Ciągi liczb całkowitych

Podstawiamy $n=3$:

$$a_3=2\cdot3=6$$

Odpowiedź: B. $6$.

Podstawiamy $n=1,2,3,4$:

$$a_1=0,\quad a_2=3,\quad a_3=8,\quad a_4=15$$

Odpowiedź: $0,\ 3,\ 8,\ 15$.

Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych (numery wyrazów).

Wartości ciągu mogą być dowolne, ale argumenty (numery $n$) to liczby naturalne.

Odpowiedź: C. liczb naturalnych.

$$a_1=\frac{1}{2},\qquad a_4=\frac{4}{5}$$

Obserwacja: wyrazy rosną i zbliżają się do $1$, ale nigdy go nie osiągają.

Odpowiedź: $a_1=\frac12$, $a_4=\frac45$.

Potęga $(-1)^n$ zależy od parzystości $n$:

$$a_1=-1,\ a_2=1,\ a_3=-1,\ a_4=1,\ \dots$$

Ciąg jest naprzemienny.

Odpowiedź: A. na przemian $-1$ i $1$.

Każdy wyraz powstaje z poprzedniego przez dodanie $3$:

$$a_2=a_1+3=5,\qquad a_3=a_2+3=8$$

To ciąg arytmetyczny o różnicy $3$.

Odpowiedź: $a_2=5$, $a_3=8$.

Krok 1 — układamy równanie:

$$2n-1=15$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$2n=16 \quad\Rightarrow\quad n=8$$

Sprawdzenie: $a_8=2\cdot8-1=15$ ✔

Odpowiedź: ósmy wyraz.

Krok 1 — równanie:

$$n^2-4n+3=0 \quad\Rightarrow\quad (n-1)(n-3)=0$$

Krok 2 — rozwiązania:

$$n=1 \quad\text{lub}\quad n=3$$

Krok 3 — sprawdzenie dziedziny. Oba są liczbami naturalnymi, więc oba są numerami wyrazów zerowych.

Odpowiedź: $a_1=0$ oraz $a_3=0$.

Wszystkie wyrazy są równe $5$, więc ciąg jest stały.

Odpowiedź: D. stały.

Krok 1 — warunek:

$$n^2\lt 50$$

Krok 2 — szukamy największego $n$. $7^2=49\lt 50$, ale $8^2=64>50$:

$$n\le7$$

Krok 3 — wyrazy: $a_1,\dots,a_7$ — jest ich siedem.

Odpowiedź: $7$ wyrazów.

Różnica kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_n=(n+3)-(n+2)=1>0$$

Ciąg rośnie.

Odpowiedź: B. rosnącym.

Każdy wyraz to suma dwóch poprzednich:

$$a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_3=2,\quad a_4=3,\quad a_5=5$$

Ciekawostka: ciąg Fibonacciego pojawia się w przyrodzie — w układzie liści, płatków kwiatów, muszli.

Odpowiedź: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5$.

Krok 1 — rozdzielamy ułamek:

$$a_n=\frac{2n+1}{n}=2+\frac{1}{n}$$

Krok 2 — analiza. Gdy $n$ rośnie, $\frac1n$ dąży do zera, więc:

$$a_n\to2$$

Interpretacja: wyrazy zbliżają się do $2$ od góry ($a_1=3$, $a_2=2{,}5$, $a_{10}=2{,}1$…). Liczbę $2$ nazywamy granicą ciągu.

Odpowiedź: do $2$.

Różnica kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_n=(10-(n+1))-(10-n)=-1\lt 0$$

Ciąg maleje (wyrazy: $9, 8, 7, \dots$).

Odpowiedź: A. malejący.

Krok 1 — warunek dwucyfrowości:

$$10\le3n-2\le99$$

Krok 2 — lewa nierówność:

$$3n\ge12 \quad\Rightarrow\quad n\ge4$$

Krok 3 — prawa nierówność:

$$3n\le101 \quad\Rightarrow\quad n\le33{,}67 \quad\Rightarrow\quad n\le33$$

Krok 4 — liczba wyrazów od $n=4$ do $n=33$:

$$33-4+1=30$$

Odpowiedź: $30$ wyrazów.

Kolejne wyrazy to podwojone numery:

$$a_1=2,\ a_2=4,\ a_3=6 \quad\Rightarrow\quad a_n=2n$$

Odpowiedź: C. $a_n=2n$.

Krok 1 — warunek $a_n\lt 0$:

$$n^2-6n+5\lt 0 \quad\Rightarrow\quad (n-1)(n-5)\lt 0$$

Krok 2 — rozwiązanie nierówności kwadratowej:

$$1\lt n\lt 5$$

Krok 3 — tylko liczby naturalne. W przedziale $(1,\ 5)$ leżą $n=2,\ 3,\ 4$:

$$a_2=-3,\quad a_3=-4,\quad a_4=-3$$

Uwaga. Nierówność dała przedział ciągły, ale ciąg jest określony tylko dla liczb naturalnych — bierzemy $n\in\{2,3,4\}$.

Odpowiedź: ujemne są $a_2$, $a_3$, $a_4$.

Krok 1 — liczymy kolejne wyrazy:

$$a_2=2\cdot3-1=5$$

$$a_3=2\cdot5-1=9$$

$$a_4=2\cdot9-1=17$$

Krok 2 — zachowanie. Ciąg $3,\ 5,\ 9,\ 17,\dots$ jest rosnący, a przyrosty ($2$, $4$, $8$) podwajają się — rośnie coraz szybciej.

Ciekawostka. Wzór jawny to $a_n=2^n+1$: $a_1=3$, $a_2=5$, $a_3=9$ ✔ — ciąg rośnie wykładniczo.

Odpowiedź: $a_2=5$, $a_3=9$, $a_4=17$; ciąg rosnący, przyrosty się podwajają.

Krok 1 — wypisujemy oba wyrazy:

$$a_n=\frac{n}{n+1},\qquad a_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}$$

Krok 2 — różnica na wspólnym mianowniku:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}$$

Krok 3 — upraszczamy licznik:

$$(n+1)^2-n(n+2)=n^2+2n+1-n^2-2n=1$$

Krok 4 — wniosek:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0$$

Różnica jest dodatnia dla każdego $n$, więc ciąg jest rosnący.

Interpretacja. Wyrazy rosną, ale coraz wolniej, zbliżając się do granicy $1$.

Odpowiedź: ciąg rosnący.

Krok 1 — definicja. Ciąg jest malejący, gdy $a_{n+1}\lt a_n$ dla każdego $n$, czyli $a_{n+1}-a_n\lt 0$.

Krok 2 — liczymy różnicę:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}$$

Krok 3 — badamy znak. Licznik $-1\lt 0$, a mianownik $n(n+1)>0$ dla $n$ naturalnych, więc:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{-1}{n(n+1)}\lt 0 \qquad ∎$$

Różnica jest ujemna dla każdego $n$, więc ciąg jest malejący.

Sprawdzenie: $a_1=1$, $a_2=\frac12$, $a_3=\frac13$ — wyrazy istotnie maleją ✔