Wzory: Podzielność, NWD i NWW Cechy podzielności liczb, największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność oraz dzielenie z resztą — z przykładami do szkoły podstawowej i liceum.
5 wzorów
szkoła podstawowa: 3 szkoła średnia: 2 Wszystkie
Szkoła podstawowa Szkoła średnia
Cechy podzielności SP · szkoła podstawowa \[2\mid n,\ 5\mid n,\ 10\mid n:\ \text{ostatnia cyfra};\quad 3\mid n,\ 9\mid n:\ \text{suma cyfr}\]
Przez 2, 5 i 10 sprawdzamy ostatnią cyfrę, przez 3 i 9 — sumę cyfr, przez 4 — liczbę z dwóch ostatnich cyfr.
Przykład: $738$: suma cyfr $7+3+8=18$, więc $738$ dzieli się przez 3 i przez 9.
Związek NWD i NWW SP · szkoła podstawowa \[\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b\]
Iloczyn największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb naturalnych równa się iloczynowi tych liczb.
Przykład: $\mathrm{NWD}(12,18)=6$, więc $\mathrm{NWW}(12,18)=\frac{12\cdot18}{6}=36$.
NWD i NWW z rozkładu na czynniki SP · szkoła podstawowa \[\mathrm{NWD}:\ \text{wspólne czynniki w najmniejszych potęgach};\ \mathrm{NWW}:\ \text{wszystkie czynniki w największych potęgach}\]
Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze i wybieramy odpowiednie potęgi.
Przykład: $60=2^2\cdot3\cdot5,\ 90=2\cdot3^2\cdot5$: $\mathrm{NWD}=2\cdot3\cdot5=30$, $\mathrm{NWW}=2^2\cdot3^2\cdot5=180$.
Dzielenie z resztą LO · szkoła średnia \[a=b\cdot q+r,\quad 0\le r<b\]
Każdą liczbę całkowitą $a$ można przedstawić jako wielokrotność $b$ powiększoną o resztę mniejszą od $b$.
Przykład: $47=6\cdot 7+5$, więc przy dzieleniu 47 przez 6 iloraz to 7, a reszta 5.
Liczba parzysta i nieparzysta LO · szkoła średnia \[n=2k\ \ (\text{parzysta}),\qquad n=2k+1\ \ (\text{nieparzysta}),\ k\in\mathbb{Z}\]
Zapis przydatny w dowodach podzielności.
Przykład: Suma dwóch nieparzystych: $(2k+1)+(2m+1)=2(k+m+1)$ — parzysta.