+0+6}3\right)=\left(\frac{10}3,2\right)$.
2. $O$: symetralna $AB$ to $x=4$; symetralna $AC$: przez $(1,3)$, prostopadła do $[2,6]$: $y-3=-\frac13(x-1)$. Dla $x=4$: $y=2$. $O=(4,2)$.
3. $H$: wysokość z $C$ to $x=2$; wysokość z $A$ prostopadła do $BC$ ($a_{BC}=-1$): $y=x$. $H=(2,2)$.
4. Wszystkie trzy punkty mają $y=2$ — leżą na prostej $y=2$. $\blacksquare$

Odpowiedź: $S=\left(\tfrac{10}3,2\right)$, $O=(4,2)$, $H=(2,2)$ — prosta $y=2$

1. $|AB|=\sqrt{(4+2)^2+(9-1)^2}=\sqrt{36+64}=10$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B dodaje różnice współrzędnych, C gubi znak przy $-2$, D nie wyciąga pierwiastka.

1. $B=2S-A$.
2. $x_B=2\cdot1-(-3)=5$, $y_B=2\cdot(-2)-4=-8$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A to środek odcinka $AS$, C to $2A-S$, D to wektor $\overrightarrow{AS}$.

1. $P=\tfrac12\cdot4\cdot3=6$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A pomija $\tfrac12$.

1. Współczynnik przy $x$ to $2$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A to wyraz wolny.

1. $\sqrt{(4-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{9+16}=5$.

Odpowiedź: $5$