To średnia arytmetyczna i średnia geometryczna. W zadaniu „liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg” odpowiedź zależy od rodzaju ciągu: $14{,}5$ albo $10$.
Sprytne podstawienia
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy ich suma to $3a$, bez $r$.
Dla geometrycznego: $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$ — iloczyn to $a^3$, bez $q$.
Te podstawienia zamieniają układ dwóch równań w jedno.
Monotoniczność
Ciąg arytmetyczny rośnie, gdy $r>0$, maleje, gdy $r\lt 0$. Pierwszy wyraz nie ma znaczenia.
Ciąg dany wzorem $a_n=pn+q$ jest arytmetyczny o różnicy $p$.
Szereg geometryczny
$$S=\frac{a_1}{1-q} \qquad\text{dla } |q|\lt 1$$
Warunek dotyczy modułu ilorazu. Dla $q=-5$ mamy $q\lt 1$, ale szereg jest rozbieżny.
Przykład: $8+4+2+1+\dots=\frac{8}{1-\frac12}=16$.
Procent składany
$$K_n=K_0(1+p)^n$$
To ciąg geometryczny o ilorazie $1+p$. Przy kapitalizacji częstszej niż roczna dzielimy stopę i mnożymy liczbę okresów:
$$K=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{mn}$$
Dla $5000$ zł na $12\%$ z kapitalizacją kwartalną po roku mamy $5000\cdot1{,}03^4\approx5627{,}54$ zł — o $27{,}54$ zł więcej niż przy rocznej.
Spadek wartości
Ten sam wzór z $q\lt 1$ opisuje amortyzację. Samochód tracący $15\%$ rocznie po trzech latach wart jest $0{,}85^3\approx61{,}4\%$ ceny początkowej — a nie $55\%$.
Na co uważać
Nie myl wykładnika $n$ z $n-1$. Sprawdzaj warunek $|q|\lt 1$ przed użyciem wzoru na sumę szeregu. I pamiętaj, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem.
W ciągu geometrycznym $a_1=3$ i $q=-1$. Ile wynosi $a_{10}$?
A$-3$
B$3$
C$0$
D$-30$
Podstawiamy do wzoru:
$$a_{10}=3\cdot(-1)^{9}=3\cdot(-1)=-3$$
Wykładnik jest nieparzysty ($n-1=9$), więc znak się zmienia. Ciąg wygląda tak: $3$, $-3$, $3$, $-3$, … — wyrazy o numerach parzystych są ujemne.
Odpowiedź: A. $-3$.
Zadanie nr 18
Liczby $x-1$, $x+1$, $2x+4$ tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz $x$.
Krok 1 — warunek na wyraz środkowy:
$$(x+1)^2=(x-1)(2x+4)$$
Krok 2 — rozwijamy obie strony:
$$x^2+2x+1=2x^2+4x-2x-4=2x^2+2x-4$$
Krok 3 — porządkujemy:
$$0=x^2-5 \quad\Rightarrow\quad x^2=5$$
$$x=\sqrt5 \quad\text{lub}\quad x=-\sqrt5$$
Krok 4 — sprawdzamy założenia. W ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem. Dla $x=\sqrt5\approx2{,}24$ mamy wyrazy $\approx1{,}24$, $\approx3{,}24$, $\approx8{,}47$ — wszystkie niezerowe ✔ Dla $x=-\sqrt5\approx-2{,}24$ wyrazy to $\approx-3{,}24$, $\approx-1{,}24$, $\approx-0{,}47$ — również niezerowe ✔
Odpowiedź: $x=\sqrt5$ lub $x=-\sqrt5$.
Zadanie nr 19
Piłka spuszczona z wysokości $2$ m odbija się za każdym razem na $60\%$ poprzedniej wysokości. Oblicz łączną drogę, jaką przebędzie do zatrzymania.
Krok 1 — pierwszy spadek: $2$ m.
Krok 2 — kolejne odbicia. Każde wzniesienie na wysokość $h$ oznacza drogę $2h$ (w górę i z powrotem). Wysokości tworzą ciąg geometryczny:
W ciągu geometrycznym $a_3\cdot a_6=a_1^2q^{7}$ oraz $a_2\cdot a_7=a_1^2q^{7}$ — są równe. Zatem $a_2\cdot a_7=18$.
Odpowiedź: $18$.
Zadanie nr 6 · Matura 2026
Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o skończonej liczbie wyrazów (większej od $6$). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $1$, a ostatni wyraz jest równy $(-2025)$. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą — w podanej kolejności — ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(a_{n})$.
Krok 1. Warunek geometryczny.
$a_{2}=1+d$, $a_{3}=1+2d$, $a_{6}=1+5d$. Z warunku $a_{3}^{2}=a_{2}\cdot a_{6}$:
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Trzywyrazowy ciąg \((a_{1},a_{9},a_{k})\) jest geometryczny. Oblicz \(k\). Zapisz obliczenia.
Krok 1. Obliczenie wyrazów \(a_1\) oraz \(a_9\).
Podstawiając odpowiednie wartości \(n\) do wzoru ciągu, otrzymamy:
$$a_1=3\cdot1+5=3+5=8$$
$$a_9=3\cdot9+5=27+5=32$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(a_k\).
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$$a_{2}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając znane informacje do tej zależności, otrzymamy:
$$32^2=8\cdot a_{k}$$
$$1024=8\cdot a_{k}$$
$$a_{k}=128$$
Krok 3. Obliczenie \(k\).
Wiemy już, że nasz trzeci wyraz określony jako \(a_{k}\) jest równy \(128\). Celem zadania jest obliczenie ile wynosi to \(k\), czyli tak obrazowo rzecz ujmując, musimy ustalić którym wyrazem ciągu \(a_{n}\) jest liczba \(128\). W tym celu musimy przyrównać \(128\) do wzoru \(a_{n}=3n+5\), otrzymując:
$$3n+5=128$$
$$3n=123$$
$$n=41$$
To oznacza, że jest to \(41.\) wyraz ciągu \(a_{n}\), czyli tym samym \(k=41\).
Zadanie nr 17 · Matura 2026
Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek \(a_{3}\cdot a_{6}=18\). Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Iloczyn \(a_{2}\cdot a_{7}\) jest równy \(.........\)
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najlepiej byłoby zauważyć, że \(a_{3}=a_{2}\cdot q\) oraz \(a_{6}=a_{7}:q\). Tym samym moglibyśmy zapisać, że:
$$a_{3}\cdot a_{6}=18$$
$$(a_{2}\cdot q)\cdot(a_{7}:q)=18$$
$$a_{2}\cdot a_{7}=18$$
Zadanie nr 14.1 · Matura 2026
Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=32\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-5}$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Trzeci wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy
Ciąg geometryczny $(a_{n})$, określony dla $n\ge 1$, jest malejący. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_{6}=25\cdot a_{8}$. Iloraz ciągu $(a_{n})$ jest równy
A$\dfrac{1}{5}$
B$\left(-\dfrac{1}{5}\right)$
C$5$
D$(-5)$
$a_{8}=a_{6}\cdot q^{2}$, więc $a_{6}=25\cdot a_{6}\cdot q^{2}$, stąd $q^{2}=\dfrac{1}{25}$, czyli $q=\dfrac{1}{5}$ lub $q=-\dfrac{1}{5}$.
Dla $q=-\dfrac{1}{5}$ wyrazy zmieniają znak (ciąg nie jest monotoniczny), więc ciąg malejący daje $q=\dfrac{1}{5}$.
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 16 · Matura 2025
Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, w którym $a_{1}=27$ oraz $a_{2}=9$. Czwarty wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy
Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), w którym \(a_{1}=27\) oraz \(a_{2}=9\). Czwarty wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy:
A\(\frac{1}{3}\)
B\(1\)
C\(3\)
D\(729\)
Krok 1. Obliczenie ilorazu \(q\).
Znając wartości dwóch pierwszych wyrazów naszego ciągu, możemy bez problemu obliczyć iloraz \(q\), zatem:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{9}{27}$$
$$q=\frac{1}{3}$$
Krok 2. Obliczenie wartości czwartego wyrazu ciągu.
Do wartości czwartego wyrazu możemy dojść na różne sposoby. Przykładowo korzystając z własności ciągów geometrycznych moglibyśmy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{2}\cdot q^2$$
$$a_{4}=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2$$
$$a_{4}=9\cdot\frac{1}{9}$$
$$a_{4}=1$$
Zadanie nr 17 · Matura 2025
Ciąg geometryczny \((a_n)\), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od \(0\), jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(a_3=-8\cdot a_6\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloraz ciągu \((a_n)\) jest równy
A\((-2)\)
B\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(2\)
W ciągu geometrycznym o ilorazie \(q\) zachodzi \(a_6=a_3\cdot q^3\). Podstawiamy do warunku zadania:
\(a_3=-8\cdot a_3\cdot q^3\)
Ponieważ \(a_3\neq 0\), dzielimy obie strony przez \(a_3\):
\(1=-8q^3\)
\(q^3=-\frac{1}{8}\)
\(q=-\frac{1}{2}\)
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 18 · Matura 2025
Trzywyrazowy ciąg \(\left(\sqrt{5},\;1,\;x\right)\) jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg \(\left(\sqrt{5},\;1,\;y\right)\) jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczby \(x\) oraz \(y\) spełniają warunki
A\(x\lt 0\) i \(y\lt 0\)
B\(x\lt 0\) i \(y\gt 0\)
C\(x\gt 0\) i \(y\lt 0\)
D\(x\gt 0\) i \(y\gt 0\)
Ciąg arytmetyczny. Wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiednich:
\(1=\frac{\sqrt{5}+x}{2}\)
\(x=2-\sqrt{5}\)
Ponieważ \(\sqrt{5}\approx 2{,}24\gt 2\), mamy \(x\lt 0\).
Ciąg geometryczny. Kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi sąsiednich:
\(1^2=\sqrt{5}\cdot y\)
\(y=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\gt 0\)
Zatem \(x\lt 0\) i \(y\gt 0\).
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 16 · Matura 2025
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzywyrazowy ciąg \((4,\;m,\;m-1)\) jest geometryczny, gdy liczba \(m\) jest równa
A\((-3)\)
B\((-2)\)
C\(2\)
D\(3\)
W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
\(m^2=4(m-1)\)
\(m^2-4m+4=0\)
\((m-2)^2=0\)
\(m=2\)
Sprawdzenie: ciąg \((4,2,1)\) jest geometryczny o ilorazie \(q=\frac{1}{2}\) ✓
Odpowiedź: C.
Zadanie nr 24 · Matura 2025
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(94{,}5\). Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym \(4\).
Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.
Krok 1. Oznaczenia.
Krawędzie tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(4\), więc mają długości:
Sprawdzenie: krawędzie mają długości \(0{,}75\), \(3\), \(12\); \(P_c=2(2{,}25+9+36)=2\cdot 47{,}25=94{,}5\) ✓, \(V=0{,}75\cdot 3\cdot 12=27\) ✓
Odpowiedź: objętość prostopadłościanu jest równa \(27\).
Zadanie nr 16 · Matura 2024
Trójwyrazowy ciąg $(12,\,6,\,2m-1)$ jest geometryczny. Wybierz: A (rosnący) lub B (malejący) oraz 1 ($m=\tfrac12$), 2 ($m=2$) lub 3 ($m=3$).
Rozwiązanie
Iloraz $q=\tfrac{6}{12}=\tfrac12$. Trzeci wyraz $2m-1=6\cdot\tfrac12=3\Rightarrow m=2$.
$q=\tfrac12\lt 1$ → ciąg malejący.
Odpowiedź: B (malejący) oraz 2 ($m=2$).
Zadanie nr 7 · Matura 2024
Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa $105$. Liczby $x,y,z$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego $(a_{n})$. Oblicz $x$, $y$ oraz $z$.
Krok 1. Zapis ciągu geometrycznego.
Niech iloraz wynosi $q>1$ (ciąg rosnący): $y=xq$, $z=xq^{2}$.
Krok 2. Warunek arytmetyczny.
W ciągu arytmetycznym $a_{1}=x$, $a_{2}=y$, $a_{6}=z$. Różnica $d=a_{2}-a_{1}=y-x$, a $a_{6}=a_{1}+5d$, więc
Trzywyrazowy ciąg \((12, 6, 2m-1)\) jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Ten ciąg jest:
A.
B.
rosnący
malejący
oraz
1.
2.
3.
\(m=\frac{1}{2}\)
\(m=2\)
\(m=3\)
Krok 1. Obliczenie ilorazu \(q\) tego ciągu.
Już na pierwszy rzut oka widać, że ciąg musi być malejący, bo drugi wyraz jest mniejszy od pierwszego. Jednak najpierw ustalmy iloraz \(q\) tego ciągu:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{6}{12}$$
$$q=\frac{1}{2}$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(m\).
Trzeci wyraz ciągu musi być równy \(a_{2}\cdot q\), czyli w naszym przypadku:
$$a_{3}=6\cdot\frac{1}{2}$$
$$a_{3}=3$$
Trzeci wyraz jest opisany wyrażeniem \(2m-1\), a skoro tak, to:
$$2m-1=3$$
$$2m=4$$
$$m=2$$
To oznacza, że ciąg jest malejący oraz \(m=2\).
Zadanie nr 14 · Matura 2024
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), w którym \(a_2=2\) oraz \(a_5=54\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloraz ciągu \((a_n)\) jest równy
A\(3\)
B\(9\)
C\(\frac{52}{3}\)
D\(27\)
W ciągu geometrycznym kolejne wyrazy powstają przez mnożenie przez iloraz \(q\), więc:
\(a_5=a_2\cdot q^3\)
Podstawiamy dane:
\(54=2\cdot q^3\)
\(q^3=27\)
\(q=3\)
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 16 · Próbny 2024
Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$, w którym $a_{2}=\dfrac{1}{6}$ oraz $a_{3}=\dfrac{1}{9}$. Piąty wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Ciąg \((a_n)\) jest malejący. 2. Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny.
P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
Kolejne wyrazy ciągu to \(7,\,3,\,7,\,3,\ldots\)
Stwierdzenie 1. Ciąg malejący spełnia \(a_{n+1}\lt a_n\) dla każdego \(n\). Tutaj:
\(a_2=3\lt a_1=7\), ale \(a_3=7\gt a_2=3\)
Ciąg nie jest malejący — stwierdzenie fałszywe (F).
Stwierdzenie 2. W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Tutaj:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{7}\), natomiast \(\frac{a_3}{a_2}=\frac{7}{3}\)
Ilorazy są różne — stwierdzenie fałszywe (F).
Odpowiedź: F, F.
Zadanie nr 18 · Matura 2024
Trzywyrazowy ciąg \((-1,\;2,\;x)\) jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg \((-1,\;2,\;y)\) jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczby \(x\) oraz \(y\) spełniają warunki
A\(x\gt 0\) i \(y\gt 0\)
B\(x\gt 0\) i \(y\lt 0\)
C\(x\lt 0\) i \(y\gt 0\)
D\(x\lt 0\) i \(y\lt 0\)
Ciąg arytmetyczny. Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich:
\(2\cdot 2=-1+x\)
\(x=5\gt 0\)
Ciąg geometryczny. Kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiednich:
\(2^2=(-1)\cdot y\)
\(4=-y\), czyli \(y=-4\lt 0\)
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 7 · Matura 2024
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) o numerach nieparzystych jest równa \(16\), tj.
\(a_1+a_3+a_5+\ldots=16\)
Ponadto \(a_1+a_3=\frac{5}{2}\cdot a_2\).
Wyznacz wzór ogólny na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_n)\). Zapisz obliczenia.
Krok 1. Wyznaczenie ilorazu \(q\).
Z warunku \(a_1+a_3=\frac{5}{2}a_2\), gdzie \(a_2=a_1q\) i \(a_3=a_1q^2\):
\(a_1+a_1q^2=\frac{5}{2}a_1q\)
Ponieważ \(a_1\neq 0\) (w przeciwnym razie suma byłaby zerem), dzielimy przez \(a_1\):
Wyrazy o numerach nieparzystych tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q^2\). Szereg jest zbieżny, gdy \(q^2\lt 1\), czyli \(|q|\lt 1\). Odrzucamy \(q=2\) i przyjmujemy:
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq0\).
Oblicz wartość \(m\), dla której liczby \(f(m)\), \(f(1)\), \(f(2)\) są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.
Krok 1. Obliczenie wartości \(f(m)\), \(f(1)\), \(f(2)\).
Podstawiając do wzoru funkcji wartości \(m\), \(1\) oraz \(2\), otrzymamy:
$$f(m)=\frac{1}{m}$$
$$f(1)=\frac{1}{1}=1$$
$$f(2)=\frac{1}{2}$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości \(m\).
Chcemy, by obliczone przed chwilą liczby tworzyły ciąg geometryczny. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów takiego ciągu musi zachodzić następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
W naszym przypadku \(a_{1}=\frac{1}{m}\), \(a_{2}=1\) oraz \(a_{3}=\frac{1}{2}\), zatem:
$$1^2=\frac{1}{m}\cdot\frac{1}{2}$$
$$1=\frac{1}{2m} \quad\bigg/\cdot2m$$
$$2m=1$$
$$m=\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 16 · Matura 2023
Trójwyrazowy ciąg $(27,\,9,\,a-1)$ jest geometryczny. Liczba $a$ jest równa
A$3$
B$0$
C$4$
D$2$
Rozwiązanie
Iloraz $q=\tfrac{9}{27}=\tfrac13$; trzeci wyraz $a-1=9\cdot\tfrac13=3\Rightarrow a=4$.
Odpowiedź: C
Zadanie nr 10 · Matura 2023
Określamy kwadraty $K_{1},K_{2},K_{3},\dots$ następująco: $K_{1}$ jest kwadratem o boku długości $a$; dla każdego $n\ge 2$ kwadrat $K_{n}$ ma każdy wierzchołek na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$. Obwody wszystkich tych kwadratów tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.
Krok 1. Bok kolejnego kwadratu.
Wierzchołek $K_{n}$ dzieli bok $K_{n-1}$ o długości $s$ na części $\tfrac{s}{4}$ i $\tfrac{3s}{4}$. Bok kwadratu wpisanego jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $\tfrac{s}{4}$ i $\tfrac{3s}{4}$:
Obwód jest proporcjonalny do boku, więc iloraz to $q=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$. Ponieważ $\sqrt{10}\approx3{,}16$, mamy $0\lt q\lt 1$ — szereg jest zbieżny. Pierwszy wyraz $P_{1}=4a$.
Krok 4. Usunięcie niewymierności z mianownika.
$$S=\frac{16a}{4-\sqrt{10}}\cdot\frac{4+\sqrt{10}}{4+\sqrt{10}}=\frac{16a(4+\sqrt{10})}{16-10}=\frac{16a(4+\sqrt{10})}{6}=\frac{8a\left(4+\sqrt{10}\right)}{3}.$$
Zadanie nr 16 · Matura 2023
Trzywyrazowy ciąg \((27, 9, a-1)\) jest geometryczny. Liczba \(a\) jest równa:
A\(3\)
B\(0\)
C\(4\)
D\(2\)
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$9^2=27\cdot(a-1)$$
$$81=27a-27$$
$$27a=108$$
$$a=4$$
Zadanie nr 17 · Matura 2023
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \(128\), natomiast iloraz ciągu jest równy \(\left(-\frac{1}{2}\right)\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Wyraz \(a_{2023}\) jest liczbą ujemną. 2. Różnica \(a_3-a_2\) jest równa \(96\).
P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
Stwierdzenie 1. Ogólny wyraz ciągu geometrycznego:
\(a_n=128\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
Dla \(n=2023\) wykładnik wynosi \(2022\) — jest parzysty, więc potęga liczby ujemnej jest dodatnia. Zatem \(a_{2023}\gt 0\) i stwierdzenie jest fałszywe (F).
Stwierdzenie 2. Obliczamy kolejne wyrazy:
\(a_2=128\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-64\)
\(a_3=-64\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=32\)
\(a_3-a_2=32-(-64)=96\)
Stwierdzenie jest prawdziwe (P).
Odpowiedź: F, P.
Zadanie nr 15 · Próbny 2023
Trzywyrazowy ciąg $(1-2a,\ 12,\ 48)$ jest geometryczny. Liczba $a$ jest równa
A$(-1)$
B$3$
C$4$
D$12,5$
Iloraz ciągu: $q=\dfrac{48}{12}=4$. Zatem $\dfrac{12}{1-2a}=4$, stąd $1-2a=3$, czyli $a=-1$.
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 15 · Próbny 2023
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=3\cdot(-2)^n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(3\). Ciąg \((a_{n})\) jest malejący.
Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(3\).
Ciąg \((a_{n})\) jest malejący.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Patrząc się na wzór ciągu możemy zauważyć, że \(q=-2\), bo to właśnie liczba \(-2\) jest podnoszona do potęgi \(n\). Jeśli tego nie dostrzegamy, to zawsze możemy obliczyć wartości dwóch przykładowych wyrazów, np. \(a_{1}\) oraz \(a_{2}\), zatem:
$$a_{1}=3\cdot(-2)^1=3\cdot(-2)=-6$$
$$a_{2}=3\cdot(-2)^2=3\cdot4=12$$
W takim razie iloraz będzie równy:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{12}{-6}$$
$$q=-2$$
Zdanie jest więc fałśzem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Już po obliczeniu pierwszych dwóch wyrazów w pierwszym kroku widać wyraźnie, że ten ciąg na pewno nie jest malejący (nie będzie też rosnący, tylko będzie niemonotoniczny), więc zdanie jest fałszem.
Zadanie nr 15.2 · Matura 2023
Masa \(m\) leku \(\mathcal{L}\) zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą
\(m(t)=m_0\cdot(0{,}6)^{0,25t}\)
gdzie: \(m_0\) – masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili \(t=0\) dawki leku, \(t\) – czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu \(t=0\) zażycia leku.
Liczby \(m(2{,}5)\), \(m(4{,}5)\), \(m(6{,}5)\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.
Oblicz iloraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.
Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy jako stosunek kolejnych wyrazów:
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej \(x\) (różnej od \(0\) i od \(1\)), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa \(\frac{15}{2}\). Zapisz obliczenia.
Ciąg \((a,b,c)\) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg \((2a,2b,c+1)\) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek \(c-b=6\).
Oblicz \(a\), \(b\) oraz \(c\). Zapisz obliczenia.
Krok 1. Zapisanie warunków.
Ciąg geometryczny: \(b^2=a\cdot c\)
Ciąg arytmetyczny: \(2\cdot 2b=2a+(c+1)\), czyli \(4b=2a+c+1\)
Sprawdzenie: \((1,3,9)\) — ciąg geometryczny o ilorazie \(3\) ✓; \((2,6,10)\) — ciąg arytmetyczny o różnicy \(4\) ✓; \(c-b=9-3=6\) ✓
Odpowiedź: \(a=1\), \(b=3\), \(c=9\)
Zadanie nr 10 · Matura 2022
Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto $a_1=675$ i $$a_{22}=\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}.$$ Ciąg $(b_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(b_n)$. Ponadto $a_3=b_4$. Oblicz $b_1$.
Krok 1. Iloraz ciągu geometrycznego. Zapisujemy wyrazy przez $a_{21}$ i iloraz $q$: $a_{22}=a_{21}q$, $a_{23}=a_{21}q^2$. Warunek przyjmuje postać
$$a_{21}q=\frac54 a_{21}q^2+\frac15 a_{21}.$$
Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc $a_{21}>0$ i można podzielić stronami:
Sprawdzenie: $b_1+12r=129-84=45$, więc $S_{25}=25\cdot45=1125$ — zgadza się z sumą ciągu geometrycznego.
Odpowiedź: $b_1=129$
Zadanie nr 14 · Matura 2022
Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu \((a_{n})\) są równe \(2\). Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(1\)
B\(11\)
C\(21\)
D\(31\)
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Z treści zadania wynika, że \(a_{2}=2\) oraz \(q=2\). To oznacza, że pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
$$a_{1}=a_{2}:q$$
$$a_{1}=2:2$$
$$a_{1}=1$$
Krok 2. Obliczenie sumy pięciu początkowych wyrazów ciągu.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{5}=1\cdot\frac{1-2^{5}}{1-2}$$
$$S_{5}=1\cdot\frac{1-32}{-1}$$
$$S_{5}=1\cdot\frac{-31}{-1}$$
$$S_{5}=1\cdot31$$
$$S_{5}=31$$
Zadanie nr 15 · Próbny 2022
Ciąg \((4x, 3x+6, 9x)\) jest geometryczny i rosnący. Jego iloraz jest równy:
A\(-\frac{3}{2}\)
B\(-\frac{2}{3}\)
C\(\frac{3}{2}\)
D\(2\)
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca relacja:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$(3x+6)^2=4x\cdot9x$$
$$9x^2+36x+36=36x^2$$
$$-27x^2+36x+36=0$$
$$-3x^2+4x+4=0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=-3,\;b=4,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-3)\cdot4=16-(-48)=64$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwa różne wyniki, ale czy oba są poprawne? Aby to ustalić, sprawdźmy co się stanie, gdy podstawimy do wyrazów ciągu wartości \(x=2\) oraz \(x=-\frac{2}{3}\).
Dla \(x=2\):
\(a_{1}=4\cdot2=8\)
\(a_{2}=3\cdot2+6=12\)
\(a_{3}=9\cdot2=18\)
Dla \(x=-\frac{2}{3}\):
\(a_{1}=4\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{8}{3}\)
\(a_{2}=3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)+6=4\)
\(a_{3}=9\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-6\)
Widzimy, że nasz ciąg jest rosnący tylko dla \(x=2\).
Krok 4. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Celem naszego zadania jest obliczenie ilorazu ciągu. Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{12}{8}$$
$$q=\frac{3}{2}$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2022
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\dfrac{7^n}{21}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Zadanie 1. Pięćdziesiątym wyrazem ciągu \((a_{n})\) jest:
A. \(\dfrac{7^{49}}{3}\)
B. \(\dfrac{7^{50}}{3}\)
C. \(\dfrac{7^{51}}{3}\)
D. \(\dfrac{7^{52}}{3}\)
Zadanie 2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Ciąg \((a_{n})\) jest geometryczny.
2. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\) jest równa \(20\).
Odpowiedź 1.
Wartość pięćdziesiątego wyrazu możemy obliczyć podstawiając do wzoru ciągu \(n=50\), zatem:
$$a_{50}=\frac{7^{50}}{21}$$
Takiej odpowiedzi jednak nie mamy wśród proponowanych. Musimy więc jeszcze przekształcić podany zapis. Patrząc na odpowiedzi widzimy, że dążymy do tego, aby w mianowniku ułamka znalazła się liczba \(3\), zatem:
$$a_{50}=\frac{7\cdot7^{49}}{7\cdot3}$$
$$a_{50}=\frac{7^{49}}{3}$$
Odpowiedź 2.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Już po samym wzorze widać wyraźnie, że jest to ciąg geometryczny, ale, jeśli chcemy się dokładnie upewnić, to nie pozostaje nam nic innego jak obliczyć wartość \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\), zatem:
$$\frac{\frac{7^{n+1}}{21}}{\frac{7^n}{21}}=\frac{\frac{7^{n}\cdot7}{21}}{\frac{7^n}{21}}=\frac{7^{n}\cdot7}{21}\cdot\frac{21}{7^n}=7$$
Otrzymany wynik oznacza, że jest to ciąg geometryczny, w którym \(q=7\). Zdanie jest więc prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu, czyli:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
Ustaliliśmy już, że \(q=7\), więc obliczmy jeszcze wartość \(a_{1}\), zatem:
$$a_{1}=\frac{7^1}{21}$$
$$a_{1}=\frac{7}{21}$$
$$a_{1}=\frac{1}{3}$$
Skoro tak, to suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu będzie równa:
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-7^3}{1-7}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-343}{-6}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{-342}{-6}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{-342}{-6}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot57$$
$$S_{3}=19$$
Zdanie jest więc fałszem.
Zadanie nr 32 · Matura 2022
Trójwyrazowy ciąg \((x, 3x+2, 9x+16)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\).
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następujące równanie:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając do tej zależności dane z treści zadania, otrzymamy:
$$(3x+2)^2=x\cdot(9x+16)$$
$$9x^2+12x+4=9x^2+16x$$
$$12x+4=16x$$
$$4=4x$$
$$x=1$$
Zadanie nr 15 · Matura 2022
Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_{n})\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), są dodatnie i \(9a_{5}=4a_{3}\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy:
A\(\frac{2}{3}\)
B\(\frac{3}{2}\)
C\(\frac{2}{9}\)
D\(\frac{9}{2}\)
Skoro \(9a_{5}=4a_{3}\), to dzieląc obie strony tego równania przez \(9\) otrzymamy informację, że \(a_{5}=\frac{4}{9}a_{3}\).
Z własności ciągów geometrycznych wynika, że:
$$a_{5}=a_{3}\cdot q^2$$
Podstawiając do tego równania \(a_{5}=\frac{4}{9}a_{3}\), otrzymamy:
$$\frac{4}{9}a_{3}=a_{3}\cdot q^2 \quad\bigg/:a_{3}$$
$$\frac{4}{9}=q^2$$
$$q=\frac{2}{3} \quad\lor\quad q=-\frac{2}{3}$$
Teoretycznie obydwa rozwiązania są poprawne, ale jedno z nich musimy odrzucić. Z treści zadania wynika, że ciąg ma wszystkie wyrazy dodatnie, a skoro tak, to odrzucić musimy \(q=-\frac{2}{3}\). To oznacza, że iloraz tego ciągu jest równy \(q=\frac{2}{3}\)
Zadanie nr 10 · Matura 2022
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), którego iloraz \(q\) jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek \(|q|\lt 1\).
Stosunek sumy \(S_N\) wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy \(S_P\) wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. \(\frac{S_N}{S_P}=S_N-S_P\).
Oblicz \(q\).
Krok 1. Obie sumy.
Z założenia \(a_1=q\) oraz \(|q|\lt 1\) i \(q\neq 0\) (inaczej sumy byłyby zerowe, a iloraz \(\frac{S_N}{S_P}\) nie istniałby).
Wyrazy o numerach nieparzystych: \(a_1,a_3,a_5,\ldots\) tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(q\) i ilorazie \(q^2\):
\(S_N=\frac{q}{1-q^2}\)
Wyrazy o numerach parzystych: \(a_2,a_4,\ldots\) — pierwszy wyraz \(q^2\), iloraz \(q^2\):
Liczba \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\gt 1\) — odrzucamy. Pozostaje:
\(q=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\), przy czym \(\left|\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right|\approx 0{,}618\lt 1\) ✓
Odpowiedź: \(q=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
Zadanie nr 15 · Matura 2021
Trójwyrazowy ciąg \((2,x,18)\) jest rosnących ciągiem geometrycznym. Wtedy:
A\(x=16\)
B\(x=10\)
C\(x=6\)
D\(x=9\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\)
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów takiego ciągu zachodzi następująca własność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$x^2=2\cdot18$$
$$x^2=36$$
$$x=6 \quad\lor\quad x=-6$$
Krok 2. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwie wartości, czyli \(x=6\) oraz \(x=-6\). To drugie rozwiązanie musimy jednak odrzucić, bo dla \(x=-6\) nasz ciąg nie będzie rosnący, tylko będzie niemonotoniczny. To oznacza, że rozwiązaniem tego zadania jest jedyni \(x=6\).
Zadanie nr 35 · Matura 2021
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\frac{5-3n}{7}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Trójwyrazowy ciąg \((a_{4}, x^2+2, a_{11})\), gdzie \(x\) jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz \(x\) oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{4}\) oraz \(a_{11}\).
Na początek uporządkujmy sobie o co chodzi w zadaniu, bo tak na pierwszy rzut oka można się pogubić. Mamy jakiś ciąg \(a_{n}\) i on jest określony wzorem \(\frac{5-3n}{7}\). Czwarty oraz jedenasty wyraz tego ciągu znajduje się także w innym, trójwyrazowym ciągu geometrycznym i to właśnie w tym ciągu znajduje się poszukiwana niewiadoma \(x\). Obliczenia zaczniemy więc od obliczenia \(a_{4}\) oraz \(a_{11}\). W tym celu musimy do wzoru ciągu podstawić najpierw \(n=4\), a potem \(n=11\), zatem:
Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Wartość \(x\) ukrywa się w środkowym wyrazie naszego ciągu geometrycznego. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów tego ciągu zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając teraz znane nam wartości, otrzymamy:
$$(x^2+2)^2=(-1)\cdot(-4)$$
$$x^4+4x^2+4=4$$
$$x^4+4x^2=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania.
Powstało nam równanie czwartego stopnia, ale w takiej postaci, którą jesteśmy w stanie rozwiązać. W tym celu wystarczy wyłączyć z \(x^4\) oraz \(4x^2\) wartość \(x^2\), otrzymując:
$$x^2(x^2+4)=0$$
Teraz zachowujemy się identycznie jak przy postaci iloczynowej, czyli musimy przyrównać odpowiednie wartości do zera, zatem:
$$x^2=0 \quad\lor\quad x^2+4=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x^2=-4$$
Z racji tego, iż z drugiego równania nie mamy żadnych rozwiązań (nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje \(-4\)), to jedynym rozwiązaniem tego równania jest \(x=0\).
Krok 4. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
\(x=0\) to nie jest drugi wyraz ciągu geometrycznego! Drugim wyrazem ciągu jest \(x^2+2\), czyli:
$$a_{2}=0^2+2$$
$$a_{2}=0+2$$
$$a_{2}=2$$
To oznacza, że nasz ciąg geometryczny przyjmuje postać: \(-1, 2, -4\).
Krok 5. Obliczenie wartości ilorazu \(q\).
Znając dwa sąsiednie wyrazy ciągu geometrycznego, obliczenie ilorazu jest już tylko formalnością:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{2}{-1}$$
$$q=-2$$
Zadanie nr 11 · Próbny 2021
Ciąg \((x,y,z)\) jest geometryczny. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy \(64\). Stąd wynika, że \(y\) jest równe:
A\(3\cdot64\)
B\(\frac{64}{3}\)
C\(4\)
D\(3\)
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że wartość środkowego z trzech wyrazów podniesiona do kwadratu jest równa iloczynowi wyrazów sąsiadujących, zatem:
$$y^2=x\cdot z$$
Z treści zadania wynika, że:
$$x\cdot y\cdot z=64$$
$$x\cdot z=\frac{64}{y}$$
Podstawiając tę informację do naszej własności \(y^2=x\cdot z\) otrzymamy:
$$y^2=\frac{64}{y} \bigg/\cdot y$$
$$y^3=64$$
$$y=4$$
Zadanie nr 35 · Próbny 2021
Rosnący ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa \(10\). Wyrazy \(a_{3}, a_{5}, a_{13}\) tworzą - w podanej kolejności - ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\).
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{3}\).
Z treści zadania wiemy, że suma pierwszych pięciu wyrazów jest równa \(10\), czyli:
$$S_{5}=10$$
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=10$$
Spróbujmy teraz każdy z tych wyrazów powiązać z \(a_{3}\). Dlaczego akurat z \(a_{3}\)? Jest to wyraz, który bardzo nam pasuje, bo nie dość, że jest środkowym wyrazem tej sumy (co jak się za chwilę okaże, ma spore znaczenie), to jeszcze występuje w ciągu geometrycznym. Z własności ciągów wiemy, że:
$$a_{1}=a_{3}-2r$$
$$a_{2}=a_{3}-r$$
$$a_{4}=a_{3}+r$$
$$a_{5}=a_{3}+2r$$
Możemy więc zapisać, że:
$$a_{3}-2r+a_{3}-r+a_{3}+a_{3}+r+a_{3}+2r=10$$
Wartości \(r\) występujące w równaniu tak naprawdę się nam skrócą i zostanie jedynie niewiadoma \(a_{3}\), zatem:
$$5a_{3}=10$$
$$a_{3}=2$$
Krok 2. Wykorzystanie własności ciągów geometrycznych.
Paradoksalnie, różnicę ciągu arytmetycznego obliczymy korzystając z informacji na temat ciągu geometrycznego. Rozpiszmy sobie wartości \(a_{5}\) i \(a_{13}\), powiązując je z \(a_{3}\) (którego wartość już znamy, bowiem \(a_{3}=2\)):
$$a_{5}=a_{3}+2r=2+2r$$
$$a_{13}=a_{3}+10r=2+10r$$
Wiemy, że \(a_{3}, a_{5}, a_{13}\) tworząc ciąg geometryczny. Możemy skorzystać z jednej z własności ciągów geometrycznych i zapisać, że w takim razie:
$$\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{13}}{a_{5}}$$
$$\frac{2+2r}{2}=\frac{2+10r}{2+2r}$$
Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$(2+2r)\cdot(2+2r)=2\cdot(2+10r)$$
Po lewej stronie równania możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)=a^2+2ab+b^2\), zatem:
$$4+8r+4r^2=4+20r$$
$$4r^2-12r=0$$
$$r^2-3r=0$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Oczywiście możemy to zrobić przy pomocy delty (pamiętając, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale wiemy już, że takie równania kwadratowe możemy rozwiązać w znacznie prostszy sposób, wyłączając \(r\) przed nawias:
$$r^2-3r=0$$
$$r\cdot(r-3)=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r-3=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r=3$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy dwa wyniki, ale czy oba nam pasują? Z treści zadania wynika, że ciąg arytmetyczny jest rosnący, a to sprawia, że na pewno \(r\) nie może być równe \(0\), bo dla \(r=0\) nasz ciąg byłby stały. W związku z tym jedynym pasującym rozwiązaniem będzie \(r=3\).
Krok 5. Zapisanie wzoru ciągu.
Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
Widzimy, że musimy poznać jeszcze wartość \(a_{1}\), a skoro \(a_{3}=2\) oraz \(r=3\), to:
$$a_{1}=a_{3}-2r$$
$$a_{1}=2-2\cdot3$$
$$a_{1}=2-6$$
$$a_{1}=-4$$
Teraz możemy podstawić \(a_{1}=-4\) oraz \(r=3\) do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, otrzymując:
$$a_{n}=-4+(n-1)\cdot3$$
$$a_{n}=-4+3n-3$$
$$a_{n}=3n-7$$
Zadanie nr 16 · Próbny 2021
Dany jest ciąg geometryczny \((4x+4, x+3, x+1)\), którego wszystkie wyrazy są dodatnie. Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:
A\(\frac{1}{4}\)
B\(\frac{1}{2}\)
C\(-1\)
D\(2\)
Do zadania możemy podejść na różne sposoby.
I sposób - dla spostrzegawczych.
Moglibyśmy dostrzec, że trzeci wyraz \(x+1\) jest \(4\) razy mniejszy od pierwszego wyrazu \(4x+4\), a to znacząco uprości obliczenia. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że \(a_{3}=a_{1}\cdot q^2\), a więc \(q^2=\frac{a_{3}}{a_{1}}\). Skoro tak, to:
$$q^2=\frac{x+1}{4x+4}$$
$$q^2=\frac{x+1}{4\cdot(x+1)}$$
$$q^2=\frac{1}{4}$$
$$q=\frac{1}{2} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{2}$$
Ujemne \(q\) odrzucamy, bo dla ujemnego \(q\) nigdy nie otrzymamy ciągu o dodatnich wyrazach (a zgodnie z treścią zadania - ciąg ma mieć wszystkie wyrazy dodatnie). Zostaje nam więc \(q=\frac{1}{2}\).
II sposób - korzystając z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając do tego wzoru wartości naszych wyrazów, otrzymamy:
$$(x+3)^2=(4x+4)\cdot(x+1)$$
$$x^2+6x+9=4x^2+4x+4x+4$$
$$x^2+6x+9=4x^2+8x+4$$
$$-3x^2-2x+5=0$$
Powstało nam do rozwiązania równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta.
Z otrzymanych rozwiązań pasuje nam jedynie \(x=1\), bo tylko wtedy nasze wyrazy będą dodatnie. Podstawmy zatem \(x=1\) do naszych wyrazów:
$$a_{1}=4x+4=4+4=8$$
$$a_{2}=x+3=1+3=4$$
$$a_{3}=x+1=1+1=2$$
Znając wartości dwóch dowolnych wyrazów, obliczenie \(q\) jest już tylko formalnością:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{4}{8}$$
$$q=\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 13 · Próbny 2021
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny \((3, 6, 5x+2)\). Zatem:
A\(x=-6\)
B\(x=2\)
C\(x=6\)
D\(x=-2\)
Korzystając z zależności dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
$$6^2=3\cdot(5x+2)$$
$$36=15x+6$$
$$30=15x$$
$$x=2$$
Zadanie nr 14 · Matura 2021
Ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek \(a_{3}=a_{1}\cdot a_{2}\). Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu \((a_{n})\). Wtedy:
A\(a_{1}=\frac{1}{q}\)
B\(a_{1}=q\)
C\(a_{1}=q^2\)
D\(a_{1}=q^3\)
Z własności ciągów wiemy, że:
$$a_{2}=a_{1}\cdot q$$
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$
Podstawiając te dane do równania z treści zadania, otrzymamy:
$$a_{3}=a_{1}\cdot a_{2}$$
$$a_{1}\cdot q^2=a_{1}\cdot a_{1}\cdot q$$
$$q^2=a_{1}\cdot q$$
$$a_{1}=q$$
Zadanie nr 13 · Matura 2021
Trzywyrazowy ciąg \(15, 3x, \frac{5}{3}\) jest geometryczny i wszystkie wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że:
A\(x=\frac{3}{5}\)
B\(x=\frac{4}{5}\)
C\(x=1\)
D\(x=\frac{5}{3}\)
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zajdzie następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając teraz wyrazy z treści zadania, otrzymamy:
$$(3x)^2=15\cdot\frac{5}{3}$$
$$9x^2=25$$
$$x^2=\frac{25}{9}$$
$$x=\frac{5}{3} \quad\lor\quad x=-\frac{5}{3}$$
Skoro wszystkie wyrazy są dodatnie, to wartość \(x\) musi być także dodatnia (bo tylko wtedy wyraz opisany jako \(3x\) będzie dodatni), zatem zostaje nam jedynie \(x=\frac{5}{3}\).
Zadanie nr 10 · Matura 2020
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym $(a_1,a_2,a_3)$ spełniona jest równość $$a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}.$$ Wyrazy $a_1$, $a_2$, $a_3$ są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz $a_1$.
Krok 1. Oznaczenia. Niech ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz $b_1$ i różnicę $r$. Ciąg jest rosnący, więc $r>0$. Z treści:
Dany jest trzywyrazowy ciąg (x+2, 4x+2, x+11). Oblicz wszystkie wartości x, dla których ten ciąg jest geometryczny.
Krok 1. Wykorzystanie własności dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając wyrazy z treści zadania otrzymamy następujące równanie:
$$(4x+2)^2=(x+2)(x+11)$$
Teraz nasze równanie musimy uprościć, wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy. Po lewej stronie równania będziemy mogli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)=a^2+2ab+b^2\), zatem:
$$16x^2+16x+4=x^2+11x+2x+22$$
$$16x^2+16x+4=x^2+13x+22$$
$$15x^2+3x-18=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam klasyczne równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, które teraz musimy rozwiązać, zatem:
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wyszły nam dwie różne wartości \(x\). Nie mamy powodu, by którąkolwiek z nich odrzucić (moglibyśmy odrzucać gdyby np. w treści zadania była informacja, że ciąg jest rosnący). W związku z tym rozwiązaniem tego zadania jest \(x=-\frac{6}{5}\) oraz \(x=1\).
Zadanie nr 12 · Próbny 2020
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: \((81, 3x, 4)\). Stąd wynika, że:
A\(x=18\)
B\(x=6\)
C\(x=\frac{85}{6}\)
D\(x=\frac{6}{85}\)
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Z racji tego iż ciąg ma mieć wyrazy dodatnie, to zostaje nam \(x=6\).
Zadanie nr 17 · Próbny 2020
Liczby: \(1, a+1, 9\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny tylko wtedy, gdy:
A\(a=2\)
B\(a=4\)
C\(a=4\) lub \(a=-4\)
D\(a=2\) lub \(a=-4\)
Krok 1. Zapisanie równania z wykorzystaniem własności ciągów geometrycznych
Z własności ciągów geometrycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następujące równanie:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając do tego wzoru nasze trzy wyrazy z treści zadania otrzymamy:
$$(a+1)^2=1\cdot9$$
Teraz korzystając po lewej stronie ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$a^2+2a+1=9$$
$$a^2+2a-8=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które teraz musimy rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-8\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-8)=4-(-32)=4+32=36$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego rozwiązania.
Wyszło nam, że ciąg jest geometryczny, gdy \(a=-4\) oraz gdy \(a=2\). Sprawdźmy zatem jak będą wyglądać nasze ciągi:
Gdy \(a=-4\), to mamy ciąg \(1,-3,9\), czyli powstał nam ciąg geometryczny niemonotoniczny.
Gdy \(a=2\), to mamy ciąg \(1,3,9\), czyli powstał nam ciąg geometryczny rosnący.
Obydwa przypadki są poprawne, zatem prawidłowa będzie ostatnia odpowiedź.
Zadanie nr 15 · Próbny 2020
Trzecim wyrazem ciągu geometrycznego jest liczba \(3\), a szóstym jest liczba \(-24\). Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu wynosi:
A\(11\frac{1}{4}\)
B\(3\frac{3}{4}\)
C\(-3\frac{3}{4}\)
D\(-11\frac{1}{4}\)
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Do zadania można podejść na kilka sposobów, ale najprościej będzie skorzystać z własności ciągów geometrycznych. Powinniśmy dostrzec, że \(a_{3}\cdot q\cdot q\cdot q=a_{6}\), czyli że \(a_{3}\cdot q^3=a_{6}\). Podstawiając teraz informacje z treści zadania, otrzymamy:
$$a_{3}\cdot q^3=a_{6}$$
$$3\cdot q^3=-24$$
$$q^3=-8$$
$$q=-2$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość trzeciego wyrazu oraz iloraz ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$
$$3=a_{1}\cdot(-2)^2$$
$$3=a_{1}\cdot4$$
$$a_{1}=\frac{3}{4}$$
Krok 3. Obliczenie sumy czterech pierwszych wyrazów.
Kiedy znamy już wartość pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu, możemy bez problemu obliczyć sumę czterech pierwszych wyrazów ciągu, korzystając z następującego wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1-(-2)^{4}}{1-(-2)}$$
$$S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1-16}{3}$$
$$S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{-15}{3}$$
$$S_{4}=\frac{3}{4}\cdot(-5)$$
$$S_{4}=\frac{-15}{4}=-3\frac{3}{4}$$
Zadanie nr 34 · Próbny 2020
Objętość prostopadłościanu jest równa \(216\), a długości trzech jego krawędzi poprowadzone z jednego wierzchołka są liczbami naturalnymi i tworzą niemalejący ciąg geometryczny, którego iloraz jest liczbą pierwszą. Oblicz wymiary tego prostopadłościanu oraz długość jego przekątnej.
Krok 1. Obliczenie długości jednej z krawędzi prostopadłościanu.
Na razie potraktujmy to zadanie jako typowy przykład z ciągów. Z treści zadania możemy wywnioskować, że liczby \(a\), \(b\) oraz \(c\) tworzą ciąg geometryczny, a iloczyn tych liczb jest równy \(216\). Czyli mamy taką oto sytuację:
$$a\cdot b\cdot c=216$$
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość \({a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}\), czyli w naszym przypadku \(b^2=a\cdot c\). Skoro tak, to możemy podstawić tę zależność do naszego zapisu:
$$a\cdot b\cdot c=216$$
$$a\cdot c\cdot b=216$$
$$b^2\cdot b=216$$
$$b^3=216$$
$$b=6$$
Krok 2. Ustalenie, jakie są wymiary pozostałych boków.
Wiemy już, że jeden z boków ma długość \(b=6\). Tym samym możemy zapisać, że:
$$a\cdot6\cdot c=216$$
$$a\cdot c=36$$
Z treści zadania wynika, że wszystkie długości krawędzi są liczbami naturalnymi. Musimy się więc zastanowić jakie dwie liczby naturalne pomnożone przez siebie dają wynik równy \(36\). Będą to:
$$1\cdot36=36$$
$$2\cdot18=36$$
$$3\cdot12=36$$
$$4\cdot9=36$$
$$6\cdot6=36$$
Możemy więc mówić o następujących ciągach:
I wersja: \(1,6,36 \Rightarrow q=6\)
II wersja \(2,6,18 \Rightarrow q=3\)
III wersja \(3,6,12 \Rightarrow q=2\)
IV wersja \(4,6,9 \Rightarrow q=1,5\)
V wersja \(6,6,6 \Rightarrow q=1\)
I, IV oraz V wersję musimy odrzucić, ponieważ iloraz ciągu ma być liczbą pierwszą, a zarówno \(1\), jak i \(1,5\) jak i \(6\) nie są takimi liczbami. To oznacza, że warunki naszego zadania spełniają dwa prostopadłościany: \(2\times6\times18\) oraz \(3\times6\times12\).
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Mamy dwa prostopadłościany spełniające warunki zadania, więc i dwie przekątne będziemy musieli obliczyć. Spójrzmy na rysunek pomocniczy:
Do wyznaczenia długości przekątnej prostopadłościanu potrzebujemy znać długość przekątnej podstawy. Obliczmy zatem tę długość w pierwszym i drugim wariancie:
I wariant - \(2\times6\times18\)
$$2^2+6^2=d^2$$
$$4+36=d^2$$
$$d^2=40$$
$$d=\sqrt{40} \quad\lor\quad d=-\sqrt{40}$$
Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(d=\sqrt{40}\) (i póki co możemy to zostawić w takiej postaci).
II wariant - \(3\times6\times12\)
$$3^2+6^2=d^2$$
$$9+36=d^2$$
$$d^2=45$$
$$d=\sqrt{45} \quad\lor\quad d=-\sqrt{45}$$
I tutaj także ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(d=\sqrt{45}\).
Teraz mając długości przekątnych podstawy, możemy obliczyć długości przekątnych całego prostopadłościanu:
I wariant - \(2\times6\times18\)
$$18^2+(\sqrt{40})^2=s^2$$
$$324+40=s^2$$
$$s^2=364$$
$$s=\sqrt{364} \quad\lor\quad s=-\sqrt{364}$$
Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(s=\sqrt{364}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(s=\sqrt{4\cdot91}=2\sqrt{91}\)
II wariant - \(3\times6\times12\)
$$12^2+(\sqrt{45})^2=s^2$$
$$144+45=s^2$$
$$s^2=189$$
$$s=\sqrt{189} \quad\lor\quad s=-\sqrt{189}$$
Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(s=\sqrt{189}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(s=\sqrt{9\cdot21}=3\sqrt{21}\).
Zadanie nr 33 · Matura 2020
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_{1}-5a_{2}+a_{3}=0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \((2\sqrt{2}, 3\sqrt{2})\).
Krok 1. Rozpisanie wyrażenia z treści zadania.
Z własności ciągów wiemy, że:
$$a_{2}=a_{1}\cdot q$$
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$
Podstawiając te dane do naszego równania \(6a_{1}-5a_{2}+a_{3}=0\) otrzymamy:
$$6a_{1}-5\cdot(a_{1}\cdot q)+a_{1}\cdot q^2=0$$
$$6a_{1}-5a_{1}\cdot q+a_{1}\cdot q^2=0$$
I teraz kluczowy moment zadania. Aby rozwiązać to równanie musimy wyłączyć \(a_{1}\) przed nawias, otrzymując:
$$a_{1}\cdot(6-5q+q^2)=0 \quad\bigg/:a_{1}$$
$$6-5q+q^2=0$$
$$q^2-5q+6=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
W trakcie obliczeń otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z treści zadania wynika, że \(q\) musi należeć do przedziału \((2\sqrt{2}, 3\sqrt{2})\). Przyjmując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,41\) możemy założyć, że nasz iloraz \(q\) musi być większy od około \(2,82\) i mniejszy od \(4,23\). Taki warunek spełnia jedynie \(q=3\) i to będzie nasza jedyna odpowiedź do tego zadania.
Zadanie nr 14 · Matura 2020
Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) oraz \(a_{2}=6\) i \(a_{5}=-48\). Wynika stąd, że:
A\(a_{7}\gt0\)
B\(a_{7}\lt0\)
C\(a_{7}\gt a_{6}\)
D\(a_{7}\gt a_{8}\)
I sposób - obliczając wartość iloczynu ciągu geometrycznego.
Krok 1. Obliczenie wartości iloczynu \(q\).
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że \(a_{5}=a_{2}\cdot q^3\). Znamy wartości \(a_{2}\) oraz \(a_{5}\), więc możemy bez problemu obliczyć wartość \(q\):
$$a_{5}=a_{2}\cdot q^3$$
$$-48=6\cdot q^3$$
$$q^3=-8$$
$$q=-2$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{6}\), \(a_{7}\) oraz \(a_{8}\).
Patrząc się na odpowiedzi, potrzebujemy poznać wartości \(a_{6}\), \(a_{7}\) oraz \(a_{8}\), zatem:
$$a_{6}=a_{2}\cdot q^4$$
$$a_{6}=6\cdot(-2)^4$$
$$a_{6}=6\cdot16$$
$$a_{6}=96$$
Krok 3. Weryfikacja poprawności odpowiedzi.
Spoglądając na proponowane odpowiedzi widzimy, że prawdziwą nierównością jest jedynie \(a_{7}\lt0\), ponieważ \(a_{7}=-192\).
II sposób - metodą dedukcji.
Powinniśmy dostrzec, wartość \(a_{2}\) jest dodatnia, a wartość \(a_{5}\) jest ujemna, co prowadzi nas do wniosku, że ten ciąg musi być niemonotoniczny. To oznacza, że wyrazy w tym ciągu muszą być naprzemiennie dodatnie i ujemne:
\(a_{2}\) jest dodatnie
\(a_{3}\) jest ujemne
\(a_{4}\) jest dodatnie
\(a_{5}\) jest ujemne
\(a_{6}\) jest dodatnie
\(a_{7}\) jest ujemne
\(a_{8}\) jest dodatnie
Teraz analizując podane odpowiedzi możemy stwierdzić, że prawdą na temat tego ciągu jest to, że \(a_{7}\lt0\).
Zadanie nr 30 · Matura 2020
Dany jest trzywyrazowy ciąg \((x+2, 4x+2, x+11)\). Oblicz te wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.
Krok 1. Wykorzystanie własności ciągów geometrycznych.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając do tego równania dane z treści zadania, otrzymamy:
$$(4x+2)^2=(x+2)\cdot(x+11)$$
$$16x^2+16x+4=x^2+11x+2x+22$$
$$16x^2+16x+4=x^2+13x+22$$
$$15x^2+3x-18=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem możemy przystąpić do liczenia delty:
Współczynniki: \(a=15,\;b=3,\;c=-18\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot15\cdot(-18)=9-(-1080)=1089$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1089}=33$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Dobrą praktyką jest sprawdzenie jakie ciągi powstaną nam dla każdego z otrzymanych wyników. Mogłoby się zdarzyć, że jakiś wynik trzeba będzie odrzucić (choć tutaj prawdę mówiąc nic tego nie zapowiada, bo nie mamy informacji o tym, że ciąg jest np. rosnący). Nie mniej jednak sprawdźmy, jak wyglądają nasze ciągi:
Gdy \(x=-1,2\), to:
$$a_{1}=x+2=-1,2+2=0,8$$
$$a_{2}=4x+2=4\cdot(-1,2)+2=-4,8+2=-2,8$$
$$a_{3}=x+11=-1,2+11=9,8$$
Choć na pierwszy rzut oka tego nie widać, to ten ciąg jest jak najbardziej geometryczny, a jego iloczyn jest równy \(q=-3,5\). Możemy to bardzo łatwo sprawdzić na kalkulatorze, dzieląc wartość drugiego wyrazu przez wartość pierwszego wyrazu lub wartość trzeciego wyrazu przez wartość wyrazu drugiego.
Gdy \(x=1\), to:
$$a_{1}=x+2=1+2=3$$
$$a_{2}=4x+2=4\cdot1+2=4+2=6$$
$$a_{3}=x+11=1+11=12$$
Tu sytuacja jest oczywista, widzimy że jest to ciąg geometryczny, w którym \(q=2\).
To oznacza, że dany ciąg jest geometryczny zarówno dla \(x=-1,2\) jak i dla \(x=1\).
Zadanie nr 12 · Matura 2019
Trzywyrazowy ciąg $(a,\ b,\ c)$ o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg $$\left(\frac{1}{a},\ \frac{2}{3b},\ \frac{1}{2a+2b+c}\right)$$ jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.
Krok 1. Warunek ciągu arytmetycznego.
$$2b=a+c\ \Longrightarrow\ c=2b-a.$$
Krok 2. Uproszczenie trzeciego wyrazu.
$$2a+2b+c=2a+2b+(2b-a)=a+4b.$$
Ciąg geometryczny ma więc postać $\left(\frac1a,\ \frac{2}{3b},\ \frac{1}{a+4b}\right)$.
Krok 3. Warunek ciągu geometrycznego. Kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiednich:
Sprawdzenie: przy $a=\frac b2$ mamy $c=\frac{3b}{2}$, a ciąg geometryczny to $\frac{2}{b},\ \frac{2}{3b},\ \frac{2}{9b}$ — kolejne ilorazy równe $\frac13$ ✓
Odpowiedź: $q=\frac{1}{3}$
Zadanie nr 12 · Matura 2019
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), są liczbami dodatnimi. Drugi wyraz tego ciągu jest równy \(162\), a piąty wyraz jest równy \(48\). Oznacza to, że iloraz tego ciągu jest równy:
A\(\frac{2}{3}\)
B\(\frac{3}{4}\)
C\(\frac{1}{3}\)
D\(\frac{1}{2}\)
Krok 1. Rozpisanie wartości piątego wyrazu.
Spróbujmy powiązać wartość piątego wyrazu z wyrazem drugim. Dzięki temu powstanie nam równanie z którego obliczymy iloraz naszego ciągu. Piąty wyraz ciągu geometrycznego możemy rozpisać jako:
$$a_{5}=a_{2}\cdot q\cdot q\cdot q$$
$$a_{5}=a_{2}\cdot q^3$$
Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Podstawiając do powyższego równania \(a_{2}=162\) oraz \(a_{5}=48\) otrzymamy:
$$48=162\cdot q^3$$
$$q^3=\frac{48}{162}$$
$$q^{3}=\frac{8}{27}$$
$$q=\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$$
$$q=\frac{2}{3}$$
Zadanie nr 16 · Próbny 2019
W niemonotonicznym ciągu geometrycznym dane są wyrazy \(a_{4}=16\) i \(a_{6}=1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:
A\(-8\)
B\(-4\)
C\(4\)
D\(8\)
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$a_{6}=a_{4}\cdot q^2$$
$$1=16\cdot q^2$$
$$q^2=\frac{1}{16}$$
$$q=\frac{1}{4} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{4}$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości piątego wyrazu ciągu.
Wyszły nam dwa różne ilorazy ciągu geometrycznego, dlatego rozpatrzmy dwie możliwości:
Gdy \(q=\frac{1}{4}\):
\(a_{5}=a_{4}\cdot q\)
\(a_{5}=16\cdot\frac{1}{4}\)
\(a_{5}=4\)
Czyli mamy ciąg malejący: \((...,16,4,1,...)\).
Gdy \(q=-\frac{1}{4}\):
\(a_{5}=a_{4}\cdot q\)
\(a_{5}=16\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\)
\(a_{5}=-4\)
Czyli mamy ciąg niemonotoniczny: \((...,16,-4,1,...)\).
Z treści zadania wiemy, że nasz ciąg miał być niemonotoniczny (czyli raz miał być rosnący, raz malejący), a taka sytuacja ma miejsce w tym drugim przypadku. Z tego też względu \(a_{5}=-4\).
Zadanie nr 15 · Próbny 2019
W ciągu geometrycznym, który ma sześć wyrazów, dane są \(a_{3}=\frac{1}{2}\) i \(a_{6}=\frac{1}{16}\). Zatem:
A\(a_{2}=\frac{1}{4}\)
B\(a_{2}=\frac{1}{8}\)
C\(a_{2}=1\)
D\(a_{2}=2\)
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego wiemy, że:
$$a_{6}=a_{3}\cdot q^3$$
Podstawiając do powyższego wzoru dane z treści zadania otrzymamy:
$$\frac{1}{16}=\frac{1}{2}\cdot q^3 \quad\bigg/\cdot2$$
$$q^3=\frac{1}{8}$$
$$q=\frac{1}{2}$$
Krok 2. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
Patrząc się na odpowiedzi widzimy, że szukamy wartości drugiego wyrazu. Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego wiemy, że:
$$a_{3}=a_{2}\cdot q$$
Skoro \(a_{3}=\frac{1}{2}\) oraz \(q=\frac{1}{2}\), to:
$$\frac{1}{2}=a_{2}\cdot\frac{1}{2} \quad\bigg/\cdot2$$
$$a_{2}=1$$
Zadanie nr 32 · Próbny 2019
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-4\). Jeśli pierwszą i drugą liczbę powiększymy o \(3\), a trzecią powiększymy o \(4\), to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz liczby tworzące ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.
Krok 1. Zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wynika, że różnica ciągu arytmetycznego jest równa \(r=-4\). Skoro tak, to możemy zapisać, że:
Pierwszy wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}\)
Drugi wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}-4\)
Trzeci wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}-2\cdot4=a_{1}-8\)
Krok 2. Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego.
Zgodnie z treścią zadania możemy zapisać, że:
Pierwszy wyraz ciągu geom.: \(a_{1}+3\)
Drugi wyraz ciągu geom.: \(a_{1}-4+3=a_{1}-1\)
Trzeci wyraz ciągu geom.: \(a_{1}-8+4=a_{1}-4\)
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
W ciągu geometrycznym dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając zapisane przed chwilą wyrazy ciągu geometrycznego otrzymamy:
$$(a_{1}-1)^2=(a_{1}+3)\cdot(a_{1}-4)$$
$${a_{1}}^2-2a_{1}+1^2={a_{1}}^2-4a_{1}+3a_{1}-12$$
$$-2a_{1}+1=-a_{1}-12$$
$$-a_{1}=-13$$
$$a_{1}=13$$
Krok 4. Obliczenie wartości wyrazów ciągu arytmetycznego oraz geometrycznego.
Korzystając z oznaczeń, które zapisaliśmy sobie w pierwszym i drugim kroku otrzymamy:
Pierwszy wyraz ciągu arytm.: \(13\)
Drugi wyraz ciągu arytm.: \(13-4=9\)
Trzeci wyraz ciągu arytm.: \(13-8=5\)
Pierwszy wyraz ciągu geom.: \(13+3=16\)
Drugi wyraz ciągu geom.: \(13-1=12\)
Trzeci wyraz ciągu geom.: \(13-4=9\)
Możemy więc powiedzieć, że ciąg arytmetyczny tworzą liczby \(13,9,5\), a ciąg geometryczny tworzą liczby \(16,12,9\).
Zadanie nr 30 · Matura 2019
W ciągu geometrycznym przez \(S_{n}\) oznaczamy sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych \(n\ge1\). Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: \(S_{1}=2\) i \(S_{2}=12\). Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu.
\(S_{1}\) to suma pierwszego wyrazu, czyli tak naprawdę jest to wartość \(a_{1}\). Możemy więc od razu zapisać, że \(a_{1}=2\).
\(S_{2}\) to suma dwóch pierwszych wyrazów, czyli \(a_{1}+a_{2}\). Wartość \(a_{1}\) już znamy i jest to \(2\), zatem:
$$a_{1}+a_{2}=12$$
$$2+a_{2}=12$$
$$a_{2}=10$$
Krok 2. Obliczenie iloczynu tego ciągu.
Skoro znamy wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{2}\) to bez problemu możemy wyznaczyć wartość ilorazu \(q\):
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{10}{2}$$
$$q=5$$
Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu.
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze wyznaczyć wartość piątego wyrazu. Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$
$$a_{5}=a_{1}\cdot q^{5-1}$$
$$a_{5}=a_{1}\cdot q^{4}$$
Podstawiając znane nam dane, czyli \(a_{1}=2\) oraz \(q=5\) otrzymamy:
$$a_{5}=2\cdot5^4$$
$$a_{5}=2\cdot625$$
$$a_{5}=1250$$
Zadanie nr 12 · Matura 2019
Dany jest ciąg geometryczny \(a_{n}\) , określony dla \(n\ge1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy:
A\(\frac{1}{3}\)
B\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
C\(3\)
D\(\sqrt{3}\)
Do zadania możemy podejść na wiele różnych sposobów (dojdziemy nawet do poprawnej odpowiedzi, kiedy założymy sobie że trzeci wyraz jest równy \(9\), a piąty jest równy \(1\), choć w rzeczywistości tak wcale być nie musi).
Najlepszym sposobem będzie rozpisanie sobie lewej strony równania w ten sposób:
$$\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{3}\cdot q^2}{a_{3}}=q^2$$
Z treści zadania wynika, że to co nam wyszło musi być równe \(\frac{1}{9}\), zatem:
$$q^2=\frac{1}{9}$$
$$q=\frac{1}{3} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{3}$$
Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo gdyby \(q\) było ujemne to nasz ciąg nie miałby wszystkich wyrazów dodatnich. W związku z tym \(q=\frac{1}{3}\).
Zadanie nr 4 · Matura 2019
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony w następujący sposób: \(a_1=\frac{3}{5}\) oraz \(a_{n+1}=\frac{2}{3}\cdot a_n\) dla \(n\ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
A\(\frac{5}{3}\)
B\(\frac{10}{9}\)
C\(\frac{9}{10}\)
D\(\frac{9}{5}\)
Z rekurencyjnego wzoru odczytujemy iloraz ciągu:
\(q=\frac{2}{3}\), \(\;a_1=\frac{3}{5}\)
Ponieważ \(|q|=\frac{2}{3}\lt 1\), szereg jest zbieżny:
Wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla $n\ge1$, spełniają układ równań $$\begin{cases}a_3+a_6=-84\a_4+a_7=168\end{cases}$$ Wyznacz liczbę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, których suma $S_n$ jest równa $32769$.
Krok 1. Wyznaczenie ilorazu. Zauważmy, że $a_4=a_3q$ oraz $a_7=a_6q$, więc
$$a_4+a_7=q\left(a_3+a_6\right).$$
Podstawiamy dane:
$$168=q\cdot(-84)\ \Longrightarrow\ q=-2.$$
Krok 2. Wyznaczenie $a_3$. Ponieważ $a_6=a_3q^{3}$:
Ponieważ $32768=2^{15}$, a wynik ma być ujemny, wykładnik musi być nieparzysty:
$$(-2)^{n}=-2^{15}\ \Longrightarrow\ n=15.$$
Sprawdzenie: $(-2)^{15}=-32768$, więc $S_{15}=1-(-32768)=32769$ ✓
Odpowiedź: $n=15$
Zadanie nr 14 · Matura 2018
Dla pewnej liczby \(x\) ciąg \((x, x+4, 16)\) jest geometryczny. Liczba \(x\) jest równa:
A\(8\)
B\(4\)
C\(2\)
D\(0\)
Krok 1. Zapisanie równania.
Między trzema sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając poszczególne wyrazy do tego wzoru otrzymamy:
$$(x+4)^2=x\cdot16$$
$$x^2+8x+16=16x$$
$$x^2-8x+16=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Jeżeli dość sprawnie posługujemy się wzorami skróconego mnożenia, to możemy zauważyć że \(x^2-8x+16\) jest równe tak naprawdę \((x-4)^2\). Otrzymanie takiej postaci pozwoliłoby nam bardzo szybko obliczyć rozwiązanie równania, bo otrzymalibyśmy wtedy:
$$(x-4)^2=0$$
$$x-4=0$$
$$x=4$$
Jeżeli jednak nie dostrzegliśmy tutaj wzoru skróconego mnożenia, to nie pozostaje nam nic innego jak obliczenie delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=16\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=64-64=0$$
Delta wyszła równa zero, zatem otrzymamy tylko jedno rozwiązanie:
$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-8)}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4$$
Zadanie nr 13 · Próbny 2018
Czwarty wyraz ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich stanowi \(0,64\) drugiego wyrazu tego ciągu. Wskaż iloraz tego ciągu.
A\(\frac{3}{5}\)
B\(\frac{5}{3}\)
C\(\frac{4}{5}\)
D\(\frac{5}{4}\)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Oznaczmy sobie drugi wyraz jako \(x\) oraz czwarty wyraz jako \(0,64x\), czyli:
$$a_{2}=x$$
$$a_{4}=0,64x$$
Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Jak pomnożymy drugi wyraz ciągu przez \(q\) to otrzymamy trzeci wyraz, a jak jeszcze raz pomnożymy to przez \(q\) to otrzymamy wartość czwartego wyrazu, czyli zachodzi następująca równość:
$$a_{4}=a_{2}\cdot q\cdot q$$
$$a_{4}=a_{2}\cdot q^2$$
Skoro wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie to na pewno \(q\) nie może być ujemne. Zostaje nam więc jedynie \(q=0,8\), czyli \(q=\frac{4}{5}\).
Zadanie nr 31 · Próbny 2018
Na ściankach symetrycznej dwunastościennej kostki do gry zapisano liczby \(1, 2, 3,..., 12\) (jak na rysunku). Rzucamy tą kostką trzy razy i zapisujemy wyrzucone liczby w kolejności otrzymywania, tworząc ciąg trójwyrazowy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że utworzymy w ten sposób ciąg geometryczny o ilorazie całkowitym. Uwaga. Ciąg stały jest ciągiem geometrycznym.
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy trzykrotnie dwunastościenną kostką. W każdym rzucie możemy otrzymać jeden z dwunastu wyników, zatem wszystkich zdarzeń elementarnych zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć:
$$|Ω|=12\cdot12\cdot12=1728$$
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wylosowane liczby utworzą ciąg geometryczny, czyli przykładowo takimi zdarzeniami mogą być \(2,4,8\) lub też \(1,3,9\). Musimy wypisać wszystkie możliwe warianty. Warto tutaj zwrócić uwagę, że iloraz \(q\) w takich ciągach musi być liczbą naturalną. Jakbyśmy mieli \(q\) w postaci liczby niecałkowitej (np. w postaci ułamka typu \(\frac{1}{2}\)) to w ciągu będą pojawiać nam się liczby niecałkowite, a takich na kości nie mamy. Najprościej będzie wypisać wszystkie warianty w następujący sposób:
Gdy \(q=1\):
\((1,1,1), (2,2,2), (3,3,3),..., (12,12,12)\)
Mamy więc tutaj \(12\) takich zdarzeń.
Gdy \(q=2\):
\((1,2,4), (2,4,8), (3,6,12)\)
Mamy więc tutaj \(3\) takie zdarzenia.
Gdy \(q=3\):
\((1,3,9)\)
Mamy więc tutaj \(1\) takie zdarzenie.
Łącznie zdarzeń sprzyjających mamy zatem:
$$|A|=12+3+1=16$$
Obserwowana w laboratorium populacja bakterii podwaja swoją liczebność co \(20\) minut. Początkowa liczba bakterii wynosiła \(K\) sztuk. Oznacza to, że po upływie \(n\) godzin liczebność populacji wyniesie:
A\(K\cdot2^{3n}\)
B\(K\cdot6^n\)
C\(K^{3n}\)
D\(K\cdot3n\)
Najlepiej będzie rozpisać sobie poszczególne fazy rozrostu populacji bakterii:
• Na początku mamy \(K\) bakterii.
• Po upływie \(1\) okresu (czyli po \(20\) minutach) mamy \(K\cdot2\) bakterii.
• Po upływie \(2\) okresów (czyli po \(40\) minutach) mamy \(K\cdot2\cdot2=K\cdot2^2\) bakterii.
• Po upływie \(3\) okresów (czyli po \(60\) minutach) mamy \(K\cdot2\cdot2\cdot2=K\cdot2^3\) bakterii.
Rozpisując to w ten sposób powinniśmy dostrzec, że:
• Po jednej godzinie mamy \(K\cdot2^3\) bakterii.
• Po dwóch godzinach mielibyśmy \(K\cdot2^6\) bakterii.
• Po trzech godzinach mielibyśmy \(K\cdot2^9\) bakterii.
• Po czterech godzinach mielibyśmy \(K\cdot2^{12}\) bakterii.
I tu już powinniśmy zauważyć, że po \(n\) godzinach mielibyśmy \(K\cdot2^{3n}\) bakterii.
Zadanie nr 32 · Próbny 2018
Dany jest skończony, pięciowyrazowy ciąg \((4a-5;\;a;\;b;\;b+2;\;9)\). Trzy pierwsze wyrazy tego ciągu są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a trzy ostatnie są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(a\) i \(b\).
Krok 1. Zapisanie równań wynikających z własności ciągów.
Dla trzech następujących po sobie wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi następująca zależność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Skoro trzy pierwsze wyrazy, czyli \(4a-5;\;a;\;b\), są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to korzystając z powyższej własności otrzymamy równanie:
$$a=\frac{4a-5+b}{2}$$
Dla trzech następujących po sobie wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Skoro trzy ostatnie wyrazy, czyli \(b;\;b+2;\;9\), są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to korzystając z powyższej własności otrzymamy równanie:
$$(b+2)^2=b\cdot9$$
$$b^2+4b+4=9b$$
$$b^2-5b+4=0$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(b\).
Z zależności wynikającej z własności ciągów geometrycznych otrzymaliśmy równanie kwadratowe \(b^2-5b+4=0\). Rozwiązaniem tego równania będzie nasza niewiadoma \(b\). Skoro tak, to rozwiążmy to równanie, wykorzystując niezawodną deltę:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot4=25-16=9$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$
Wyszło nam więc, że są dwie możliwości \(b=1\) oraz \(b=4\) i żadnej z nich nie możemy wykluczyć. Obydwie otrzymane odpowiedzi są jak najbardziej prawidłowe.
Krok 3. Obliczenie wartości \(a\).
W pierwszym kroku korzystając z własności ciągów arytmetycznych otrzymaliśmy równanie \(a=\frac{4a-5+b}{2}\). Skoro znamy już wartość \(b\), to możemy teraz obliczyć wartość \(a\). Z racji tego, że otrzymaliśmy dwa warianty naszej liczby \(b\), to musimy to uwzględnić przy wyznaczaniu wartości \(a\):
Jeżeli \(b=1\), to:
$$a=\frac{4a-5+b}{2}$$
$$a=\frac{4a-5+1}{2}$$
$$a=\frac{4a-4}{2}$$
$$2a=4a-4$$
$$-2a=-4$$
$$a=2$$
Jeżeli \(b=4\), to:
$$a=\frac{4a-5+b}{2}$$
$$a=\frac{4a-5+4}{2}$$
$$a=\frac{4a-1}{2}$$
$$2a=4a-1$$
$$-2a=-1$$
$$a=\frac{1}{2}$$
I tu ponownie, żadnego rozwiązania nie możemy wykluczyć. To z kolei oznacza, że to zadanie ma dwa rozwiązania: \(a=2, b=1\) lub też \(a=\frac{1}{2}, b=4\).
Zadanie nr 13 · Matura 2018
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_{n})\) określonego dla \(n\ge1\) są dodatnie i \(3a_{2}=2a_{3}\). Stąd wynika, że iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:
A\(q=\frac{2}{3}\)
B\(q=\frac{3}{2}\)
C\(q=6\)
D\(q=5\)
Wiedząc, że \(q=\frac{a_{3}}{a_{2}}\) możemy równanie z treści zadania rozpisać w następujący sposób:
$$3a_{2}=2a_{3} \quad\bigg/:a_{2}$$
$$3=\frac{2a_{3}}{a_{2}} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2}$$
$$\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{3}{2}$$
$$q=\frac{3}{2}$$
Zadanie nr 13 · Matura 2018
Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_{1}=\sqrt{2}\), \(a_{2}=2\sqrt{2}\), \(a_{3}=4\sqrt{2}\). Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu ma postać:
A\(a_{n}=(\sqrt{2})^n\)
B\(a_{n}=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)
C\(a_{n}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n\)
D\(a_{n}=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Iloraz ciągu geometrycznego obliczymy dzieląc np. wartość drugiego wyrazu przez wartość pierwszego wyrazu:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$
$$q=2$$
Krok 2. Zapisanie wzoru ciągu geometrycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\) możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$
$$a_{n}=\sqrt{2}\cdot2^{n-1}$$
$$a_{n}=\sqrt{2}\cdot2^{n}\cdot2^{-1}$$
$$a_{n}=\sqrt{2}\cdot2^{n}\cdot\frac{1}{2}$$
$$a_{n}=\frac{\sqrt{2}\cdot2^{n}}{2}$$
Niestety takiego wzoru w odpowiedziach nie mamy, dlatego musimy doprowadzić ten zapis do innej postaci. Widzimy, że w liczniku powinniśmy mieć \(2^n\) i taka sytuacja jest tylko w odpowiedzi B. Aby osiągnąć taki zapis jak w tej odpowiedzi musimy wykonać dość nietypowe (bo prowadzące do pierwiastka w mianowniku) mnożenie licznika i mianownika przez \(\sqrt{2}\).
$$a_{n}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot2^{n}}{2\cdot\sqrt{2}}$$
$$a_{n}=\frac{2\cdot2^{n}}{2\cdot\sqrt{2}}$$
$$a_{n}=\frac{2^{n}}{\sqrt{2}}$$
Zadanie nr 10 · Matura 2018
Dany jest rosnący ciąg geometryczny \(\left(a,aq,aq^2\right)\), którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o \(4\), to otrzymamy ciąg arytmetyczny.
Oblicz wyraz \(aq\) tego ciągu.
Krok 1. Warunek ciągu arytmetycznego.
Ciąg jest rosnący, więc największym wyrazem jest \(aq^2\). Po zmniejszeniu go o \(4\) ciąg \(\left(a,\;aq,\;aq^2-4\right)\) ma być arytmetyczny:
\(2aq=a+\left(aq^2-4\right)\)
Krok 2. Przekształcenie do postaci iloczynowej.
\(aq^2-2aq+a=4\)
\(a\left(q^2-2q+1\right)=4\)
\(a(q-1)^2=4\)
Krok 3. Wykorzystanie nieparzystości.
Liczba \(a\) jest nieparzysta i całkowita oraz jest dzielnikiem liczby \(4\), zatem \(a=1\) (wartość \(a=-1\) odpada, bo wtedy \((q-1)^2=-4\lt 0\)).
Dla \(q=-1\) ciąg \((1,-1,1)\) nie jest rosnący — odrzucamy. Pozostaje \(q=3\).
Sprawdzenie: ciąg \((1,3,9)\) — wszystkie wyrazy i iloraz nieparzyste, ciąg rosnący ✓; po zmniejszeniu \(9\) o \(4\) otrzymujemy \((1,3,5)\) — ciąg arytmetyczny ✓
Odpowiedź: \(aq=3\)
Zadanie nr 14 · Matura 2017
Liczby $a$, $b$, $c$ są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa $27$. Ciąg $(a-2,\ b,\ 2c+1)$ jest geometryczny. Wyznacz liczby $a$, $b$, $c$.
Krok 1. Wykorzystanie ciągu arytmetycznego. Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego środkowy jest średnią skrajnych:
Ciąg arytmetyczny $\frac{31}{2},\,9,\,\frac52$ ma różnicę $-\frac{13}{2}$, suma wynosi $27$ ✓. Ciąg geometryczny to $\left(\frac{27}{2},\,9,\,6\right)$ o ilorazie $\frac23$ ✓
Oba rozwiązania spełniają wszystkie warunki zadania.
Odpowiedź: $a=5,\ b=9,\ c=13$ lub $a=\frac{31}{2},\ b=9,\ c=\frac{5}{2}$
Zadanie nr 12 · Matura 2017
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: \((81, 3x, 4)\). Stąd wynika, że:
A\(x=18\)
B\(x=6\)
C\(x=\frac{85}{6}\)
D\(x=\frac{6}{85}\)
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Z racji tego iż ciąg ma mieć wyrazy dodatnie, to zostaje nam \(x=6\).
Zadanie nr 8 · Próbny 2017
Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach różnych od \(0\). Suma siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa \(0\). Oznacza to, że suma tysiąca początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(1000a_{1}\)
B\(1001a_{1}\)
C\(10\)
D\(0\)
Krok 1. Ustalenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Z treści zadania wynika, że:
$$a_{7}+a_{8}=0$$
$$a_{8}=-a_{7}$$
Teraz musimy się zastanowić co z tego wynika. Skoro ósmy wyraz ma być równy \(-a_{7}\) to znaczy, że ósmy wyraz powstał po pomnożeniu \(a_{7}\) przez \(-1\). Czyli z tego wniosek jest taki, że w tym ciągu \(q=-1\).
Krok 2. Obliczenie sumy tysiąca początkowych wyrazów.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{1000}=a_{1}\cdot\frac{1-(-1)^{1000}}{1-(-1)}$$
$$S_{1000}=a_{1}\cdot\frac{1-1}{1+1}$$
$$S_{1000}=a_{1}\cdot\frac{0}{2}$$
$$S_{1000}=a_{1}\cdot0$$
$$S_{1000}=0$$
Zadanie nr 28 · Próbny 2017
Wykaż, że jeśli liczby \((3^a,3^b,3^c)\) tworzą ciąg geometryczny, to liczby \((a,b,c)\) tworzą ciąg arytmetyczny.
Krok 1. Skorzystanie z własności trzech sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego.
Dla trzech sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając wyrazy z treści zadania otrzymamy:
$$(3^b)^2=3^a\cdot3^c$$
$$3^{2b}=3^{a+c}$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Otrzymaliśmy równanie w którym po lewej i prawej stronie znajduje się trójka w podstawie potęgi. Skoro tak, to możemy "skrócić" te trójki i zostaje nam proste równanie:
$$2b=a+c$$
$$b=\frac{a+c}{2}$$
Otrzymaliśmy informację, że \(b\) jest równe \(\frac{a+c}{2}\), czyli jest to dokładnie ta sama zależność, która charakteryzuje ciągi arytmetyczne, bowiem w ciągach arytmetycznych dla trzech sąsiednich wyrazów zachodzi równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
$$b=\frac{a+c}{2}$$
To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za skończone.
Zadanie nr 14 · Matura 2017
Dany jest ciąg geometryczny \((x, 2x^2, 4x^3, 8)\) o wyrazach nieujemnych. Wtedy:
A\(x=0\)
B\(x=1\)
C\(x=2\)
D\(x=4\)
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych (niekoniecznie pierwszych) wyrazów zachodzi równanie:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawmy więc do tego trzy następujące po sobie wyrazy - najlepiej będzie wybrać wyraz drugi, trzeci i czwarty, bo ten czwarty jest znaną nam wartością liczbową. W związku z tym otrzymamy:
$${a_{3}}^2=a_{2}\cdot a_{4}$$
$$(4x^3)^2=2x^2\cdot8$$
$$16x^6=16x^2 \quad\bigg/:16x^2$$
$$x^4=1$$
$$x=1 \quad\lor\quad x=-1$$
Skoro ciąg ma mieć wyrazy nieujemne, to zostaje nam że \(x=1\).
Zadanie nr 13 · Matura 2017
Dany jest trójwyrazowy ciąg geometryczny \((24,\;6,\;a-1)\). Stąd wynika, że:
A\(a=\frac{5}{2}\)
B\(a=\frac{2}{5}\)
C\(a=\frac{3}{2}\)
D\(a=\frac{2}{3}\)
Zgodnie z własnościami ciągu geometrycznego między trzema kolejnymi wyrazami ciągu zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
$$6^2=24\cdot(a-1)$$
$$36=24a-24$$
$$60=24a$$
$$a=\frac{60}{24}=\frac{5}{2}$$
Zadanie nr 5 · Matura 2017
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(\frac{1}{4}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A\(\frac{3}{7}\)
B\(\frac{1}{7}\)
C\(\frac{7}{3}\)
D\(7\)
Krok 1. Zapisanie warunków.
\(q=3a_1\) oraz \(S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{4}\)
Krok 2. Równanie z jedną niewiadomą.
\(\frac{a_1}{1-3a_1}=\frac{1}{4}\)
\(4a_1=1-3a_1\)
\(7a_1=1\Rightarrow a_1=\frac{1}{7}\)
Krok 3. Sprawdzenie warunku zbieżności.
\(q=3\cdot\frac{1}{7}=\frac{3}{7}\), a \(\left|\frac{3}{7}\right|\lt 1\) ✓
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 10 · Matura 2017
Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((b_n)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz \(a_1\) ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego \((b_n)\). Wyrazy ciągu \((a_n)\) są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(124\). Natomiast pierwszy wyraz \(b_1\) ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego \((a_n)\). Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego \((b_n)\) jest równa \(18\).
Wyznacz te ciągi.
Krok 1. Oznaczenia.
Niech \(q=a_1\) będzie ilorazem ciągu geometrycznego, a \(r=b_1\) — różnicą ciągu arytmetycznego.
Krok 2. Układ równań.
Suma ośmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
\(S_8=\frac{2a_1+7r}{2}\cdot 8=8q+28r=124\), czyli \(2q+7r=31\)
Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego:
\(b_1+b_2=r+rq=r(1+q)=18\)
Krok 3. Rozwiązanie układu.
Z drugiego równania \(q=\frac{18}{r}-1\). Podstawiamy do pierwszego:
\(2\left(\frac{18}{r}-1\right)+7r=31\)
\(\frac{36}{r}+7r=33\)
\(7r^2-33r+36=0\)
\(\Delta=1089-1008=81\), \(\;\sqrt{\Delta}=9\)
\(r=\frac{33-9}{14}=\frac{12}{7}\) lub \(r=\frac{33+9}{14}=3\)
Krok 4. Wybór rozwiązania.
Wyrazy ciągu \((a_n)\) mają być liczbami całkowitymi, więc różnica \(r\) musi być całkowita. Odrzucamy \(r=\frac{12}{7}\).
Dla \(r=3\): \(q=\frac{18}{3}-1=5\), czyli \(a_1=5\).
Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony wzorem $$a_n=\left(\frac{1}{2x-371}\right)^{n}\qquad\text{dla } n\ge1.$$ Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą $x$, dla której nieskończony szereg $a_1+a_2+a_3+\ldots$ jest zbieżny.
Krok 1. Rozpoznanie ilorazu. Oznaczmy
$$q=\frac{1}{2x-371}.$$
Wtedy $a_n=q^{n}$, czyli ciąg jest geometryczny o pierwszym wyrazie $a_1=q$ i ilorazie $q$.
Krok 2. Warunek dodatniości wyrazów. Wszystkie wyrazy mają być dodatnie, więc
Krok 3. Warunek zbieżności szeregu. Szereg geometryczny jest zbieżny dokładnie wtedy, gdy $|q|\lt 1$. Ponieważ $q>0$, warunek upraszcza się do $q\lt 1$:
$$\frac{1}{2x-371}\lt 1.$$
Mianownik jest dodatni, więc możemy pomnożyć obie strony przez niego bez zmiany znaku:
Sprawdzenie: dla $x=187$ mamy $2x-371=3$, czyli $q=\frac13\in(0,1)$ — szereg zbieżny ✓. Dla $x=186$ otrzymalibyśmy $q=1$ i szereg $1+1+1+\ldots$, który jest rozbieżny ✓
Odpowiedź: $x=187$
Zadanie nr 8 · Matura 2016
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(8\), a czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(-216\). Iloraz tego ciągu jest równy:
A\(-\frac{224}{3}\)
B\(-3\)
C\(-9\)
D\(-27\)
Iloraz \(q\) wyznaczymy sobie z następującego wzoru:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$
Znamy czwarty wyraz ciągu, znamy też pierwszy, więc wystarczy podstawić te wszystkie dane do powyższego wzoru:
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1}$$
$$-216=8\cdot q^3$$
$$q^3=-27$$
$$q=-3$$
Zadanie nr 30 · Próbny 2016
Na rysunku pokazano ciąg kwadratów. Każdy następny kwadrat ma z poprzednim wspólny tylko jeden wierzchołek i dwa razy większą niż on długość boku. Wiedząc, że czwarty kwadrat ma bok długości \(8\), oblicz długość łamanej narysowanej pogrubioną linią, ograniczającą kwadraty od pierwszego do dziesiątego.
Krok 1. Dostrzeżenie ciągu geometrycznego.
Patrząc się na opisaną sytuację powinniśmy dostrzec, że długości boków kolejnych kwadratów układają się w ciąg geometryczny w którym \(a_{4}=8\) (bo czwarty kwadrat ma długość boku równą \(8\)) oraz \(q=2\) (bo każdy kolejny kwadrat jest dwukrotnie większy).
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Za chwilę do naszych obliczeń będziemy potrzebować wartości pierwszego wyrazu, zatem już teraz możemy ją wyznaczyć. Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego otrzymamy, że:
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^3$$
Skoro \(a_{4}=8\) oraz \(q=2\), to:
$$8=a_{1}\cdot 2^3$$
$$8=a_{1}\cdot8$$
$$a_{1}=1$$
Krok 3. Obliczenie długości poszukiwanej łamanej.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
Jest jednak pewne zastrzeżenie, które musimy sobie zrobić i to jest chyba główna pułapka w tym zadaniu. Jak podstawimy sobie do powyższego wzoru \(n=10\) to otrzymamy tak naprawdę informację o tym jaka jest suma długości pojedynczych boków pierwszych dziesięciu kwadratów (czyli tak na chłopski rozum dowiemy się ile to jest \(1+2+4+8+...\)). Tymczasem na naszą łamaną składają się aż trzy boki każdego kwadratu, zatem nas interesowałoby poznanie długości \(1+1+1+2+2+2+4+4+4+8+8+8...\) Z tego też względu długość naszej łamanej (oznaczmy ją sobie jako \(L\)) będzie trzykrotnie dłuższa od obliczonego \(S_{10}\). Całość możemy rozpisać następująco:
$$L=3\cdot S_{10}$$
$$L=3\cdot a_{1}\cdot\frac{1-q^{10}}{1-q}$$
$$L=3\cdot1\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2}$$
$$L=3\cdot1\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2}$$
$$L=3\cdot\frac{1-1024}{-1}$$
$$L=3\cdot1023$$
$$L=3069$$
Zadanie nr 19 · Próbny 2016
Ciąg \((a,2,c)\) jest geometryczny. Iloczyn wyrazów tego ciągu jest równy:
A\(8\)
B\(27\)
C\(64\)
D\(120\)
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy:
$$2^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
$$a_{1}\cdot a_{3}=4$$
Naszym zadaniem jest obliczenie ile jest równe \(a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\). Skoro \(a_{2}=2\) oraz \(a_{1}\cdot a_{3}=4\), to znaczy że:
$$a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}=a_{2}\cdot a_{1}\cdot a_{3}=2\cdot4=8$$
Zadanie nr 34 · Próbny 2016
Ciąg \((x-3,x,y)\) jest ciągiem arytmetycznym. Ciąg \((x,y,2y)\) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego oraz wyrazy ciągu geometrycznego.
Krok 1. Ułożenie równań z własności ciągów arytmetycznych i geometrycznych.
Korzystając z własności ciągów arytmetycznych możemy zapisać, że:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
$$x=\frac{x-3+y}{2}$$
$$2x=x-3+y$$
$$x=-3+y$$
Korzystając z własności ciągów geometrycznych możemy zapisać, że:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
$$y^2=x\cdot2y$$
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Z naszych dwóch równań możemy ułożyć układ równań:
$$\begin{cases} x=-3+y \\ y^2=x\cdot2y \end{cases}$$
Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$y^2=(-3+y)\cdot2y$$
$$y^2=-6y+2y^2$$
$$y^2-6y=0$$
$$y(y-6)=0$$
$$y=0 \quad\lor\quad y=6$$
Rozwiązanie \(y=0\) musimy jednak odrzucić, bo zgodnie z warunkiem zadania ciąg geometryczny ma mieć dodatnie wyrazy, a gdy \(y=0\) to ciąg ma na pewno drugi i trzeci wyraz równy \(0\). Zostaje nam więc \(y=6\).
Teraz musimy dokończyć rozwiązywanie układu równań i wyznaczyć wartość iksa. Podstawiając \(y=6\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$x=-3+y$$
$$x=-3+6$$
$$x=3$$
Krok 3. Zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
Pozostała nam już tylko formalność, czyli zapisanie wyrazów obydwu ciągów. Podstawiając \(x=3\) oraz \(y=6\) otrzymamy:
Ciąg arytmetyczny \((x-3,x,y) \Rightarrow (0, 3, 6)\)
Ciąg geometryczny \((x,y,2y) \Rightarrow (3, 6, 12)\)
Zadanie nr 12 · Matura 2016
Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), w którym \(a_{1}=72\) i \(a_{4}=9\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:
A\(q=\frac{1}{2}\)
B\(q=\frac{1}{6}\)
C\(q=\frac{1}{4}\)
D\(q=\frac{1}{8}\)
Aby obliczyć iloraz \(q\) posłużymy się wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$
Skoro znamy wartość pierwszego i czwartego wyrazu, to podstawmy te informacje do powyższego wzoru, wyznaczając w ten sposób iloraz \(q\).
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1}$$
$$9=72\cdot q^3$$
$$q^3=\frac{9}{72}$$
$$q^3=\frac{1}{8}$$
$$q=\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 15 · Matura 2016
Ciąg \((x,\;2x+3,\;4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A\(-4\)
B\(1\)
C\(0\)
D\(-1\)
Skorzystamy tutaj ze wzoru na środkowy wyraz ciągu geometrycznego:
$${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$$
$${a_{2}}^2=a_{2-1}\cdot a_{2+1}$$
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
$$(2x+3)^2=x\cdot(4x+3)$$
$$4x^2+12x+9=4x^2+3x$$
$$9x+9=0$$
$$9x=-9$$
$$x=-1$$
Skoro nasz pierwszy wyraz jest równy \(x\) to znaczy że jego wartość wynosi dokładnie \(-1\).
Zadanie nr 6 · Matura 2016
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla \(n\ge 1\), w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(12\).
Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Podaj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.
Krok 1. Równanie.
Z warunku \(q=a_1\) oraz ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego zbieżnego:
\(\frac{a_1}{1-a_1}=12\)
Krok 2. Rozwiązanie.
\(a_1=12-12a_1\)
\(13a_1=12\)
\(a_1=\frac{12}{13}\)
Krok 3. Sprawdzenie warunku zbieżności.
\(|q|=\frac{12}{13}\lt 1\) ✓
Krok 4. Rozwinięcie dziesiętne.
\(\frac{12}{13}=0{,}923076\ldots\)
Odpowiedź: \(9\), \(2\), \(3\)
Zadanie nr 32 · Matura 2015
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) o różnicy \(r\neq0\) i pierwszym wyrazie \(a_{1}=2\). Pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.
Krok 1. Zapisanie kilku początkowych wyrazów ciagu arytmetycznego i geometrycznego.
Skoro pierwszy wyraz jest równy \(2\), to nasz ciąg przy różnicy \(r\) będzie wyglądał następująco:
$$2,\;2+r,\;2+2r,\;2+3r...$$
Z treści zadania wynika, że pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu arytmetycznego tworzą ciąg geometryczny, czyli nasz ciąg geometryczny wyglądać będzie w ten sposób:
$$2,\;2+r,\;2+3r$$
Krok 2. Obliczenie wartości różnicy ciągu arytmetycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając do tego równania odpowiednie wyrazy otrzymamy:
$$(2+r)^2=2\cdot(2+3r)$$
$$4+4r+r^2=4+6r$$
$$r^2-2r=0$$
$$r(r-2)=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r-2=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r=2$$
Z założeń z treści zadania wynika, że \(r\neq0\). W związku z tym jedynym interesującym nas rozwiązaniem jest \(r=2\).
Krok 3. Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego.
Nasz ciąg geometryczny ma postać:
$$2,\;2+r,\;2+3r$$
Skoro \(r=2\), to znaczy że nasz ciąg geometryczny wygląda następująco:
$$2,\;4,\;8$$
Krok 4. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Iloraz ciągu geometrycznego obliczymy w następujący sposób:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{4}{2}$$
$$q=2$$
Zadanie nr 13 · Próbny 2015
Dany jest nieskończony ciąg \((a_{n})\), w którym \(a_{1}=4^{10}\), a każdy następny wyraz jest dwukrotnie mniejszy od poprzedniego. Wtedy wyraz \(a_{15}\) jest równy:
A\(32\)
B\(64\)
C\(\frac{4^{10}}{15}\)
D\(8^{-4}\)
Krok 1. Ustalenie wartości ilorazu ciągu geometrycznego.
Skoro każdy następny wyraz ma być dwa razy mniejszy od poprzedniego, to mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym w którym \(q=\frac{1}{2}\).
Krok 2. Wyznaczenie wartości \(a_{15}\).
Wiedząc, że \(a_{1}=4^{10}\) oraz \(q=\frac{1}{2}\) możemy skorzystać ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$
$$a_{15}=4^{10}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{15-1}$$
$$a_{15}=4^{10}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{14}$$
$$a_{15}=\left(2^2\right)^{10}\cdot\left(2^{-1}\right)^{14}$$
$$a_{15}=2^{20}\cdot2^{-14}$$
$$a_{15}=2^{6}$$
$$a_{15}=64$$
Zadanie nr 13 · Matura 2015
Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2^n\) dla \(n\ge1\). Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(2(1-2^{10})\)
B\(-2(1-2^{10})\)
C\(2(1+2^{10})\)
D\(-2(1+2^{10})\)
Krok 1. Obliczenie wartości ilorazu \(q\).
Aby wyznaczyć wartość ilorazu \(q\) obliczmy sobie najpierw wartość pierwszego i drugiego wyrazu tego ciągu:
$$a_{n}=2n$$
$$a_{1}=2^1=2$$
$$a_{2}=2^2=4$$
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{2}=2$$
Krok 2. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Znając wartość ilorazu \(q\) oraz wartość pierwszego wyrazu, możemy skorzystać z następującego wzoru:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2}$$
$$S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{-1}$$
$$S_{10}=-2\cdot(1-2^{10})$$
Zadanie nr 32 · Matura 2015
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), dla \(n\ge1\) taki, że \(a_{5}=18\). Wyrazy \(a_{1}\), \(a_{3}\) oraz \(a_{13}\) tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_{n})\).
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy tutaj z informacji, która mówi nam że piąty wyraz tego ciągu jest równy \(18\). Dzięki niej spróbujemy zapisać jaka relacja zachodzi między pierwszym wyrazem ciągu i różnicą \(r\).
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{5}=a_{1}+(5-1)r$$
$$18=a_{1}+4r$$
$$a_{1}=18-4r$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości trzeciego i trzynastego wyrazu.
Pod wzory ogólne na trzeci i trzynasty wyraz możemy teraz podstawić \(a_{1}=18-4r\), otrzymując w ten sposób:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
$$a_{3}=18-4r+2r$$
$$a_{3}=18-2r$$
$$\text{oraz}$$
$$a_{13}=a_{1}+12r$$
$$a_{13}=18-4r+12r$$
$$a_{13}=18+8r$$
W ten sposób pozbyliśmy się we wzorach wartości \(a_{1}\) i dalej będziemy mogli tworzyć równania już tylko z jedną niewiadomą - czyli z różnicą \(r\).
Krok 3. Wyznaczenie wartości różnicy (\(r\)).
Skoro wyrazy \(a_{1}\), \(a_{3}\) oraz \(a_{13}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to relację między ich wartościami możemy zapisać jako:
$$\require{cancel}
{a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{13}$$
$$(18-2r)^2=(18-4r)\cdot(18+8r)$$
$$\cancel{324}-\cancel{72r}+4r^2=\cancel{324}+144r-\cancel{72r}-32r^2$$
$$36r^2-144r=0$$
Krok 4. Obliczenie powstałego równania kwadratowego i wyznaczenie różnicy ciągu.
Możemy to równanie obliczyć tradycyjną metodą delty (pamiętaj tylko, że w tym przypadku współczynnik \(c=0\)). Możemy też zapisać to równanie w postaci iloczynowej, bo jest ona akurat dość prosta (o ile ją zauważymy):
$$36r^2-144r=0$$
$$36r(r-4)=0$$
$$36r=0 \quad\lor\quad r-4=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r=4$$
I tu musimy się zastanowić, czy przypadkiem któregoś wyniku nie musimy odrzucić. Nasz ciąg arytmetyczny musi być rosnący, a to z kolei oznacza, że \(r\gt0\). Ta informacja sprawia, że rozwiązanie \(r=0\) odrzucamy i zostaje nam \(r=4\).
Krok 5. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Skoro już znamy wartość różnicy, to możemy wrócić do naszego pierwszego wyrazu i obliczyć jego wartość. Przyda nam się ona do zapisania wzoru ogólnego na \(n\)-ty ciąg wyrazu.
$$a_{1}=18-4r$$
$$a_{1}=18-4\cdot4$$
$$a_{1}=18-16$$
$$a_{1}=2$$
Ciąg \(x+35, x-10, x+20\) jest geometryczny. Stąd wynika, że:
A\(x=-8\)
B\(x=-1\)
C\(x=5\)
D\(x=15\)
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając pod to równanie dane z treści zadania otrzymamy:
$$(x-10)^2=(x+35)\cdot(x+20)$$
$$x^2-20x+100=x^2+20x+35x+700$$
$$-20x+100=55x+700$$
$$-75x=600$$
$$x=-8$$
Zadanie nr 13 · Matura 2015
W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), spełniony jest warunek \(a_{4}=3a_{1}\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:
A\(q=\frac{1}{3}\)
B\(q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
C\(q=\sqrt[3]{3}\)
D\(q=3\)
Wartość dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego możemy zapisać jako \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Czwarty wyraz ciągu jest więc równy \(a_{4}=a_{1}\cdot q^{3}\). Ta informacja w połączeniu z zależnością \(a_{4}=3a_{1}\) z treści zadania pozwoli nam ułożyć proste równanie:
$$a_{1}\cdot q^{3}=3a_{1} \quad |:a_{1}$$
$$q^3=3$$
$$q=\sqrt[3]{3}$$
Zadanie nr 34 · Matura 2015
W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa \(12\). Wyrazy \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) ciągu \((a_{n})\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_{n})\). Oblicz \(k\).
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i stworzenie z nich układu równań.
Na początek zajmijmy się ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania wynika, że:
\begin{cases} S_{11}=187 \\ \frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{3}=12 \end{cases}
Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) wiemy, że:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
$$a_{9}=a_{1}+8r$$
$$a_{11}=a_{1}+10r$$
Podstawiając te wszystkie przekształcenia do układu równań otrzymamy:
\begin{cases} 11a_{1}+55r=187 \\ \frac{a_{1}+a_{1}+2r+a_{1}+8r}{3}=12 \end{cases}\begin{cases} 11a_{1}+55r=187 \quad\bigg/:11 \\ \frac{3a_{1}+10r}{3}=12 \quad\bigg/\cdot3 \end{cases}\begin{cases} a_{1}+5r=17 \quad\bigg/\cdot(-3) \\ 3a_{1}+10r=36 \end{cases}\begin{cases} -3a_{1}-15r=-51 \\ 3a_{1}+10r=36 \end{cases}
Dzięki pomnożeniu przez \(-3\) możemy teraz dodać oba równania stronami i pozbyć się niewiadomej \(a_{1}\). Oczywiście dobrą metodą na rozwiązanie tego równania byłoby też podstawienie do drugiego równania \(a_{1}=17-5r\). Po dodaniu równań stronami otrzymamy:
$$-5r=-15$$
$$r=3$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego i trzeciego wyrazu.
Podstawiając \(r=3\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$3a_{1}+10r=36$$
$$3a_{1}+10\cdot3=36$$
$$3a_{1}=6$$
$$a_{1}=2$$
Obliczmy jeszcze wartość trzeciego wyrazu tego ciągu (przyda nam się podczas wykonywania działań na ciągu geometrycznym).
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
$$a_{3}=2+2\cdot3$$
$$a_{3}=8$$
Krok 5. Obliczenie wartości \(k\).
Skoro \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) to trzy kolejne wyrazu ciągu geometrycznego, to zajdzie między nimi relacja:
$${a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k}$$
$$8^2=2\cdot(3k-1)$$
$$64=6k-2$$
$$66=6k$$
$$k=11$$
Zadanie nr 12 · Matura 2015
W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), spełniony jest warunek \(a_{4}=3a_{1}\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:
A\(q=\frac{1}{3}\)
B\(q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
C\(q=\sqrt[3]{3}\)
D\(q=3\)
Wartość dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego możemy zapisać jako \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Czwarty wyraz ciągu jest więc równy \(a_{4}=a_{1}\cdot q^{3}\). Ta informacja w połączeniu z zależnością \(a_{4}=3a_{1}\) z treści zadania pozwoli nam ułożyć proste równanie:
$$a_{1}\cdot q^{3}=3a_{1} \quad |:a_{1}$$
$$q^3=3$$
$$q=\sqrt[3]{3}$$
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
