Ciągłość funkcji

Pojęcie granicy

Granica $\lim_{x\to x_0}f(x)$ opisuje, do jakiej wartości zbliżają się wartości funkcji, gdy argument zbliża się do $x_0$. Sama wartość $f(x_0)$ nie ma tu znaczenia — funkcja nie musi być nawet w tym punkcie określona.

Granice funkcji ciągłych

Dla wielomianów i innych funkcji ciągłych granicę liczymy przez zwykłe podstawienie:

$$\lim_{x\to 2}(3x+1)=7$$

Symbol nieoznaczony 0/0

Gdy podstawienie daje $\frac00$, trzeba przekształcić wyrażenie:

• rozłożyć licznik i mianownik na czynniki i skrócić
• usunąć niewymierność przez sprzężenie

Przykład: $\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$. Skracanie jest dozwolone, bo $x$ tylko dąży do $3$, nigdy nie jest mu równe.

Granice w nieskończoności — iloraz wielomianów

Porównujemy stopnie licznika i mianownika:

• stopnie równe — granica to iloraz współczynników wiodących
• licznik niższego stopnia — granica wynosi $0$
• licznik wyższego stopnia — granica niewłaściwa ($\pm\infty$)

Przykład: $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+5}{x^2-1}=3$.

Granice jednostronne

Granica obustronna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie jednostronne istnieją i są równe. Dla $f(x)=\frac1x$ mamy $\lim_{x\to0^{+}}=+\infty$, a $\lim_{x\to0^{-}}=-\infty$, więc granica w zerze nie istnieje.

Ciągłość w punkcie

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$

Wymaga trzech rzeczy naraz: istnienia $f(x_0)$, istnienia granicy i ich równości.

Asymptoty

• Pionowa $x=a$ — gdy granica jednostronna w $a$ jest nieskończona. Szukamy tam, gdzie zeruje się mianownik przy niezerowym liczniku
• Pozioma $y=b$ — gdy $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b$

Asymptota pozioma i ukośna wykluczają się wzajemnie.

Na co uważać

Zerowanie mianownika samo w sobie nie gwarantuje asymptoty pionowej — jeśli licznik też się zeruje, może dojść do skrócenia i powstanie tylko „dziura” w wykresie (nieciągłość usuwalna). Zawsze sprawdzaj licznik.