Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{32\cdot(-1)^n}{2^{n-1}}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Szósty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n^2-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.
2. Wszystkie wyrazy ciągu \((a_n)\) są liczbami parzystymi.
Trzywyrazowy ciąg \((2m-5,\;4,\;9)\) jest arytmetyczny.
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Ten ciąg jest A. rosnący / B. malejący oraz 1. \(m=-1\) / 2. \(m=2\) / 3. \(m=3\).
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Ciąg \((a_n)\) jest malejący.
2. Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny.
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony dla każdej liczby całkowitej \(n\ge 1\), w którym \(a_4=4\) oraz dla każdej liczby \(n\ge 1\) prawdziwa jest równość \(a_{n+1}=a_n+n-4\).
Oblicz pierwszy wyraz ciągu \((a_n)\) i ustal, czy ciąg ten jest malejący.
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) dla \(n\ge1\), w którym \(a_7=1\), \(a_{11}=9\).
a) Oblicz pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\) ciągu \((a_n)\).
b) Sprawdź, czy ciąg \((a_7,a_8,a_{11})\) jest geometryczny.
c) Wyznacz takie \(n\), aby suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) miała wartość najmniejszą.
Nieskończony ciąg liczbowy \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2-\dfrac{1}{n}\), \(n=1,2,3,\ldots\)
a) Oblicz, ile wyrazów ciągu \((a_n)\) jest mniejszych od 1,975.
b) Dla pewnej liczby \(x\) trzywyrazowy ciąg \((a_2,a_7,x)\) jest arytmetyczny. Oblicz \(x\).
Dany jest rosnący ciąg geometryczny \((a_n)\) dla \(n\ge1\), w którym \(a_1=x\), \(a_2=14\), \(a_3=y\). Oblicz \(x\) oraz \(y\), jeżeli wiadomo, że \(x+y=35\).
Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym \(a_1=12\), \(a_3=27\).
a) Wyznacz iloraz tego ciągu.
b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz \(a_n\), dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
c) Oblicz wyraz \(a_6\).
Dany jest ciąg \((a_n)\), gdzie \(a_n=\dfrac{5n+6}{10(n+1)}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
a) Zbadaj monotoniczność ciągu \((a_n)\).
b) Oblicz \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\).
c) Podaj największą liczbę \(a\) i najmniejszą liczbę \(b\) takie, że dla każdego \(n\) spełniony jest warunek \(a\le a_n\le b\).
Na trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach górnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją 24 płyty. Oblicz, ile płyt stoi na półce górnej, a ile płyt stoi na półce dolnej.
Ciąg jest rosnący, gdy $a_{n+1}>a_n$ dla każdego $n$, i malejący, gdy $a_{n+1}\lt a_n$.
Wyznaczamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$ lub ilorazu $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ (dla wyrazów dodatnich).
$a_n=2n-1$ jest rosnący, bo $a_{n+1}-a_n=2>0$.
Gdy $a_{n+1}=a_n$ dla każdego $n$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Dany jest ciąg $a_n=3n-1$. Ile wynosi $a_4$?
Wypisz pięć pierwszych wyrazów ciągu $a_n=n^2$.
Ciąg $a_n=5-2n$ jest:
Dany jest ciąg $a_n=\frac{n}{n+1}$. Oblicz $a_1$, $a_2$ i $a_3$.
Który wzór opisuje ciąg $2$, $4$, $6$, $8$, $\dots$?
Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n=n^2-4n$.
Ciąg dany jest rekurencyjnie: $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n+1$. Oblicz pięć pierwszych wyrazów.
Ciąg $a_n=(-1)^n$ jest:
Który wyraz ciągu $a_n=4n-7$ jest równy $25$?
Ciąg jest rosnący, gdy dla każdego $n$ zachodzi:
Wykaż, że ciąg $a_n=\frac{2n+1}{n}$ jest malejący.
Ciąg Fibonacciego określony jest tak: $a_1=1$, $a_2=1$, $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$. Wypisz osiem pierwszych wyrazów.
Ile wyrazów ciągu $a_n=2n-1$ jest mniejszych od $20$?
Ciąg dany jest wzorem $a_n=n^2-5n+6$. Który wyraz jest równy zeru?
Ciąg $a_n=7$ dla każdego $n$ jest:
Ciąg określono rekurencyjnie: $a_1=3$, $a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$. Wypisz pięć pierwszych wyrazów i zbadaj monotoniczność.
Wykaż, że ciąg $a_n=\frac{n+2}{n+1}$ jest malejący i wszystkie jego wyrazy są większe od $1$.
W pierwszym rzędzie kina jest $20$ miejsc, a w każdym następnym o $2$ więcej. Zapisz wzór ogólny i rekurencyjny tego ciągu, a następnie oblicz, ile miejsc jest w rzędzie piętnastym.
Dany jest ciąg $a_n=\frac{3n-1}{n}$. Zbadaj jego monotoniczność i wyjaśnij, do jakiej wartości zbliżają się jego wyrazy.
Ile ujemnych wyrazów ma ciąg $a_n=3n-7$ ($n\ge1$)?
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez $7$.
W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ spełnione są warunki $a_2+a_5=17$ oraz $a_3\cdot a_4=70$. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny i rosnący, a suma jego wyrazów jest równa $39$. Liczby $x,y,z$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim i piątym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz $x$, $y$, $z$.
Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ ma różnicę $r\ne0$ i $a_1=2$. Wyrazy $a_1$, $a_2$, $a_5$ tworzą (w tej kolejności) ciąg geometryczny. Oblicz $r$ oraz taką liczbę $n$, że suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $200$.
Liczby $a,b,c$ tworzą ciąg geometryczny, a ich suma jest równa $26$. Liczby $a+1,\ b+6,\ c+3$ tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz $a,b,c$.
Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n=\dfrac{n+1}{2n+3}$, $n\ge1$.
Ciąg $(a_n)$ jest określony rekurencyjnie: $a_1=2$, $a_{n+1}=a_n+2n$ dla $n\ge1$. Wyznacz wzór ogólny ciągu i oblicz $a_{10}$.
Na początku każdego roku przez $10$ lat wpłacamy na konto $1000$ zł. Oprocentowanie wynosi $5\%$ w skali roku, odsetki są kapitalizowane na koniec roku. Oblicz stan konta na koniec dziesiątego roku (wynik zaokrąglij do grosza).
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa $21$, a ich iloczyn $216$. Wyznacz te wyrazy.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.