Wzory: Ciągi liczbowe

Ciąg arytmetyczny i geometryczny: wyraz ogólny, suma n początkowych wyrazów, własności trzech kolejnych wyrazów oraz szereg geometryczny.

7 wzorów szkoła średnia: 6rozszerzenie: 1

\[a_n=a_1+(n-1)\cdot r\]

Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie różnicy $r$.

Przykład: $a_1=3$, $r=4$: $a_{10}=3+9\cdot4=39$.

\[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\]

Średnia pierwszego i ostatniego wyrazu razy liczba wyrazów.

Przykład: Suma liczb od 1 do 100: $S_{100}=\frac{1+100}{2}\cdot100=5050$.

\[a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\]

Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów.

Przykład: $x$, $7$, $12$ tworzą ciąg arytmetyczny: $7=\frac{x+12}{2}$, więc $x=2$.

\[a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}\]

Każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez iloraz $q$.

Przykład: $a_1=2$, $q=3$: $a_5=2\cdot3^4=162$.

\[S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\ \ (q\neq1),\qquad S_n=n\cdot a_1\ \ (q=1)\]

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Przykład: $a_1=1$, $q=2$, $n=6$: $S_6=\frac{1-64}{1-2}=63$.

\[a_n^{\,2}=a_{n-1}\cdot a_{n+1}\]

Kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiadów.

Przykład: $4$, $x$, $9$ — ciąg geometryczny: $x^2=36$, $x=\pm6$.

\[S=\frac{a_1}{1-q},\quad |q|<1\]

Suma nieskończenie wielu wyrazów ciągu geometrycznego zbieżnego.

Przykład: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.

Tematy lekcji:Ciągi

Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje