Wzory: Geometria analityczna

Długość odcinka, środek odcinka, odległość punktu od prostej, równanie okręgu, wektory i symetrie w układzie współrzędnych.

7 wzorów szkoła średnia: 5rozszerzenie: 2

\[S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)\]

Współrzędne środka to średnie współrzędnych końców.

Przykład: $A(2,6)$, $B(8,-2)$: $S=(5,2)$.

\[|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]

Odległość dwóch punktów na płaszczyźnie.

Przykład: $A(-1,1)$, $B(5,9)$: $|AB|=\sqrt{36+64}=10$.

\[d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]

Odległość punktu $(x_0,y_0)$ od prostej $Ax+By+C=0$.

Przykład: $P(1,2)$ i $3x+4y-1=0$: $d=\frac{|3+8-1|}{5}=2$.

\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]

Okrąg o środku $S(a,b)$ i promieniu $r$.

Przykład: $(x-2)^2+(y+1)^2=9$: środek $(2,-1)$, $r=3$.

\[x^2+y^2-2ax-2by+c=0,\quad r=\sqrt{a^2+b^2-c}\]

Środek $(a,b)$ odczytujemy ze współczynników przy $x$ i $y$.

Przykład: $x^2+y^2-4x+6y-3=0$: $S(2,-3)$, $r=\sqrt{4+9+3}=4$.

\[\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A],\qquad |\vec v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\]

Współrzędne wektora to różnica współrzędnych końca i początku.

Przykład: $A(1,1)$, $B(4,5)$: $\overrightarrow{AB}=[3,4]$, długość $5$.

\[S_{Ox}(x,y)=(x,-y),\quad S_{Oy}(x,y)=(-x,y),\quad S_O(x,y)=(-x,-y)\]

Obrazy punktu w symetrii względem osi i początku układu.

Przykład: $P(3,-2)$: względem $Ox$ — $(3,2)$, względem $O$ — $(-3,2)$.

Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje