Wzory: Logarytmy

Definicja logarytmu i jego własności: logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi oraz zmiana podstawy — wzory z maturalnymi przykładami.

7 wzorów szkoła średnia: 6rozszerzenie: 1

\[\log_a b=c\iff a^c=b,\quad a>0,\ a\neq1,\ b>0\]

Logarytm to wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść podstawę $a$, aby otrzymać $b$.

Przykład: $\log_2 32=5$, bo $2^5=32$; $\log_3\frac{1}{9}=-2$.

\[\log_a(x\cdot y)=\log_a x+\log_a y\]

Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów.

Przykład: $\log_6 4+\log_6 9=\log_6 36=2$.

\[\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y\]

Logarytm ilorazu jest różnicą logarytmów.

Przykład: $\log_3 54-\log_3 2=\log_3 27=3$.

\[\log_a x^{k}=k\cdot\log_a x\]

Wykładnik potęgi wyciągamy przed logarytm.

Przykład: $\log_2 8^{5}=5\cdot\log_2 8=15$.

\[\log_a 1=0,\qquad \log_a a=1,\qquad a^{\log_a b}=b\]

Przydatne przy upraszczaniu wyrażeń.

Przykład: $\log_7 1=0$, $5^{\log_5 9}=9$.

\[\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\]

Pozwala przejść do dowolnej, wygodnej podstawy (np. 10).

Przykład: $\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac{3}{2}$.

\[\log x=\log_{10}x\]

Logarytm o podstawie 10 zapisujemy bez podstawy.

Przykład: $\log 1000=3$, $\log 0{,}01=-2$.

Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje