Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Ciąg $(a_{n})$ jest
Ciąg geometryczny \((a_n)\), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od \(0\), jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(a_3=-8\cdot a_6\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloraz ciągu \((a_n)\) jest równy
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzywyrazowy ciąg \((4,\;m,\;m-1)\) jest geometryczny, gdy liczba \(m\) jest równa
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), w którym \(a_2=2\) oraz \(a_5=54\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloraz ciągu \((a_n)\) jest równy
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \(128\), natomiast iloraz ciągu jest równy \(\left(-\frac{1}{2}\right)\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Wyraz \(a_{2023}\) jest liczbą ujemną.
2. Różnica \(a_3-a_2\) jest równa \(96\).
Każdy wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$: $a_{n+1}=a_n\cdot q$.
$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.
$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$ dla $q\neq1$.
Kwadrat wyrazu to iloczyn sąsiadów: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$.
Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Przykład: $a_1=1$, $q=2$, $n=6$: $S_6=\frac{1-64}{1-2}=63$.
Każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez iloraz $q$.
Przykład: $a_1=2$, $q=3$: $a_5=2\cdot3^4=162$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego to:
Dany jest ciąg geometryczny $a_1=2$, $q=3$. Oblicz $a_4$.
W ciągu geometrycznym $a_1=5$, $a_2=15$. Podaj iloraz $q$.
Ciąg jest geometryczny, gdy:
Podaj kolejne trzy wyrazy ciągu geometrycznego zaczynającego się od $3$ z ilorazem $2$.
Który ciąg jest geometryczny?
W ciągu geometrycznym $a_1=4$, $q=\frac12$. Oblicz $a_3$.
Środkowy wyraz $b$ ciągu geometrycznego $4, b, 9$ (wyrazy dodatnie) oblicz z własności ciągu.
Suma $n$ wyrazów ciągu geometrycznego (dla $q\neq1$) to:
Oblicz sumę $5$ początkowych wyrazów ciągu $a_1=1$, $q=2$.
W ciągu geometrycznym $a_2=6$, $a_4=54$. Iloraz (dodatni) wynosi:
Oblicz szósty wyraz ciągu geometrycznego $a_1=1$, $q=10$.
Liczby $2$, $x$, $8$ tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich. Wyznacz $x$.
Ciąg $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots$ ma iloraz:
W ciągu geometrycznym $a_1=3$, $a_3=27$. Wyznacz iloraz i $a_5$ (iloraz dodatni).
Jeśli $q=1$, to ciąg geometryczny jest:
Bakterie podwajają liczebność co godzinę. Zaczynamy od $100$. Ile będzie po $5$ godzinach?
Oblicz sumę $1+3+9+27+81$, korzystając ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego.
Kwota $1000$ zł jest lokowana na $10\%$ rocznie z kapitalizacją roczną. Ile wyniesie po $3$ latach?
Wykaż, że jeśli liczby $a$, $b$, $c$ (dodatnie) tworzą ciąg geometryczny, to $b^2=ac$.
Iloraz ciągu geometrycznego $2$, $6$, $18$, $54$, … wynosi:
Oblicz piąty wyraz ciągu geometrycznego, w którym $a_1=5$ i $q=2$.
Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o $a_1=1$ i $q=2$.
Liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest dodatnia wartość $x$?
Ciąg geometryczny ma $a_1=8$ i $q=\frac12$. Który wyraz jest równy $1$?
W ciągu geometrycznym $a_2=12$ i $a_4=108$. Wyznacz $a_1$ oraz $q$, zakładając $q>0$.
Oblicz sumę szeregu geometrycznego $8+4+2+1+\dots$
Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy:
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Ich iloczyn wynosi $216$, a środkowa liczba to $a_2$. Wyznacz $a_2$.
Suma szeregu $1+\frac13+\frac19+\dots$ wynosi:
W ciągu geometrycznym $a_1=3$ i $q=-1$. Ile wynosi $a_{10}$?
Liczby $x-1$, $x+1$, $2x+4$ tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz $x$.
Piłka spuszczona z wysokości $2$ m odbija się za każdym razem na $60\%$ poprzedniej wysokości. Oblicz łączną drogę, jaką przebędzie do zatrzymania.
Wykaż, że jeżeli liczby $a$, $b$, $c$ tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich, to $b=\sqrt{ac}$. Sprawdź to dla $a=2$, $c=18$.
W ciągu geometrycznym $(a_n)$ dane są $a_1=64$ oraz $a_2=16$. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy
Ciąg $(4,\ x,\ 9)$ jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Liczba $x$ jest równa
W ciągu geometrycznym $a_2=6$ oraz $a_5=48$. Iloraz tego ciągu jest równy
Trzywyrazowy ciąg $(48,\ 12,\ 2m+1)$ jest geometryczny. Liczba $m$ jest równa
Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym $a_1=3$ i $q=2$, jest równa
Ciąg geometryczny $(a_n)$ spełnia warunek $a_4\cdot a_5=12$. Oblicz iloczyn $a_2\cdot a_7$.
Ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n=3\cdot(-2)^n$ dla $n\ge1$ jest
Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=5\cdot2^{n-1}$ dla $n\ge1$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Wyznacz wszystkie wartości $x$, dla których ciąg $(x-1,\ 2x,\ 5x+3)$ jest geometryczny.
Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2n+1$ dla $n\ge1$. Trzywyrazowy ciąg $(a_1,\ a_4,\ a_k)$ jest geometryczny. Oblicz $k$.
Iloraz ciągu geometrycznego $3,6,12,\dots$ jest równy
W ciągu geometrycznym $a_1=5$, $q=2$. Wyraz $a_3$ jest równy
Iloraz ciągu geometrycznego $100,50,25,\dots$ jest równy
Kwotę $1000$ zł wpłacono na $10\%$ rocznie (procent składany). Po $2$ latach na koncie będzie
W ciągu geometrycznym $a_1=3$, $q=2$. Oblicz $a_5$.
Średnia geometryczna liczb $4$ i $9$ jest równa
W ciągu geometrycznym $a_1=2$, $a_2=6$. Iloraz $q$ jest równy
Kwotę $2000$ zł wpłacono na lokatę $5\%$ rocznie z kapitalizacją roczną. Ile będzie na koncie po $2$ latach?
Iloraz ciągu geometrycznego $2,6,18,\dots$ jest równy
W ciągu geometrycznym $a_1=3$, $q=2$ wyraz $a_4$ jest równy
W ciągu geometrycznym $a_1=4$, $q=\tfrac12$ wyraz $a_3$ jest równy
Średnia geometryczna liczb $9$ i $16$ jest równa
W ciągu geometrycznym $a_1=2$, $q=3$. Oblicz $a_5$.
Ile ujemnych wyrazów ma ciąg $a_n=3n-7$ ($n\ge1$)?
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez $7$.
W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ spełnione są warunki $a_2+a_5=17$ oraz $a_3\cdot a_4=70$. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny i rosnący, a suma jego wyrazów jest równa $39$. Liczby $x,y,z$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim i piątym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz $x$, $y$, $z$.
Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ ma różnicę $r\ne0$ i $a_1=2$. Wyrazy $a_1$, $a_2$, $a_5$ tworzą (w tej kolejności) ciąg geometryczny. Oblicz $r$ oraz taką liczbę $n$, że suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $200$.
Liczby $a,b,c$ tworzą ciąg geometryczny, a ich suma jest równa $26$. Liczby $a+1,\ b+6,\ c+3$ tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz $a,b,c$.
Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n=\dfrac{n+1}{2n+3}$, $n\ge1$.
Ciąg $(a_n)$ jest określony rekurencyjnie: $a_1=2$, $a_{n+1}=a_n+2n$ dla $n\ge1$. Wyznacz wzór ogólny ciągu i oblicz $a_{10}$.
Na początku każdego roku przez $10$ lat wpłacamy na konto $1000$ zł. Oprocentowanie wynosi $5\%$ w skali roku, odsetki są kapitalizowane na koniec roku. Oblicz stan konta na koniec dziesiątego roku (wynik zaokrąglij do grosza).
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa $21$, a ich iloczyn $216$. Wyznacz te wyrazy.
Oblicz sumę szeregu $12+6+3+\dots$
Zapisz liczbę $0{,}(36)$ w postaci ułamka nieskracalnego.
Wyznacz wszystkie $x$, dla których szereg $1+(x-1)+(x-1)^2+\dots$ jest zbieżny.
Rozwiąż równanie $1+2x+4x^2+8x^3+\dots=\dfrac32$, którego lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego.
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa $16$, a jego pierwszy wyraz jest równy $12$. Oblicz trzeci wyraz tego ciągu.
Nieskończony ciąg geometryczny jest zbieżny, suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa $12$, a suma wszystkich wyrazów jest równa $16$. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.
Trójkąt równoboczny $T_1$ ma bok długości $a$. Trójkąt $T_{n+1}$ ma wierzchołki w środkach boków trójkąta $T_n$. Oblicz sumę obwodów oraz sumę pól wszystkich trójkątów $T_1,T_2,T_3,\dots$
Rozwiąż równanie $1-x+x^2-x^3+\dots=2x$, którego lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego.
Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, zapisz liczbę $2{,}1(6)$ w postaci ułamka nieskracalnego.
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=1+\dfrac1x+\dfrac1{x^2}+\dfrac1{x^3}+\dots$ dla tych $x$, dla których szereg jest zbieżny. Wyznacz dziedzinę funkcji $f$ i rozwiąż równanie $f(x)=\frac32$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.