Odległość między punktami w układzie współrzędnych
Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 58
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest kwadrat $ABCD$, w którym $A=(4,-1)$. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie $S=(1,3)$. Przekątna kwadratu $ABCD$ ma długość
$\mathcal{O}_1$: $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$
$\mathcal{O}_2$: $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 45$.
Te okręgi przecinają się w punktach $A$ oraz $B$. Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt $M$ spełnia warunek $\overrightarrow{AM} = -2 \cdot \overrightarrow{BM}$.
Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$. Zapisz obliczenia.
Oblicz długość boku \(BC\) tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
Punkty $A=(-2,-1)$ oraz $C=(3,4)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$. Długość boku kwadratu $ABCD$ jest równa
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\). Symetralna odcinka \(AB\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie \(P\).
Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz długość odcinka \(AP\). Zapisz obliczenia.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta o równaniu \(3x+y+2=0\) przecina parabolę o równaniu \(y=x^2-2x-8\) w punktach \(A\) oraz \(B\), które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Wierzchołek \(A\) ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=-\frac{1}{2}x+1\) i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu \(C\) od prostej zawierającej bok \(AB\) równoległoboku jest równa \(\frac{9\sqrt{10}}{5}\).
Oblicz długość boku \(BC\) tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
$$y=-0,174x^2+1,3x+2,5$$
Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.
Zadanie 1.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Obręcz kosza znajduje się na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do \(0,01m\))
A. \(3,04m\)
B. \(3,06m\)
C. \(3,80m\)
D. \(4,93m\)
Zadanie 2.
Oblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego rzutu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.
Zadanie 3.
W opisanym rzucie piłka przeleciała swobodnie przez obręcz kosza i upadła na parkiet. Przyjmij, że obręcz kosza nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody. Promień piłki jest równy \(0,12m\). Oblicz współrzędną \(x\) punktu środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkt \(A=(-1,-4)\) jest wierzchołkiem równoległoboku \(ABCD\). Punkt \(S=(2,2)\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przekątnej \(AC\) równoległoboku \(ABCD\) jest równa
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-1,5)\) oraz \(C=(3,-3)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole kwadratu \(ABCD\) jest równe
Odległość \(x\) punktu \(P\) od przeciwprostokątnej \(AB\) jest równa:
Dane są trzy niewspółliniowe punkty: \(A=(1,1)\), \(B=(6,3)\), \(C=(4,5)\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich punktów \(D\) takich, że czworokąt o wierzchołkach w punktach \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) jest równoległobokiem, jest
Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu \(y=\tfrac14x^2+1\) jest równoodległy od osi \(Ox\) i od punktu \(F=(0,2)\).
Wierzchołki trójkąta równobocznego \(ABC\) są punktami paraboli \(y=-x^2+6x\). Punkt \(C\) jest jej wierzchołkiem, a bok \(AB\) jest równoległy do osi \(Ox\). Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
📘Teoria 2
Punkty i odcinki
$$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
$$S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$
Wzór na odległość to twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.
Prosta
Postać kierunkowa $y=ax+b$ oraz ogólna $Ax+By+C=0$. Odległość punktu od prostej:
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
Wzór wymaga postaci ogólnej — prostą $y=2x+1$ trzeba najpierw przekształcić do $2x-y+1=0$.
Okrąg i koło
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Środek $S=(a,b)$, promień $r$. Znaki w nawiasach są przeciwne do współrzędnych środka. Koło to nierówność $\le r^2$. Z postaci rozwiniętej środek i promień wyznaczamy przez uzupełnianie do kwadratu.
Wektory
$$\vec{AB}=[x_2-x_1,\ y_2-y_1],\qquad |\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
$$\vec u\circ\vec v=u_1v_1+u_2v_2=|\vec u||\vec v|\cos\alpha$$
Iloczyn skalarny daje liczbę. Kluczowy wniosek: $\vec u\perp\vec v \iff \vec u\circ\vec v=0$.
Na co uważać
Wektor $\vec{AB}$ to „koniec minus początek”. Jeśli po uzupełnieniu do kwadratu prawa strona równania okręgu wyjdzie ujemna, równanie nie opisuje żadnego okręgu.
Równanie okręgu
Okrąg o środku $S=(a,\,b)$ i promieniu $r$ opisuje równanie:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Dla środka w początku układu upraszcza się ono do $x^2+y^2=r^2$.
Odczytywanie środka i promienia
Uwaga na znaki: w równaniu $(x-2)^2+(y+3)^2=25$ mamy $(y+3)=(y-(-3))$, więc:
$$S=(2,\,-3),\qquad r=\sqrt{25}=5$$
Po prawej stronie stoi kwadrat promienia — to najczęstsze źródło pomyłek.
Położenie punktu względem okręgu
Podstawiamy współrzędne punktu do lewej strony równania i porównujemy z $r^2$:
- wynik $=r^2$ — punkt leży na okręgu
- wynik $\lt r^2$ — punkt leży wewnątrz
- wynik $>r^2$ — punkt leży na zewnątrz
Równoważnie: porównujemy odległość punktu od środka z promieniem.
Odległość między punktami
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
To twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.
Odległość punktu od prostej
Dla prostej w postaci ogólnej $Ax+By+C=0$ i punktu $P=(x_0,\,y_0)$:
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
Przykład: odległość punktu $(3,\,4)$ od prostej $3x+4y-10=0$ wynosi $\frac{|9+16-10|}{\sqrt{9+16}}=\frac{15}{5}=3$.
Wzajemne położenie prostej i okręgu
Porównujemy odległość $d$ środka okręgu od prostej z promieniem $r$:
- $d>r$ — prosta rozłączna z okręgiem
- $d=r$ — prosta styczna
- $d\lt r$ — prosta sieczna (dwa punkty wspólne)
Na co uważać
Wzoru na odległość punktu od prostej wolno użyć dopiero wtedy, gdy prosta jest zapisana w postaci ogólnej (z zerem po prawej stronie). Równanie $y=2x+1$ trzeba najpierw przekształcić do $2x-y+1=0$.
∑Wzory 1
Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych.
Przykład: $A(1,2)$, $B(4,6)$: $|AB|=\sqrt{9+16}=5$.
🧩Quizy 1
✍Zadania dodatkowe 34
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Oblicz odległość między punktami $A=(1,\,2)$ i $B=(4,\,6)$.
Wyznacz współrzędne środka odcinka o końcach $A=(-3,\,5)$ i $B=(7,\,1)$.
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(0,\,1)$ i $B=(2,\,7)$.
Prosta $k$ ma równanie $y=2x-5$. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do $k$ wynosi:
Który punkt jest obrazem punktu $P=(4,\,-2)$ w symetrii względem osi OX?
Dane są punkty $A=(1,\,2)$ i $B=(5,\,4)$. Wyznacz współrzędne wektora $\vec{AB}$ oraz jego długość.
Proste $y=3x+2$ i $y=3x-7$ są:
Oblicz odległość punktu $P=(3,\,4)$ od prostej o równaniu $3x+4y-10=0$.
Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(4,\,0)$, $C=(0,\,3)$ jest prostokątny, i oblicz jego pole.
Które równanie opisuje okrąg o środku $S=(0,\,0)$ i promieniu $4$?
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt $P=(1,\,5)$ i równoległej do prostej $y=-2x+7$.
Dane są wektory $\vec{u}=[3,\,-1]$ i $\vec{v}=[2,\,5]$. Oblicz $\vec{u}+\vec{v}$ oraz $2\vec{u}$.
Punkty $A=(1,\,1)$, $B=(5,\,1)$, $C=(5,\,4)$, $D=(1,\,4)$ są wierzchołkami prostokąta. Jaka jest długość jego przekątnej?
Punkt $S=(3,\,2)$ jest środkiem odcinka $AB$, przy czym $A=(1,\,-1)$. Wyznacz współrzędne punktu $B$.
Wyznacz punkt przecięcia prostych $y=2x-1$ oraz $y=-x+5$.
Czy punkt $P=(3,\,4)$ leży na okręgu o równaniu $x^2+y^2=25$?
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(6,\,0)$, $C=(2,\,5)$.
Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach $A=(1,\,2)$ i $B=(5,\,6)$.
Okrąg ma środek $S=(2,\,1)$ i przechodzi przez punkt $P=(5,\,5)$. Wyznacz równanie tego okręgu i sprawdź, czy punkt $Q=(2,\,7)$ leży wewnątrz, na okręgu, czy na zewnątrz.
Odległość między punktami $A=(1,-2)$ i $B=(4,2)$ jest równa
Środkiem odcinka o końcach $A=(-3,5)$ i $B=(7,1)$ jest punkt
Okrąg o równaniu $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ ma środek $S$ i promień $r$. Wtedy
Okrąg o środku $S=(1,2)$ przechodzi przez punkt $P=(4,6)$. Ten okrąg ma równanie
Punkt $A=(1,1)$ jest środkiem odcinka $BC$, gdzie $B=(-3,4)$. Punkt $C$ ma współrzędne
Punkt symetryczny do punktu $P=(3,-5)$ względem osi $Oy$ ma współrzędne
Punkty $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(0,8)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Środek okręgu opisanego na tym trójkącie ma współrzędne
Dany jest okrąg o równaniu $(x+2)^2+(y-1)^2=13$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
- Punkt $A=(1,3)$ leży na tym okręgu.
- Środek tego okręgu leży na osi $Oy$.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Punkty $A=(-1,2)$, $B=(5,0)$, $C=(6,4)$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wyznacz współrzędne wierzchołka $D$.
W równoległoboku $ABCD$ dane są $A=(1,-2)$ i $B=(7,1)$, a przekątne przecinają się w punkcie $P=(5,4)$. Oblicz długość boku $BC$ oraz obwód równoległoboku.
Długość odcinka o końcach $(0,0)$ i $(3,4)$ jest równa
Środek odcinka o końcach $(2,4)$ i $(6,8)$ ma współrzędne
Długość odcinka o końcach $(0,0)$ i $(0,5)$ jest równa
Długość odcinka o końcach $(1,2)$ i $(4,6)$ jest równa
Oblicz długość odcinka o końcach $(0,0)$ i $(6,8)$.