Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 31 · Matura 2026
Wyniki sprawdzianu w klasach IV A i IV B (oceny 1–6, liczby uczniów): IV A: 1,6,3,3,6,1; IV B: 1,3,6,6,3,1. Oceń prawdziwość: 1) średnie ocen obu klas są równe; 2) mediany ocen obu klas są równe.
P/Pobie P
P/F1P 2F
F/P1F 2P
F/Fobie F
Rozwiązanie
Suma ocen IV A $=1+12+9+12+30+6=70$, IV B $=1+6+18+24+15+6=70$; po $20$ uczniów, więc obie średnie $=3{,}5$. P
Mediana (średnia 10. i 11. wyrazu): IV A $=\tfrac{3+4}{2}=3{,}5$, IV B $=\tfrac{3+4}{2}=3{,}5$. P
Odpowiedź: PP
Zadanie nr 29 · Matura 2026
Wśród $120$ osób przeprowadzono ankietę z pytaniem o deklarowaną liczbę godzin snu. Wyniki: liczba godzin $4,5,6,7,8,9,10$ zadeklarowana odpowiednio przez $6,\ 4,\ 14,\ 36,\ 38,\ 10,\ 12$ osób. Uzupełnij zdania.
1. Mediana deklarowanej liczby godzin snu jest równa … . 2. Dominanta deklarowanej liczby godzin snu jest równa … . 3. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba zadeklarowała $10$ godzin snu, jest równe … .
Liczności skumulowane: do $4$ — $6$, do $5$ — $10$, do $6$ — $24$, do $7$ — $60$, do $8$ — $98$, do $9$ — $108$, do $10$ — $120$.
1. Mediana: dla $120$ osób to średnia $60.$ i $61.$ wartości. $60.$ wartość to $7$ godzin, a $61.$ — $8$ godzin, więc mediana $=\dfrac{7+8}{2}=7{,}5$.
2. Dominanta: najliczniejsza odpowiedź to $8$ godzin ($38$ osób), więc dominanta $=8$.
Mediana to średnia $25.$ i $26.$ wartości. Skumulowane: do $1$ gola — $25$ meczów, do $2$ goli — $41$. Zatem $25.$ wartość to $1$, a $26.$ to $2$: mediana $=\dfrac{1+2}{2}=1,5$.
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 30 · Matura 2025
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej $24$ uczniów. Na osi poziomej podano oceny, a na osi pionowej — liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Uzupełnij zdania.
1. Mediana ocen jest równa … . 2. Dominanta ocen jest równa … .
Liczby uczniów według ocen: $1\to 1$, $2\to 3$, $3\to 4$, $4\to 4$, $5\to 5$, $6\to 7$ (razem $24$).
Mediana: dla $24$ uczniów to średnia $12.$ i $13.$ wyniku w kolejności rosnącej. Skumulowane liczności: do oceny $3$ — $8$ uczniów, do oceny $4$ — $12$ uczniów, do oceny $5$ — $17$. Zatem $12.$ wynik to ocena $4$, a $13.$ wynik to ocena $5$: mediana $=\dfrac{4+5}{2}=4{,}5$.
Dominanta: najczęściej występująca ocena to $6$ (aż $7$ uczniów), więc dominanta $=6$.
Zadanie nr 30 · Matura 2025
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdziany z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej \(24\) uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi poziomej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa \(.......\)
2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa \(.......\)
Krok 1. Obliczenie mediany.
Skoro jest parzysta liczba uczniów, to mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych ocen. W naszym przypadku oznacza to, że kiedy ułożymy oceny uczniów od najsłabszej do najlepszej, to medianą będzie średnia arytmetyczna wyniku dwunastego i trzynastego ucznia.
Z diagramu możemy wywnioskować, że wypisując po kolei oceny, dwunasty uczeń otrzymał czwórkę, a trzynasty otrzymał piątkę. Stąd też mediana będzie równa:
$$m=\frac{4+5}{2}$$
$$m=\frac{9}{2}=4,5$$
Krok 2. Wyznaczenie dominanty.
Dominanta to wynik, który był najczęściej otrzymywany. W naszym przypadku najczęściej otrzymywaną oceną była szóstka, więc dominanta jest tutaj równa \(6\).
Zadanie nr 30 · Matura 2025
W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku. Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie. Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ..... . 2. Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ..... . 3. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi ..... procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.
Z diagramu odczytujemy liczby samochodów dla kolejnych liczb usterek:
Dokładnie jedną usterkę wykryto w \(16\) samochodach, zatem:
\(\frac{20}{16}=1{,}25=125\%\)
Odpowiedź: 1. \(1\), 2. \(2\), 3. \(125\)
Zadanie nr 30 · Matura 2025
W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez \(32\) uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.
Liczba punktów
0
1
2
3
4
5
Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów
4
2
5
5
11
5
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie ..... uczniów tej klasy. 2. Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa ..... . 3. Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa ..... .
1. Średnia arytmetyczna i uczniowie z wynikiem niższym.
Z diagramu (oceny 1–6, liczby uczniów: $2,7,4,3,6,4$) mediana ocen uzyskanych przez uczniów tej klasy jest równa
A$4{,}5$
B$4$
C$3{,}5$
D$3$
Rozwiązanie
Liczba uczniów $2+7+4+3+6+4=26$. Mediana to średnia $13.$ i $14.$ wyrazu: $13.$ to ocena $3$, $14.$ to ocena $4$; mediana $=\tfrac{3+4}{2}=3{,}5$.
Odpowiedź: C
Zadanie nr 29 · Matura 2024
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:
A\(4,5\)
B\(4\)
C\(3,5\)
D\(3\)
Wszystkich uczniów mamy łącznie:
$$2+7+4+3+6+4=26$$
Jest to parzysta liczba uczniów, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną środkowych wartości. Jeśli uporządkujemy oceny uczniów w porządku niemalejącym (czyli od najgorszych do najlepszych), to otrzymamy następujący zestaw:
$$1,1,2,2,2,...,6,6,6,6$$
Mediana będzie równa średniej arytmetycznej trzynastego i czternastego wyniku. Widzimy, że trzynasty uczeń dostał ocenę \(3\), natomiast czternasty dostał ocenę \(4\), zatem mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2}$$
$$m=3,5$$
Zadanie nr 29 · Próbny 2024
Do szkolnego koła czytelniczego należy $50$ uczniów. Liczbę książek przeczytanych w listopadzie 2024 podano w tabeli: $4$ książki — $5$ uczniów, $5$ — $8$, $6$ — $12$, $7$ — $13$, $8$ — $12$ uczniów. Uzupełnij zdania.
1. Średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek jest równa … . 2. Mediana liczby przeczytanych książek jest równa … .
2. Mediana: dla $50$ uczniów to średnia $25.$ i $26.$ wartości. Liczności skumulowane: do $6$ książek — $25$ uczniów, do $7$ — $38$. Zatem $25.$ wartość to $6$, a $26.$ to $7$: mediana $=\dfrac{6+7}{2}=6,5$.
Zadanie nr 50 · Matura 2023
Na wykresie słupkowym poniżej podano rozkład miesięcznych zarobków wszystkich pracowników w pewnej firmie \(F\). Na osi poziomej podano - wyrażone w tysiącach złotych - miesięczne wynagrodzenie netto pracowników firmy \(F\), a na osi pionowej przedstawiono liczbę osób, która osiąga podane zarobki.
Zadanie 1.
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Dominantą miesięcznych zarobków w firmie \(F\) jest:
A. \(10\) tys. zł
B. \(4,5\) tys. zł
C. \(4\) tys. zł
ponieważ
1. tę wartość zarobków osiąga najwięcej osób w firmie \(F\).
2. ta wartość zarobków jest największa w firmie \(F\).
3. iloczyn tej wartości zarobków i liczby osób z takimi zarobkami jest największy w firmie \(F\).
Zadanie 2.
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Medianą miesięcznych zarobków w firmie \(F\) jest \(.................\) tys. zł.
Zadanie 3.
Oblicz, jaki \(\%\) liczby wszystkich pracowników firmy \(F\) stanowią osoby zarabiające \(5,5\) tys. zł lub mniej.
Zadanie 4.
Oblicz średnią miesięcznego wynagrodzenia netto wszystkich pracowników firmy \(F\). Wynik podaj bez zaokrąglania.
Zadanie 1.
Dominanta to wartość, która występuje najczęściej. Z wykresu możemy odczytać, że najwięcej osób zarabia \(4\) tysiące złotych. To oznacza, że dominanta miesięcznych zarobków wynosi \(4\) tys. zł ponieważ tę wartość zarobków osiąga najwięcej osób w firmie \(F\).
Zadanie 2.
Krok 1. Obliczenie liczby pracowników.
Aby poznać liczbę pracowników tej firmy, musimy zsumować liczbę osób pobierających dane wynagrodzenie (np. \(1\) osoba zarabia \(1,5\) tysiąca, \(1\) osoba zarabia \(2\) tysiące, \(4\) osoby zarabiają \(2,5\) tysiąca itd.). To oznacza, że tych pracowników będziemy mieć:
$$1+1+4+7+10+14+13+9+6+3+2+1+1+1+2=75$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
Mamy nieparzystą liczbę pracowników, a to oznacza, że mediana będzie równa tak zwanej środkowej wartości. W przypadku ciągu \(75\)-elementowego, środkową wartością będzie pensja numer \(38\).
Teoretycznie powinniśmy teraz wypisać wszystkie zarobki w ciągu niemalejącym (od najmniejszej do największej wypłaty) i wybrać tę, która będzie trzydziesta ósma w kolejności. Oczywiście nie będziemy zapisywać po kolei tych wszystkich pensji - wystarczy zauważyć, że \(1+1+4+7+10+14=37\) osób zarabia \(4\) tysiące lub mniej. Nas interesują zarobki \(38.\) osoby, a te wynoszą w takim razie \(4,5\) tysiąca złotych. Stąd też mediana zarobków wynosi właśnie \(4,5\) tysiąca złotych.
Zadanie 3.
Osób zarabiających \(5,5\) tysiąca złotych lub mniej mamy:
$$1+1+4+7+10+14+13+9+6=65$$
Wszystkich pracowników mamy \(75\), więc ci zarabiający \(5,5\) tys. zł lub mniej stanowią:
$$\frac{65}{75}\cdot100\%=86\frac{2}{3}\%$$
Zadanie 4.
Aby obliczyć średnią, musimy zsumować wszystkie wynagrodzenia i podzielić to przez liczbę wszystkich pracowników. Suma wszystkich wynagrodzeń będzie równa:
$$1\cdot1,5+1\cdot2+4\cdot2,5+7\cdot3+10\cdot3,5+14\cdot4+13\cdot4,5+$$
$$+9\cdot5+6\cdot5,5+3\cdot6+2\cdot6,5+1\cdot7+1\cdot7,5+1\cdot8,5+2\cdot10=$$
$$=1,5+2+10+21+35+56+58,5+45+33+18+13+7+7,5+8,5+20=336$$
Wiemy już, że mamy \(75\) pracowników, zatem średnia będzie równa:
$$śr=\frac{336}{75}$$
$$śr=4,48$$
Średnia pensja wynosi więc \(4480zł\).
Zadanie nr 29 · Matura 2023
Na diagramie przedstawiono ceny pomidorów w $16$ sklepach: $5{,}05$ zł — $2$ sklepy, $5{,}60$ zł — $4$, $5{,}70$ zł — $2$, $6{,}00$ zł — $5$, $6{,}30$ zł — $3$. Podaj medianę (29.1) i średnią (29.2) ceny (A: $5{,}80$; B: $5{,}73$; C: $5{,}85$; D: $6{,}00$; E: $5{,}70$).
Rozwiązanie
Mediana: $16$ danych — średnia $8.$ i $9.$ wartości. $8.=5{,}70$, $9.=6{,}00$; mediana $=\tfrac{5{,}70+6{,}00}{2}=5{,}85$ zł → C.
Średnia: $\tfrac{2\cdot5{,}05+4\cdot5{,}60+2\cdot5{,}70+5\cdot6{,}00+3\cdot6{,}30}{16}=\tfrac{92{,}80}{16}=5{,}80$ zł → A.
Odpowiedź: 29.1 → C ($5{,}85$ zł); 29.2 → A ($5{,}80$ zł).
Zadanie nr 29 · Matura 2023
Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.
Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.
Krok 1. Obliczenie mediany ceny kilograma pomidorów.
Zebrano ceny pomidorów z \(16\) sklepów, czyli liczba wyników jest parzysta. To oznacza, że mediana będzie średnią arytmetyczną między środkowymi wyrazami - czyli w naszym przypadku będzie to średnia arytmetyczna ósmego i dziewiątego wyniku.
Wyliczając medianę musimy uporządkować liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszych do największych). Jeśli chcemy, to moglibyśmy wypisać te ceny jako ciąg:
$$5,05; \; 5,05; \; 5,60; \; 5,60...$$
Analizując wykres i pojawiające się tam ceny wynika, że ósmą w kolejności ceną byłoby \(5,70\), a dziewiątą byłoby już \(6,00\). To oznacza, że mediana będzie równa:
$$m=\frac{5,70+6,00}{2}$$
$$m=\frac{11,70}{2}$$
$$m=5,85$$
Krok 2. Obliczenie średniej ceny kilograma pomidorów.
Średnią cenę obliczymy w następujący sposób:
$$śr=\frac{2\cdot5,05+4\cdot5,60+2\cdot5,70+5\cdot6,00+3\cdot6,30}{16}$$
$$śr=\frac{10,10+22,40+11,40+30+18,90}{16}$$
$$śr=\frac{92,80}{16}$$
$$śr=5,80$$
Zadanie nr 29.2 · Próbny 2023
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Dominanta masy $50$ zważonych jabłek jest równa: A. $20$ dag albo B. $23$ dag, ponieważ: 1. ta masa jest największa w tej próbie, 2. iloczyn tej masy i liczby jabłek o takiej masie jest największy, 3. ta masa występuje najliczniej w tej próbie.
Dominanta to wartość występująca najczęściej. Najwięcej jabłek (17) ma masę $20$ dag, więc dominanta $=20$ dag — odpowiedź A, ponieważ ta masa występuje najliczniej — uzasadnienie 3.
Odpowiedź: A3.
Zadanie nr 29 · Matura 2023
Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.
Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.
Krok 1. Obliczenie mediany ceny kilograma pomidorów.
Zebrano ceny pomidorów z \(16\) sklepów, czyli liczba wyników jest parzysta. To oznacza, że mediana będzie średnią arytmetyczną między środkowymi wyrazami - czyli w naszym przypadku będzie to średnia arytmetyczna ósmego i dziewiątego wyniku.
Wyliczając medianę musimy uporządkować liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszych do największych). Jeśli chcemy, to moglibyśmy wypisać te ceny jako ciąg:
$$5,05; \; 5,05; \; 5,60; \; 5,60...$$
Analizując wykres i pojawiające się tam ceny wynika, że ósmą w kolejności ceną byłoby \(5,70\), a dziewiątą byłoby już \(6,00\). To oznacza, że mediana będzie równa:
$$m=\frac{5,70+6,00}{2}$$
$$m=\frac{11,70}{2}$$
$$m=5,85$$
Krok 2. Obliczenie średniej ceny kilograma pomidorów.
Średnią cenę obliczymy w następujący sposób:
$$śr=\frac{2\cdot5,05+4\cdot5,60+2\cdot5,70+5\cdot6,00+3\cdot6,30}{16}$$
$$śr=\frac{10,10+22,40+11,40+30+18,90}{16}$$
$$śr=\frac{92,80}{16}$$
$$śr=5,80$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2022
Firma \(F\) zatrudnia \(160\) osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy \(F\), którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.
Zadanie 1. Średnia miesięczna płaca brutto w firmie \(F\) jest równa:
A. \(4 593,75 zł\)
B. \(4 800,00 zł\)
C. \(5 360,00 zł\)
D. \(2 399,33 zł\)
Zadanie 2. Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy \(F\) jest równa:
A. \(4 000 zł\)
B. \(4 800 zł\)
C. \(5 000 zł\)
D. \(5 500 zł\)
Zadanie 3. Liczba pracowników firmy \(F\), których miesięczna płaca brutto nie przewyższa \(5 000 zł\), stanowi (w zaokrągleniu do \(1\%\)):
A. \(91\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy
B. \(78\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy
C. \(53\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy
D. \(22\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy
Odpowiedź 1.
Chcąc obliczyć średnią arytmetyczną, musimy dodać do siebie iloczyny liczby pracowników i ich pensji, a następnie całość podzielić przez liczbę wszystkich zatrudnionych (czyli przez \(160\)). Średnia miesięczna płaca brutto jest więc równa:
$$śr=\frac{75\cdot4000+50\cdot4800+20\cdot5000+10\cdot6000+5\cdot7000}{160}$$
$$śr=\frac{300000+240000+100000+60000+35000}{160}$$
$$śr=\frac{735000}{160}$$
$$śr=4 593,75[zł]$$
Odpowiedź 2.
Mamy parzystą liczbę pracowników, zatem jeśli uporządkowujemy pensje każdej osoby w ciągu niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej) to mediana będzie równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wartości. W tym przypadku mediana będzie średnią zarobków osoby \(80.\) oraz \(81.\) (ponieważ mamy \(160\) pracowników). Z wykresu wynika, że \(75\) osób ma pensję \(4000zł\), a potem \(50\) osób ma pensję \(4800zł\), więc zarobki osoby \(80.\) i \(81.\) wynoszą \(4800zł\). To oznacza, że mediana będzie równa \(4800zł\), co możemy jeszcze rozpisać matematycznie jako:
$$m=\frac{4800+4800}{2}$$
$$m=\frac{9600}{2}$$
$$m=4800[zł]$$
Odpowiedź 3.
Pracowników zarabiających nie więcej niż \(5000zł\) jest łącznie:
$$75+50+20=145$$
Skoro wszystkich pracowników jest \(160\), to zarabiający nie więcej niż \(5000zł\) stanowią:
$$\frac{145}{160}=0,90625\approx91\%$$
Zadanie nr 28 · Matura 2022
W pewnej grupie uczniów przeprowadzono ankietę na temat liczby odsłuchanych audiobooków w lutym 2022 roku. Wyniki ankiety przedstawiono w tabeli.
Mediana liczby odsłuchanych audiobooków w tej grupie uczniów jest równa:
A\(3\)
B\(2\)
C\(1\)
D\(\frac{3}{2}\)
Krok 1. Obliczenie liczby uczniów.
Z tabeli wynika, że wszystkich uczniów biorących udział w ankiecie, było:
$$9+5+3+4+1+3=25$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
Liczba uczniów jest równa \(25\), czyli jest ona nieparzysta. To oznacza, że gdy uporządkujemy wyniki ankiety w porządku niemalejącym (od najmniejszej do największej) to medianą będzie środkowy wyraz, czyli w tym przypadku trzynasty.
Analizując tabelkę widzimy, że gdybyśmy po kolei wypisali wyniki ankiety, to trzynastym wynikiem byłoby \(1\), zatem mediana będzie równa \(1\).
Zadanie nr 28 · Próbny 2021
Liczba \(x\) jest dodatnia. Mediana zestawu czterech liczb: \(1+x\), \(1+2x\), \(4+3x\), \(1\), jest równa \(10\). Wtedy:
A\(x=6\)
B\(x=5,5\)
C\(x=2,5\)
D\(x=1\)
Krok 1. Uporządkowanie liczb w porządku niemalejącym.
Aby obliczyć medianę musimy na początku uporządkować liczby w porządku rosnącym (a precyzyjniej w porządku niemalejącym). Teoretycznie wydaje się to trudne, bo w trzech liczbach mamy niewiadomą \(x\), ale skoro liczba \(x\) jest dodatnia, to na pewno \(1\) jest tą liczbą najmniejszą, a \(4+3x\) jest największą. Nasz uporządkowany zestaw będzie wyglądał następująco:
$$1; \quad 1+x; \quad 1+2x; \quad 4+3x$$
Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Mamy parzystą ilość wyrazów, zatem mediana jest średnią arytmetyczną dwóch wyrazów środkowych, czyli \(1+x\) oraz \(1+2x\). Mediana jest równa \(10\), zatem możemy zapisać, że:
$$\frac{1+x+1+2x}{2}=10$$
$$\frac{3x+2}{2}=10$$
$$3x+2=20$$
$$3x=18$$
$$x=6$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2021
W grupie \(64\) dorosłych osób przeprowadzono ankietę dotyczącą nauki języków obcych. Wyniki ankiety przedstawiono w tabeli.
Mediana wyrażonego w latach czasu nauki języków obcych jest równa:
A\(1\)
B\(3\)
C\(3,5\)
D\(4\)
Z treści zadania wynika, że mamy \(64\) osoby, czyli jest to parzysta liczba. To oznacza, że jak uporządkujemy wyniki zapisane w tabeli, to medianą będzie średnia arytmetyczna między wynikiem osoby numer \(32\) oraz \(33\).
Aby dobrze sobie uzmysłowić tę sytuację to możemy powiedzieć, że zestaw liczb z którego chcemy policzyć medianę wygląda mniej więcej w ten sposób:
$$0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,...,5,5,5$$
Nas interesuje wartość wyrazu numer \(32\) oraz \(33\). Oczywiście nie będziemy wypisywać ponad trzydziestu liczb. Wystarczy zauważyć, że osób które mają \(0\), \(1\), \(2\) lub \(3\) lata nauki mamy \(11+6+5+10=32\). To prowadzi nas do wniosku, że trzydziesta druga osoba ma \(3\) lata nauki, a trzydziesta trzecia ma \(4\) lata. Skoro tak, to mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2}$$
$$m=\frac{7}{2}$$
$$m=3,5$$
Zadanie nr 25 · Próbny 2021
Na diagramie słupkowym przedstawiono oceny końcowe ucznia.
Mediana ocen ucznia jest równa:
A\(3\)
B\(3,5\)
C\(4\)
D\(4,5\)
Aby wyznaczyć medianę, musimy najpierw dowiedzieć się ile ocen zdobył nasz uczeń. Sumując wyniki z diagramu otrzymamy informację, że tych ocen jest:
$$2+6+5+2+1=16$$
Jest to parzysty wynik, zatem mediana będzie równa średniej arytmetycznej wartości środkowych wyrazów. W tym przypadku będzie to średnia arytmetyczna ósmej i dziewiątej oceny.
Podczas wyznaczania mediany musimy uporządkować wszystkie liczby w ciągu niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Nie musimy jednak wypisywać wszystkich ocen po kolei. Widzimy, że skoro uczeń ma dwie dwójki i sześć trójek, ósmą oceną w tym ciągu jest właśnie trójka, a dziewiątą będzie już czwórka. W związku z tym mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2}$$
$$m=\frac{7}{2}$$
$$m=3,5$$
Zadanie nr 26 · Próbny 2021
Mediana zestawu danych: \(1, 1, 2, 2, x, 4, 6, 7, 9, 11\) wynosi \(3,5\). Zatem średnia arytmetyczna tego zestawu jest równa:
A\(4,6\)
B\(6,5\)
C\(7,25\)
D\(8,75\)
Nasz zestaw składa się z \(10\) liczb. Mediana jest w takim razie średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów, czyli piątego i szóstego. Na pierwszy rzut oka widać, że zestaw liczb jest uporządkowany od najmniejszego do największego, aczkolwiek musimy być ostrożni, bo nie wiemy przecież jaka jest wartość \(x\) (równie dobrze \(x\) może być najmniejszą lub największą liczbą w tym zestawie). Nie mniej jednak widzimy, że gdyby \(x\) przybierał wartość np. równą \(12\), to mediana
Mamy uporządkowany (od najmniejszej do największej) zestaw \(10\) liczb. Piątym wyrazem jest \(x\), szóstym jest \(4\), a mediana ma być równa \(3,5\), zatem:
$$\frac{x+4}{2}=3,5$$
$$x+4=7$$
$$x=3$$
To oznacza, że średnia arytmetyczna tego zestawu jest równa:
$$śr=\frac{1+1+2+2+3+4+6+7+9+11}{10}$$
$$śr=\frac{46}{10}$$
$$śr=4,6$$
Zadanie nr 28 · Matura 2021
Sześciowyrazowy ciąg liczbowy \((1;2;2x;x+2;5;6)\) jest niemalejący. Mediana tego ciągu jest równa \(4\). Wynika stąd, że:
A\(x=1\)
B\(x=\frac{3}{2}\)
C\(x=2\)
D\(x=\frac{8}{3}\)
Przystępując do liczenia mediany musimy zawsze uporządkować ciąg w porządku niemalejącym. Ten ciąg jest właśnie niemalejący, więc niczego tutaj już nie musimy przestawiać.
Nasz ciąg jest sześciowyrazowy, czyli ma parzystą liczbę wyrazów. To oznacza, że medianę wyliczymy ze średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów. Środkowymi wyrazami są \(2x\) oraz \(x+2\), a sama mediana jest równa \(4\), zatem:
$$\frac{2x+x+2}{2}=4$$
$$3x+2=8$$
$$3x=6$$
$$x=2$$
Zadanie nr 23 · Próbny 2020
Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\) jest równa \(9\). Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa:
A\(8\)
B\(9\)
C\(10\)
D\(16\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Korzystając z informacji, że średnia tych ośmiu liczb jest równa \(9\) możemy zapisać, że:
$$\frac{x+2+4+6+8+10+12+14}{8}=9$$
$$\frac{x+56}{8}=9$$
$$x+56=72$$
$$x=16$$
Krok 2. Uporządkowanie wszystkich wyrazów.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany koniecznie musimy ustawić wszystkie wyniki w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej liczby do największej):
$$2,4,6,8,10,12,14,16$$
Krok 3. Wyznaczenie mediany.
Z racji tego, iż jest parzysta liczba wszystkich wyrazów (jest ich dokładnie osiem), to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (czyli wyrazu czwartego i piątego), zatem:
$$m=\frac{8+10}{2}$$
$$m=\frac{18}{2}$$
$$m=9$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2020
Średnia arytmetyczna zestawu sześciu danych: \(2, 3, 4, 5, 6, x\) jest równa \(4\). Mediana tego zestawu wynosi:
A\(3,5\)
B\(4\)
C\(4,5\)
D\(5\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Korzystając z informacji o tym, że średnia arytmetyczna naszych sześciu liczb jest równa \(4\) możemy zapisać, że:
$$\frac{2+3+4+5+6+x}{6}=4$$
$$\frac{20+x}{6}=4$$
$$20+x=24$$
$$x=4$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
Aby przystąpić do liczenia mediany musimy uporządkować nasze liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej):
$$2,3,4,4,5,6$$
Mamy parzystą ilość liczb, zatem mediana będzie równa średniej arytmetycznej środkowych wyrazów. U nas środkowymi wyrazami są \(4\) oraz \(4\), zatem:
$$m=\frac{4+4}{2}$$
$$m=\frac{8}{2}$$
$$m=4$$
Zadanie nr 25 · Próbny 2020
Ze zbioru liczb \(1, 8, 2, 8, 4, 8, 6\) usunięto jedną liczbę w ten sposób, że mediana otrzymanego zbioru liczb zmniejszyła się o \(1\). Wynika stąd, że usunięto liczbę:
A\(1\)
B\(8\)
C\(2\)
D\(6\)
Krok 1. Uporządkowanie zestawu liczb.
Aby rozpocząć jakiekolwiek obliczenia związane z medianą, musimy uporządkować ten zbiór i ustawić liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). W związku z tym nasz zbiór będzie wyglądał następująco:
$$1, 2, 4, 6, 8, 8, 8$$
Krok 2. Obliczenie bieżącej mediany.
Nasz zestaw liczby \(7\) liczb, więc medianą będzie po prostu środkowy wyraz. W tym przypadku środkowym wyrazem jest \(6\), zatem mediana jest równa \(6\).
Krok 3. Ustalenie, którą liczbę usunięto.
Wiemy, że z naszego zestawu usunięto jedną liczbę, zatem nowy zestaw ma już tylko \(6\) liczb. To oznacza, że nową medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów. Z treści zadania wynika, że po usunięciu tej liczby mediana zmniejszyła się o \(1\), czyli wynosi \(5\).
To prowadzi nas do wniosku, że środkowymi wyrazami muszą być \(4\) oraz \(6\), bo wtedy \(m=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5\). Aby \(4\) oraz \(6\) były środkowymi liczbami, to z zestawu musimy usunąć jedną z ósemek i taka też będzie nasza odpowiedź.
Zadanie nr 23 · Matura 2020
Cztery liczby: \(2, 3, a, 8\), tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: \(5, 3, 6, 8, 2\). Zatem:
A\(a=7\)
B\(a=6\)
C\(a=5\)
D\(a=4\)
Krok 1. Obliczenie mediany zestawy pięciu liczb.
Aby obliczyć medianę zestawu \(5, 3, 6, 8, 2\) musimy uporządkować liczby w porządku niemalejącym (od najmniejszej do największej):
$$2, 3, 5, 6, 8$$
Mamy nieparzystą ilość liczb, zatem mediana będzie równa środkowej wartości. W tym przypadku środkową liczbą jest \(5\), zatem \(m=5\).
Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Wracamy do naszego pierwszego zestawu czterech liczb \(2, 3, a, 8\). Wiemy już, że ten zestaw jest uporządkowany rosnąco, co jest niezwykle ważne przy wyznaczeniu mediany. Chcemy, by mediana tego zestawu była równa \(5\). Ten zestaw ma parzystą ilość wyrazów, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych liczb. Skoro tak, to otrzymamy równanie:
$$5=\frac{3+a}{2}$$
$$10=3+a$$
$$a=7$$
Zadanie nr 23 · Matura 2019
Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych \(3,10,5,x,x,x,x,12,19,7\) jest równa \(12\). Mediana tych liczb jest równa:
A\(14\)
B\(12\)
C\(16\)
D\(x\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Mamy dziesięć liczb, z czego cztery kryją się pod niewiadomą \(x\). Gdyby te niewiadome liczby były zapisane np. jako \(a,b,c,d\) to moglibyśmy przypuszczać, że każda z tych liczb jest różna. Skoro jednak wszystkie niewiadome uzyskały ten sam symbol \(x\) to jest to dla nas znak, że pod każdą z tych liczb kryje się ta sama wartość i my ją sobie teraz wyznaczymy.
Korzystając zatem ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy zapisać, że:
$$\frac{3+10+5+x+x+x+x+12+19+7}{10}=12$$
$$\frac{56+4x}{10}=12$$
$$56+4x=120$$
$$4x=64$$
$$x=16$$
Krok 2. Zapisanie liczb w porządku niemalejącym.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany musimy uporządkować te liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Otrzymamy zatem następującą sytuację:
$$3,5,7,10,12,16,16,16,16,19$$
Krok 3. Obliczenie mediany.
Mamy parzystą ilość liczb, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną wartości środkowych wyrazów. W tym przypadku skoro mamy \(10\) liczb, to mediana będzie średnią arytmetyczną wartości piątej i szóstej liczby, czyli:
$$m=\frac{12+16}{2}$$
$$m=\frac{28}{2}$$
$$m=14$$
Zadanie nr 21 · Próbny 2019
Mediana uporządkowanego zestawu danych: \(4, 6, a, b, 8, 9\) wynosi \(7,5\). Brakującymi wartościami \(a\) i \(b\) mogą być:
A\(a=6, b=6\)
B\(a=6, b=7\)
C\(a=6, b=8\)
D\(a=7, b=8\)
Wiemy, że nasz zestaw danych jest uporządkowany. Zestaw ma parzystą ilość wyrazów, zatem medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów. W tym przypadku środkowymi wyrazami są właśnie \(a\) oraz \(b\). Wiemy, że mediana musi być równa \(7,5\), zatem:
$$\frac{a+b}{2}=7,5$$
$$a+b=15$$
To oznacza, że szukamy takich liczb \(a\) oraz \(b\), których suma daje wynik równy \(15\) (biorąc oczywiście pod uwagę fakt, że jedna i druga liczba musi być większa lub równa \(6\) i mniejsza lub równa \(8\)). Pasującą parą liczb będzie w takim razie ta z ostatniej odpowiedzi, czyli \(a=7, b=8\) bo tylko tutaj suma liczb jest równa \(15\).
Zadanie nr 23 · Matura 2019
Mediana zestawu sześciu danych liczb: \(4, 8, 21, a, 16, 25\), jest równa \(14\). Zatem:
A\(a=7\)
B\(a=12\)
C\(a=14\)
D\(a=20\)
To zadanie możemy oczywiście rozwiązać w ten sposób, że podstawimy sobie podane w odpowiedziach wartości \(a\) i sprawdzimy kiedy otrzymamy pożądaną medianę. Możemy do tego też poedjść nieco bardziej matematycznie (a w zasadzie analitycznie):
Krok 1. Uszeregowanie liczb.
Aby obliczać medianę musimy uszeregować liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Liczby \(a\) nie znamy, więc na razie ją pomijamy:
$$4,8,16,21,25$$
Krok 2. Analiza wartości niewiadomej \(a\).
Wiemy, że nasz zestaw ma \(6\) liczb, czyli mediana będzie równa średniej arytmetycznej trzeciego i czwartego wyrazu. Jak \(a\) byłoby liczbą mniejszą lub równą \(8\), to trzecim wyrazem byłaby liczba \(8\), a czwartym \(16\), czyli mielibyśmy medianę równą:
$$\frac{8+16}{2}=\frac{24}{2}=12$$
Taki wariant więc odrzucamy.
Tak samo odrzucamy wariant kiedy \(a\) jest większe od \(21\), bo wtedy trzeci wyraz byłby równy \(16\), a czwarty \(21\), zatem mediana byłaby równa:
$$\frac{16+21}{2}=\frac{37}{2}=18,5$$
Ten wariant także odrzucamy.
To oznacza, że nasze \(a\) musi brać udział w liczeniu mediany, czyli musi być tym trzecim lub czwartym wyrazem, zatem możemy ułożyć równanie:
$$\frac{a+16}{2}=14$$
$$a+16=28$$
$$a=12$$
Mediana będzie więc równa \(14\) tylko wtedy, gdy \(a=12\).
Zadanie nr 24 · Matura 2018
Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły.
Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa:
A\(3\)
B\(3,5\)
C\(4\)
D\(4,5\)
Krok 1. Zapisanie ocen w porządku niemalejącym.
Aby przystąpić do obliczenia mediany musimy ułożyć oceny od najmniejszej do największej, zatem:
$$2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,6,6$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
Wszystkich ocen mamy łącznie \(2+3+5+5+1=16\). To oznacza, że mediana będzie średnią arytmetyczną ósmej i dziewiątej oceny zapisanej w ciągu z kroku pierwszego. Ósmą i dziewiątą oceną jest czwórka, zatem:
$$m=\frac{4+4}{2}$$
$$m=\frac{8}{2}$$
$$m=4$$
Zadanie nr 22 · Próbny 2018
Średnia arytmetyczna zestawu liczb \(5, 8, 1, 3, x, 8\) wynosi \(6\). Mediana tego zestawu jest równa:
A\(2\)
B\(6\frac{1}{2}\)
C\(4\)
D\(8\)
Krok 1. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).
Mamy sześć cyfr i ich średnia arytmetyczna jest równa \(6\). Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy zapisać, że:
$$\frac{5+8+1+3+x+8}{6}=6$$
$$\frac{25+x}{6}=6$$
$$25+x=36$$
$$x=11$$
Krok 2. Uporządkowanie wszystkich liczb.
Aby obliczyć medianę musimy na początku uporządkować liczby w porządku niemalejącym, czyli w kolejności od najmniejszej do największej, zatem:
$$1,3,5,8,8,11$$
Krok 3. Wyznaczenie mediany.
Mamy sześć liczb, czyli jest to parzysta ilość wyrazów. To oznacza, że medianą jest średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów, zatem:
$$m=\frac{5+8}{2}$$
$$m=\frac{13}{2}$$
$$m=6,5$$
Zadanie nr 23 · Matura 2017
Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\) jest równa \(9\). Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa:
A\(8\)
B\(9\)
C\(10\)
D\(16\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Korzystając z informacji, że średnia tych ośmiu liczb jest równa \(9\) możemy zapisać, że:
$$\frac{x+2+4+6+8+10+12+14}{8}=9$$
$$\frac{x+56}{8}=9$$
$$x+56=72$$
$$x=16$$
Krok 2. Uporządkowanie wszystkich wyrazów.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany koniecznie musimy ustawić wszystkie wyniki w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej liczby do największej):
$$2,4,6,8,10,12,14,16$$
Krok 3. Wyznaczenie mediany.
Z racji tego, iż jest parzysta liczba wszystkich wyrazów (jest ich dokładnie osiem), to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (czyli wyrazu czwartego i piątego), zatem:
$$m=\frac{8+10}{2}$$
$$m=\frac{18}{2}$$
$$m=9$$
Zadanie nr 25 · Matura 2016
Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: \(31, 16, 25, 29, 27, x\) jest równa \(\frac{x}{2}\). Mediana tych liczb jest równa:
A\(26\)
B\(27\)
C\(28\)
D\(29\)
Krok 1. Ułożenie poprawnego równania i wyznaczenie wartości \(x\).
Zgodnie z treścią zadania prawdziwa jest następująca równość:
$$\frac{31+16+25+29+27+x}{6}=\frac{x}{2}$$
$$\frac{128+x}{6}=\frac{x}{2} \quad\bigg/\cdot6$$
$$128+x=3x$$
$$2x=128$$
$$x=64$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
Aby obliczyć naszą medianę musimy przede wszystkim ustawić nasze liczby w ciągu niemalejącym, bo tylko w ten sposób jesteśmy w stanie rozwiązać to zadanie:
$$16,25,27,29,31,64$$
Z racji tego, że mamy parzystą liczbę wyrazów, to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów:
$$m=\frac{27+29}{2}=\frac{56}{2}=28$$
Zadanie nr 24 · Matura 2015
Medianą zestawu danych \(9, 1, 4, x, 7, 9\) jest liczba \(8\). Wtedy \(x\) może być równe:
A\(8\)
B\(4\)
C\(7\)
D\(9\)
Aby obliczyć medianę musimy uporządkować liczby w kolejności rosnącej. Uporządkujmy zatem te wartości, które znamy:
$$1,4,7,9,9$$
Jeżeli do tego zestawu dodamy liczbę \(x\) to nasz zestaw będzie mieć \(6\) liczb. W związku z tym mediana będzie średnią arytmetyczną między trzecim i czwartym wyrazem. Już po wstępnej analizie powinniśmy dostrzec, że ta mediana będzie równa \(8\) w sytuacji w której \(x\) jest liczbą większą lub równą \(9\), ale jeżeli tego nie widzimy to możemy rozpatrzeć każdy przypadek po kolei:
Dla \(x=8\) mediana będzie równa \(\frac{7+8}{2}=\frac{15}{2}=7,5\)
Dla \(x=4\) mediana będzie równa \(\frac{4+7}{2}=\frac{11}{2}=5,5\)
Dla \(x=7\) mediana będzie równa \(\frac{7+7}{2}=\frac{14}{2}=7\)
Dla \(x=9\) mediana będzie równa \(\frac{7+9}{2}=\frac{16}{2}=8\)
W związku z tym poszukiwaną przez nas liczbą jest \(9\).
Zadanie nr 21 · Próbny 2015
Wszystkie oceny Ani z matematyki to \(5, 4, 6, 5, 5\) i nieznana ocena \(x\). Średnia arytmetyczna wszystkich ocen Ani jest większa niż ich mediana. Tą oceną może być:
A\(3\)
B\(4\)
C\(5\)
D\(6\)
Krok 1. Obliczenie średniej ocen Ani.
Na razie policzmy średnią ocen bez niewiadomej oceny \(x\). Mamy pięć znanych ocen, zatem:
$$śr=\frac{5+4+6+5+5}{5}$$
$$śr=\frac{25}{5}$$
$$śr=5$$
Krok 2. Wyznaczenie mediany ocen.
Aby wyznaczyć medianę z pięciu znanych ocen musimy najpierw uszeregować wyniki w porządku niemalejącymi (czyli od najmniejszego do największego). Otrzymamy w ten sposób:
$$4,5,5,5,6$$
Liczba ocen jest nieparzysta, zatem mediana będzie równa wartości środkowego wyrazu, czyli \(m=5\).
Krok 3. Interpretacja wartości niewiadomej \(x\).
Spójrzmy na naszą medianę. Gdybyśmy dopisali jeszcze jedną liczbę, to otrzymamy parzystą ilość liczb, czyli medianę będziemy wyliczać ze średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów. Niezależnie od tego jaką ocenę byśmy Ani dopisali, to środkowymi wyrazami będą \(5\) oraz \(5\), zatem mediana po dodaniu niewiadomej \(x\) będzie i tak równa \(5\).
W związku z tym, skoro średnia arytmetyczna znanych ocen jest równa \(5\), a wiemy że średnia ma być większa od mediany, to niewiadoma \(x\) musi być większa od piątki, czyli to musi być po prostu szóstka. Otrzymamy wtedy:
$$śr=\frac{5+4+6+5+5+6}{6}$$
$$śr=\frac{31}{6}$$
$$śr\approx5,17$$
Zadanie nr 23 · Matura 2015
Medianą zestawu danych \(2, 3, 5, x, 1, 9\) jest liczba \(4\). Wtedy \(x\) może być równe:
A\(2\)
B\(3\)
C\(4\)
D\(5\)
Aby obliczyć medianę musimy uporządkować liczby w kolejności rosnącej. Uporządkujmy zatem te wartości, które znamy:
$$1,2,3,5,9$$
Jeżeli do tego zestawu dodamy jeszcze liczbę \(x\) to nasz zestaw będzie mieć \(6\) liczb. W związku z tym mediana będzie średnią arytmetyczną między trzecim i czwartym wyrazem. Już po wstępnej analizie powinniśmy dostrzec, że ta mediana będzie równa \(4\) w sytuacji w której \(x\) jest liczbą większą lub równą \(5\), ale jeżeli tego nie widzimy to możemy rozpatrzeć każdy przypadek po kolei:
Dla \(x=2\) mediana będzie równa \(\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}=2,5\)
Dla \(x=3\) mediana będzie równa \(\frac{3+3}{2}=\frac{6}{2}=3\)
Dla \(x=4\) mediana będzie równa \(\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}=3,5\)
Dla \(x=5\) mediana będzie równa \(\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4\)
W związku z tym poszukiwaną przez nas liczbą jest \(5\).
Zadanie nr 25 · Matura 2014
Średnia arytmetyczna liczb: \(x,13,7,5,5,3,2,11\) jest równa \(7\). Mediana tego zestawu liczb jest równa:
A\(6\)
B\(7\)
C\(10\)
D\(5\)
Krok 1. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).
Zanim obliczymy medianę musimy poznać wartość niewiadomej \(x\). Zrobimy to układając proste równanie związane ze średnią arytmetyczną:
$$\frac{x+13+7+5+5+3+2+11}{8}=7$$
$$\frac{x+46}{8}=7 \quad\bigg/\cdot8$$
$$x+46=56$$
$$x=10$$
Krok 2. Uporządkowanie liczb i wyznaczenie mediany.
Zanim zaczniemy obliczać medianę musimy uporządkować liczby w porządku niemalejącym:
$$2,3,5,5,7,10,11,13$$
Mamy parzystą liczbę wyrazów, więc medianę wyznaczymy w następujący sposób:
$$m=\frac{5+7}{2}$$
$$m=\frac{12}{2}$$
$$m=6$$
Zadanie nr 20 · Próbny 2014
Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(3, 8, 3, 11, 3, 10, 3, x\) jest równa \(6\). Mediana tego zestawu jest równa:
A\(5\)
B\(6\)
C\(7\)
D\(8\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Do obliczenia niewiadomej \(x\) skorzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną. Wszystkich liczb (łącznie z niewiadomą \(x\)) mamy osiem, zatem:
$$\frac{3+8+3+11+3+10+3+x}{8}=6$$
$$\frac{41+x}{8}=6$$
$$41+x=48$$
$$x=7$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
Aby móc obliczyć medianę musimy najpierw uporządkować wyrazy w kolejności niemalejącej:
$$3, 3, 3, 3, 7, 8, 10, 11$$
Mamy parzystą liczbę wyrazów, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych liczb:
$$m=\frac{3+7}{2}$$
$$m=\frac{10}{2}$$
$$m=5$$
Zadanie nr 25 · Matura 2014
Mediana zestawu danych \(2, 12, a, 10, 5, 3\) jest równa \(7\). Wówczas:
A\(a=4\)
B\(a=6\)
C\(a=7\)
D\(a=9\)
Krok 1. Uporządkowanie zestawu danych.
Aby móc przystąpić do obliczeń z medianą musimy na wstępie uporządkować wszystkie wyrazy ciągu w porządku niemalejącym. Uporządkujmy sobie na wstępie wszystkie wartości które znamy (czyli bez \(a\)):
$$2,3,5,10,12$$
W tej sytuacji mediana jest równa \(5\). My wiemy, że po dodaniu do tego zestawu liczby \(a\) mediana musi być równa \(7\). Musimy więc przeanalizować gdzie to nasze \(a\) może się znaleźć. Gdyby \(a\) było mniejsze od \(5\), to mediana byłaby mniejsza od \(5\). Gdyby \(a\) było większe od \(10\), to mediana byłaby równa \(\frac{5+10}{2}=7\frac{1}{2}\). Jedyną więc możliwością jest sytuacja, w której \(a\) znajdzie się między piątką i dziesiątką. Stąd też:
$$2,3,5,a,10,12$$
Krok 2. Obliczenie parametru \(a\) na podstawie mediany.
Mamy parzystą liczbę wyrazów naszego zestawu, więc medianę obliczymy jako średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. W ten oto sposób uda nam się wyznaczyć wartość \(a\):
$$mediana=\frac{5+a}{2}$$
$$7=\frac{5+a}{2}$$
$$14=5+a$$
$$a=9$$
Podpowiedź: Oczywiście nic nie stoi też na przeszkodzie, by podstawić pod \(a\) każdą z czterech odpowiedzi i tym samym sprawdzić kiedy mediana będzie równa \(7\).
Zadanie nr 24 · Matura 2013
Mediana uporządkowanego, niemalejącego zestawu liczb: \(1,2,3,x,5,8\) jest równa \(4\). Wtedy:
A\(x=2\)
B\(x=3\)
C\(x=4\)
D\(x=5\)
Nasz ciąg składa się z sześciu liczb (czyli mamy parzystą liczbę wyrazów), stąd też mediana będzie średnią arytmetyczną trzeciej i czwartej liczby. To pozwala nam utworzyć równanie:
$$\frac{3+x}{2}=4$$
$$3+x=8$$
$$x=5$$
Zadanie nr 24 · Matura 2012
Pewna firma zatrudnia \(6\) osób. Dyrektor zarabia \(8000zł\), a pensje pozostałych pracowników są równe: \(2000zł, 2800zł, 3400zł, 3600zł, 4200zł\). Mediana zarobków tych \(6\) osób jest równa:
A\(3400zł\)
B\(3500zł\)
C\(6000zł\)
D\(7000zł\)
Krok 1. Uporządkowanie w kolejności niemalejącej zarobków pracowników.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany zawsze musimy najpierw uporządkować liczby w porządku niemalejącym, zatem:
$$2000, 2800, 3400, 3600, 4200, 8000$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
Nasz ciąg liczb składa się z sześciu wyrazów (czyli jest to parzysta ilość), zatem mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów:
$$m=\frac{3400+3600}{2}$$
$$m=\frac{7000}{2}$$
$$m=3500$$
Zadanie nr 20 · Matura 2012
W kolejnych sześciu rzutach kostką otrzymano następujące wyniki: \(6,3,1,2,5,5\). Mediana tych wyników jest równa:
A\(3\)
B\(3,5\)
C\(4\)
D\(5\)
Krok 1. Uporządkowanie wszystkich wyrazów.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany koniecznie musimy ustawić wszystkie wyniki w porządku niemalejącym:
$$1,2,3,5,5,6$$
Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Z racji tego, iż jest parzysta liczba wszystkich wyrazów (jest ich dokładnie sześć), to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów, zatem:
$$m=\frac{3+5}{2}$$
$$m=\frac{8}{2}$$
$$m=4$$
Zadanie nr 18 · Próbny 2011
Mediana danych: \(-4, 2, 6, 0, 1\) jest równa:
A\(6\)
B\(0\)
C\(2,5\)
D\(1\)
Krok 1. Uporządkowanie wszystkich liczb.
Aby obliczyć medianę musimy na początku uporządkować liczby w kolejności od najmniejszej do największej, zatem:
$$-4,0,1,2,6$$
Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Mamy pięć liczb, czyli jest to nieparzysta ilość wyrazów. To oznacza, że medianą jest po prostu środkowy wyraz (czyli w tym przypadku trzeci), zatem \(m=1\).
Zadanie nr 28 · Matura 2011
Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.
Oblicz medianę i średnią arytmetyczną uzyskanych ocen.
Krok 1. Uporządkowanie ocen w porządku niemalejącym.
Aby obliczyć medianę musimy na początku uporządkować uzyskane oceny w porządku rosnącym (a precyzyjniej w porządku niemalejącym). Korzystając z tabeli możemy odczytać, że jedynkę otrzymało dwóch uczniów, dwójkę czterech uczniów itd., zatem:
$$1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,6$$
Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Wszystkich uczniów jest \(1+2+6+5+4+2=20\). Jest to parzysta ilość, zatem medianą będzie średnia arytmetyczna \(10\)-tego oraz \(11\)-tego wyrazu w ciągu który sobie wypisaliśmy w pierwszym kroku. Dziesiątym wyrazem jest liczba \(3\), jedenastym wyrazem jest także liczba \(3\), zatem mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+3}{2}=3$$
Krok 3. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Aby obliczyć wartość średniej arytmetycznej musimy dodać do siebie wartości wszystkich zdobytych ocen i podzielić je przez liczbę wszystkich uczniów:
$$\bar{a}=\frac{6\cdot1+5\cdot2+4\cdot6+3\cdot5+2\cdot4+1\cdot2}{1+2+6+5+4+2}$$
$$\bar{a}=\frac{65}{20}$$
$$\bar{a}=3,25$$
Zadanie nr 25 · Próbny 2010
W czterech rzutach sześcienną kostką do gry otrzymano następujące liczby oczek: \(6, 3, 1, 4\). Mediana tych danych jest równa:
A\(2\)
B\(2,5\)
C\(5\)
D\(3,5\)
Krok 1. Uporządkowanie wyników rzutu kostką.
Aby obliczyć medianę musimy najpierw ustawić wyniki z rzutów w porządku niemalejącym, zatem:
$$1,3,4,6$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
W przypadku ciągu, który ma nieparzystą liczbę elementów, medianą jest środkowy wyraz. Nasz ciąg ma jednak parzystą liczbę elementów (dokładnie cztery), a więc aby uzyskać medianę musimy obliczyć średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. W naszym przypadku środkowymi wyrazami są \(3\) oraz \(4\), tak więc mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2}=3,5$$
Zadanie nr 25 · Matura 2010
W czterech rzutach sześcienną kostką do gry otrzymano następujące liczby oczek: \(6, 3, 1, 4\). Mediana tych danych jest równa:
A\(2\)
B\(2,5\)
C\(5\)
D\(3,5\)
Krok 1. Uporządkowanie wyników rzutu kostką.
Aby obliczyć medianę musimy najpierw ustawić wyniki z rzutów w porządku niemalejącym, zatem:
$$1,3,4,6$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
W przypadku ciągu, który ma nieparzystą liczbę elementów, medianą jest środkowy wyraz. Nasz ciąg ma jednak parzystą liczbę elementów (dokładnie cztery), a więc aby uzyskać medianę musimy obliczyć średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. W naszym przypadku środkowymi wyrazami są \(3\) oraz \(4\), tak więc mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2}=3,5$$
Zadanie nr 7 · Matura 2005
W poniższej tabeli przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego w grupie uczniów, dotyczącego czasu przeznaczanego dziennie na przygotowanie zadań domowych.
Czas (w godzinach)
1
2
3
4
Liczba uczniów
5
10
15
10
a) Naszkicuj diagram słupkowy ilustrujący wyniki tego sondażu.
b) Oblicz średnią liczbę godzin, jaką uczniowie przeznaczają dziennie na przygotowanie zadań domowych.
c) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe czasu przeznaczonego dziennie na przygotowanie zadań domowych. Wynik podaj z dokładnością do 0,01.
a) Diagram słupkowy: nad wartościami \(1,2,3,4\) na osi poziomej rysujemy słupki o wysokościach odpowiednio \(5,\ 10,\ 15,\ 10\) (liczba uczniów).
W pewnej grupie \(100\) uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażony w godzinach – dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.
Zadanie 1.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Mediana dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa \(2,25\) godziny. P/F
Połowa z tej grupy uczniów korzysta dziennie z komputera przez mniej niż \(2,5\) godziny. P/F
Zadanie 2.
Dominanta dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa:
A. \(2,25\) godziny
B. \(2,50\) godziny
C. \(2,75\) godziny
D. \(1,50\) godziny
Zadanie 1.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z wykresu wynika, że liczba uczniów wynosi:
$$5+21+24+26+14+6+3+1=100$$
Liczba uczniów jest parzysta, zatem medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów. W tym przypadku środkowymi wyrazami będzie wyraz numer \(50\) i \(51\).
Obliczając medianę zawsze musimy mieć uporządkowany ciąg liczb w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Oczywiście nie będziemy tutaj wypisywać sobie tego ciągu liczb, tylko analizując wykres, spróbujemy określić który to wyraz jest tym o numerze \(50\) i \(51\). Widzimy, że uczniów korzystających z komputera przez \(1\) lub \(1,5\) lub \(2\) godziny jest łącznie \(5+21+24=50\) osób. To oznacza, że wyraz numer \(50\) jest równy \(2\), a wyraz numer \(51\) jest równy \(2,5\). To oznacza, że mediana będzie równa:
$$m=\frac{2+2,5}{2}$$
$$m=\frac{4,5}{2}$$
$$m=2,25$$
Pierwsze zdanie jest więc prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Ustaliliśmy już, że w sondażu wzięło udział \(100\) uczniów, z czego \(50\) z nich spędza przed komputerem \(1\) lub \(1,5\) lub \(2\) godziny. To oznacza, że faktycznie połowa uczniów korzysta z komputera mniej niż \(2,5\) godziny, zatem zdanie jest prawdą.
Zadanie 2.
Dominanta to wynik, który pojawia się najczęściej. Z wykresu wynika jasno, że najczęstszym wskazaniem były \(2,5\) godziny.
Zadanie nr 62 · Matura
Mediana zestawu sześciu liczb \(1, 2, 3, 4, 5, 2x\) jest równa \(3\). Liczba \(x\) jest równa:
A\(1\)
B\(1,5\)
C\(2\)
D\(3\)
Mamy parzystą liczbę wyrazów, zatem jeśli uporządkujemy liczby w ciągu niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej), to mediana będzie średnią dwóch środkowych wyrazów. Oczywiście uporządkowanie liczb utrudnia nieznajomość wartości \(2x\), ale spróbujmy przeanalizować tę sytuację.
Średnią arytmetyczną będziemy wyliczać z wartości trzeciej i czwartej liczby uporządkowanego zestawu. Jak się dobrze przyjrzymy, to zauważymy, że mediana równa \(3\) jest możliwa tylko wtedy, gdy trzecim i czwartym wyrazem będzie liczba \(3\) oraz \(2x\). To prowadzi nas do wniosku, że \(2x\) musi być równe \(3\), czyli:
$$2x=3$$
$$x=1,5$$
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
