Obliczanie granic ciągów (2)

Stopnie licznika i mianownika są równe ($2$), więc granica to iloraz współczynników przy najwyższej potędze:

$$\frac{3}{2}=1{,}5$$

Odpowiedź: C. $\frac32$.

Stopień licznika ($3$) jest większy od stopnia mianownika ($2$), więc licznik rośnie szybciej.

Dzielimy przez $n^2$:

$$\frac{n-\frac2n}{1+\frac{1}{n^2}} \ \longrightarrow \ \frac{\infty}{1}=\infty$$

Wniosek: ciąg jest rozbieżny do plus nieskończoności.

Odpowiedź: $+\infty$.

Wyrazy ciągu to $\frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \ldots$ — coraz mniejsze, ale zawsze dodatnie.

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0$$

Odpowiedź: A. zbieżny do $0$.

Krok 1 — sprawdzamy warunek zbieżności. Iloraz to $q=\frac12$, a $|q|\lt 1$, więc szereg jest zbieżny.

Krok 2 — wzór na sumę:

$$S=\frac{a_1}{1-q}$$

Krok 3 — podstawiamy $a_1=1$, $q=\frac12$:

$$S=\frac{1}{1-\frac12}=\frac{1}{\frac12}=2$$

Odpowiedź: $S=2$.

Krok 1 — wyznaczamy iloraz:

$$q=\frac{2}{6}=\frac13$$

Ponieważ $\left|\frac13\right|\lt 1$, szereg jest zbieżny.

Krok 2 — suma:

$$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{6}{1-\frac13}=\frac{6}{\frac23}=6\cdot\frac32=9$$

Odpowiedź: $S=9$.

Wyrazy ciągu rosną nieograniczenie: $3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \ldots$

$$\lim_{n\to\infty}(2n+1)=+\infty$$

Ciąg jest rozbieżny — nie ma granicy skończonej.

Odpowiedź: B. rozbieżny do $+\infty$.

Warunek zbieżności to $|q|\lt 1$, czyli:

$$|x|\lt 1$$

Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną:

$$x\in(-1,\,1)$$

Uwaga: końce nie należą — dla $x=1$ szereg to $a_1+a_1+a_1+\ldots$ (rozbieżny), a dla $x=-1$ wyrazy oscylują i suma nie ma granicy.

Odpowiedź: $x\in(-1,\,1)$.

Mamy $a_1=\frac12$ oraz $q=\frac12$:

$$S=\frac{\frac12}{1-\frac12}=\frac{\frac12}{\frac12}=1$$

Intuicja: dodając kolejne połówki reszty, zbliżamy się do całości, ale nigdy jej nie przekraczamy.

Odpowiedź: C. $1$.

Dla ciągu A dzielimy przez $n$:

$$\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\frac1n} \ \longrightarrow \ 1$$

Ciąg jest zbieżny do $1$.

Pozostałe rosną nieograniczenie, więc są rozbieżne.

Odpowiedź: A.

Liczymy granicę każdego składnika osobno (obie istnieją i są skończone).

Krok 1 — pierwszy ułamek (stopnie równe):

$$\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n+1}=\frac{2}{1}=2$$

Krok 2 — drugi ułamek:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+2}=\frac{1}{1}=1$$

Krok 3 — różnica granic:

$$2-1=1$$

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — pierwsze odbicie:

$$a_1=9\cdot\frac13=3\ \text{m}$$

Krok 2 — kolejne odbicia tworzą szereg geometryczny o ilorazie $q=\frac13$ (a $|q|\lt 1$, więc zbieżny):

$$3+1+\frac13+\ldots$$

Krok 3 — suma:

$$S=\frac{3}{1-\frac13}=\frac{3}{\frac23}=4{,}5\ \text{m}$$

Kontrola sensu: suma jest skończona, mimo nieskończenie wielu odbić — to typowa cecha szeregu zbieżnego.

Odpowiedź: $4{,}5$ m.

1. $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$.
2. Ciągłość: $f(2)=\lim_{x\to2}f(x) \Rightarrow m=4$.

Odpowiedź: $m=4$