Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Pochodna $f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x_0$. Równanie stycznej:
$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Pochodna drogi po czasie to prędkość chwilowa, a pochodna prędkości — przyspieszenie:
$$v(t)=s'(t),\qquad a(t)=v'(t)$$
$$(x^n)'=nx^{n-1},\qquad (c)'=0,\qquad (cx)'=c$$
Pochodną wielomianu liczymy wyraz po wyrazie.
$$f'>0 \Rightarrow \text{funkcja rośnie},\qquad f'\lt 0 \Rightarrow \text{maleje}$$
Gdy $f'(x_0)=0$, styczna jest pozioma — to kandydat na ekstremum.
Chwile zatrzymania ciała znajdujemy z warunku $v(t)=0$. Wierzchołek paraboli to punkt, w którym pochodna się zeruje.
Pochodna to nachylenie, nie wartość funkcji. Pochodna stałej wynosi zero — nie przepisujemy wyrazu wolnego do wyniku.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Pochodna funkcji $f(x)=x^2$ wynosi:
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=x^3-2x$.
Oblicz wartość pochodnej funkcji $f(x)=x^2$ w punkcie $x_0=3$.
Pochodna $f'(x_0)$ w punkcie to geometrycznie:
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=5x+7$.
Pochodna funkcji stałej $f(x)=7$ wynosi:
Droga w ruchu opisana jest wzorem $s(t)=t^2$ (w metrach, $t$ w sekundach). Oblicz prędkość w chwili $t=4$ s.
Wyznacz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu $f(x)=x^2-4x$ w punkcie $x_0=1$.
Jeśli $f'(x_0)=0$, to styczna w punkcie $x_0$ jest:
Wyznacz równanie stycznej do wykresu $f(x)=x^2$ w punkcie $x_0=2$.
Pochodna funkcji $f(x)=x^4$ to:
Ciało porusza się według wzoru $s(t)=t^2-3t$ (w metrach). W której chwili prędkość wynosi zero?
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=2x^3-3x^2+5x-1$.
Współczynnik kierunkowy stycznej do $f(x)=x^2$ w punkcie $x_0=0$ wynosi:
Prędkość ciała opisuje wzór $v(t)=6t$ (m/s). Przyspieszenie to pochodna prędkości. Oblicz przyspieszenie.
Jeśli $f'(x)>0$ w pewnym przedziale, to funkcja jest tam:
Wyznacz równanie stycznej do wykresu $f(x)=x^3$ w punkcie $x_0=1$.
W którym punkcie styczna do wykresu $f(x)=x^2-6x+5$ jest pozioma? Podaj współrzędne tego punktu.
Droga ciała to $s(t)=t^3-6t^2+9t$ (w metrach). Wyznacz prędkość jako funkcję czasu i chwile, w których ciało się zatrzymuje.
Wykaż, korzystając z definicji, że pochodna funkcji $f(x)=x^2$ w punkcie $x_0$ wynosi $2x_0$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.