Matematyka — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Wyraz o numerze $n$ oznaczamy $a_n$. Ciąg można zadać wzorem ogólnym (jawnym) albo rekurencyjnym.
Stała różnica $r$ między kolejnymi wyrazami:
$$a_n=a_1+(n-1)r$$
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
Własność charakterystyczna: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ — każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów.
Stały iloraz $q$ kolejnych wyrazów:
$$a_n=a_1q^{n-1}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\qquad(q\ne1)$$
Własność: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$.
Dla $|q|\lt 1$ suma nieskończenie wielu wyrazów jest skończona:
$$S=\frac{a_1}{1-q}$$
Przykład: $1+\frac12+\frac14+\ldots=\frac{1}{1-\frac12}=2$.
$$K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$
To bezpośrednie zastosowanie ciągu geometrycznego — kapitał rośnie geometrycznie.
We wzorze ogólnym ciągu arytmetycznego jest $(n-1)r$, a nie $nr$ — do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy. Wzór na sumę ciągu geometrycznego nie działa dla $q=1$ (dzielenie przez zero) — ten przypadek rozpatruj osobno. Przy szeregu najpierw sprawdź warunek $|q|\lt 1$.
$$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
$$S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$
Wzór na odległość to twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.
Postać kierunkowa $y=ax+b$ oraz ogólna $Ax+By+C=0$. Odległość punktu od prostej:
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
Wzór wymaga postaci ogólnej — prostą $y=2x+1$ trzeba najpierw przekształcić do $2x-y+1=0$.
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Środek $S=(a,b)$, promień $r$. Znaki w nawiasach są przeciwne do współrzędnych środka. Koło to nierówność $\le r^2$. Z postaci rozwiniętej środek i promień wyznaczamy przez uzupełnianie do kwadratu.
$$\vec{AB}=[x_2-x_1,\ y_2-y_1],\qquad |\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
$$\vec u\circ\vec v=u_1v_1+u_2v_2=|\vec u||\vec v|\cos\alpha$$
Iloczyn skalarny daje liczbę. Kluczowy wniosek: $\vec u\perp\vec v \iff \vec u\circ\vec v=0$.
Wektor $\vec{AB}$ to „koniec minus początek”. Jeśli po uzupełnieniu do kwadratu prawa strona równania okręgu wyjdzie ujemna, równanie nie opisuje żadnego okręgu.
$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
Pochodna mierzy chwilowe tempo zmian funkcji. Geometrycznie jest to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x_0$.
Równanie stycznej: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.
$$(c)'=0,\qquad (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac1x$$
$$(f\pm g)'=f'\pm g'$$
$$(fg)'=f'g+fg'$$
$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$$
$$\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
Pochodna drogi po czasie to prędkość, pochodna prędkości — przyspieszenie.
Sam warunek $f'(x_0)=0$ nie wystarcza — dla $f(x)=x^3$ mamy $f'(0)=0$, ale ekstremum nie ma (brak zmiany znaku). Pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych. Przy funkcji złożonej łatwo pominąć „pochodną wnętrza”. Szukając wartości najmniejszej i największej na przedziale domkniętym, sprawdź także końce przedziału.
$$180^\circ=\pi\ \text{rad},\qquad \alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\text{st}}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}$$
Najczęstsze: $30^\circ=\frac{\pi}{6}$, $45^\circ=\frac{\pi}{4}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $90^\circ=\frac{\pi}{2}$.
$$l=r\alpha,\qquad P_{\text{wycinka}}=\frac{1}{2}r^2\alpha \qquad(\alpha \text{ w radianach})$$
W I ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w II — tylko sinus, w III — tangens i cotangens, w IV — cosinus.
$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$$
$$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$
Przy kątach $90^\circ$ i $270^\circ$ funkcja zmienia się na kofunkcję (sin↔cos), przy $180^\circ$ i $360^\circ$ — pozostaje ta sama.
Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens i cotangens — okres $\pi$.
$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$
$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$
$$\sin x=a \Rightarrow x=\alpha+2k\pi \ \lor\ x=\pi-\alpha+2k\pi$$
$$\cos x=a \Rightarrow x=\pm\alpha+2k\pi,\qquad \operatorname{tg} x=a \Rightarrow x=\alpha+k\pi$$
We wzorach $l=r\alpha$ kąt musi być w radianach. Równanie $\sin x=a$ ma w każdym okresie dwa rozwiązania — pominięcie serii $\pi-\alpha$ to klasyczny błąd. W cosinusie znaki we wzorze na sumę są przeciwne niż w sinusie.
Średnia arytmetyczna:
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$
Mediana — wartość środkowa w uporządkowanym zestawie. Przy parzystej liczbie danych to średnia dwóch wyrazów środkowych.
Dominanta (moda) — wartość występująca najczęściej.
$$\bar{x}_w=\frac{\sum w_ix_i}{\sum w_i}$$
Stosujemy, gdy dane mają różną istotność (np. oceny o różnych wagach).
Wariancja i odchylenie standardowe:
$$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,\qquad \sigma=\sqrt{\sigma^2}$$
Odchylenie standardowe mówi, jak bardzo dane są rozproszone wokół średniej. Ma tę samą jednostkę co dane; wariancja — jednostkę kwadratową.
Rozstęp to różnica między największą a najmniejszą wartością.
Dane $2,4,4,6$: $\bar{x}=4$; odchylenia $-2,0,0,2$; $\sigma=\sqrt{\frac{4+0+0+4}{4}}=\sqrt{2}\approx1{,}41$.
Przed wyznaczeniem mediany dane trzeba uporządkować. Suma samych odchyleń od średniej zawsze wynosi zero — dlatego podnosimy je do kwadratu. Mediana bywa lepszą miarą niż średnia, gdy w danych są wartości skrajne.
Zapis $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g$ oznacza, że gdy argument zbliża się do $x_0$, wartości funkcji zbliżają się do $g$. Sama wartość $f(x_0)$ może przy tym nie istnieć.
Dla funkcji ciągłych wystarczy podstawić:
$$\lim_{x\to2}(3x+1)=7$$
Gdy podstawienie daje symbol nieoznaczony $\frac00$, przekształcamy wyrażenie — najczęściej przez rozkład na czynniki i skrócenie:
$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$$
Dla ilorazu wielomianów decyduje porównanie stopni:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{x^2-3}=2,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{3x+2}{x^2+1}=0$$
Funkcja jest ciągła w punkcie $x_0$, gdy spełnione są trzy warunki naraz: istnieje $f(x_0)$, istnieje granica w $x_0$, i te dwie wartości są równe.
Pionowa $x=a$ — gdy granica jednostronna w $a$ jest niewłaściwa (typowo tam, gdzie zeruje się mianownik). Pozioma $y=g$ — gdy $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=g$.
Symbol $\frac00$ nie oznacza, że granica nie istnieje — to sygnał, że wyrażenie wymaga przekształcenia. Granice jednostronne mogą się różnić; wtedy granica w punkcie nie istnieje, mimo że obie jednostronne są dobrze określone.
Pochodna mówi, jak nachylona jest styczna do wykresu — a więc czy funkcja rośnie, czy maleje:
Punkty, w których $f^{\prime}(x)=0$ lub pochodna nie istnieje, nazywamy krytycznymi. Tylko tam może wystąpić ekstremum lokalne.
Samo zerowanie pochodnej nie wystarcza. Ekstremum jest wtedy, gdy pochodna dodatkowo zmienia znak:
Klasyczny kontrprzykład: dla $f(x)=x^3$ mamy $f^{\prime}(x)=3x^2$, więc $f^{\prime}(0)=0$, ale pochodna jest dodatnia po obu stronach zera. Funkcja cały czas rośnie — ekstremum nie ma, jest tam punkt przegięcia.
Zbadajmy $f(x)=x^3-3x$. Pochodna:
$$f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$
Miejsca zerowe pochodnej: $x=-1$ i $x=1$. Znak pochodnej: dodatni dla $x\lt -1$, ujemny na $(-1,\,1)$, dodatni dla $x>1$.
Zatem w $x=-1$ jest maksimum lokalne $f(-1)=2$, a w $x=1$ minimum lokalne $f(1)=-2$.
Oprócz ekstremów lokalnych sprawdzamy zawsze końce przedziału — wartość największa może być właśnie tam.
Nie myl miejsca zerowego funkcji ($f(x)=0$) z miejscem zerowym pochodnej ($f^{\prime}(x)=0$) — to zupełnie różne rzeczy. Pamiętaj też, że wnioski o monotoniczności formułujemy dla przedziałów, a nie dla pojedynczych punktów.
Szukamy wartości największej lub najmniejszej pewnej wielkości — największego pola, najmniejszego kosztu, najkrótszej drogi — przy podanym warunku.
Prostokąt ma obwód $40$. Skoro $2a+2b=40$, to $b=20-a$, a pole wynosi:
$$P(a)=a(20-a)=-a^2+20a,\qquad a\in(0,\,20)$$
Pochodna $P^{\prime}(a)=-2a+20$ zeruje się dla $a=10$ i zmienia znak z $+$ na $-$, więc jest to maksimum:
$$P(10)=10\cdot10=100$$
Wniosek ogólny: spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma zawsze kwadrat.
Suma dwóch liczb dodatnich wynosi $12$. Iloczyn to $f(x)=x(12-x)=12x-x^2$. Pochodna $12-2x$ zeruje się dla $x=6$, więc obie liczby równe $6$ dają największy iloczyn $36$.
Walec o ustalonej objętości $V$ ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej, gdy:
$$h=2r$$
czyli gdy wysokość równa się średnicy podstawy.
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym zawsze osiąga wartość największą i najmniejszą. Dlatego przy przedziale domkniętym oprócz punktów krytycznych sprawdzamy też jego końce.
Największy błąd to pominięcie dziedziny — wzór matematyczny dopuszcza wartości bez sensu fizycznego, np. ujemny bok. Drugi błąd to zatrzymanie się na wartości zmiennej: zadanie zwykle pyta o pole, koszt lub wymiary, więc na końcu trzeba wrócić do treści i policzyć to, o co naprawdę pytano.
Wektor o początku $A=(x_A,\,y_A)$ i końcu $B=(x_B,\,y_B)$ ma współrzędne:
$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$$
Od końca odejmujemy początek. Odwrotna kolejność daje wektor przeciwny $\vec{BA}$.
$$|\vec{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}$$
Przykład: dla $\vec{u}=[4,\,2]$ mamy $|\vec{u}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$.
$$\vec{u}+\vec{v}=[u_x+v_x,\ u_y+v_y],\qquad k\vec{u}=[k\,u_x,\ k\,u_y]$$
Mnożenie przez liczbę $k>0$ zmienia tylko długość, a $k\lt 0$ dodatkowo odwraca zwrot.
$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha$$
Wynikiem jest liczba, nie wektor.
Znak iloczynu skalarnego od razu mówi, jaki jest kąt:
Sam kąt wyznaczamy ze wzoru:
$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$$
Wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego, co sprawdzamy warunkiem:
$$u_x v_y-u_y v_x=0$$
Nie myl iloczynu skalarnego z mnożeniem współrzędnych „po kolei” — wynikiem jest liczba, którą otrzymujemy przez dodanie iloczynów. Pamiętaj też, że wektor to nie punkt: ten sam wektor może zaczynać się w dowolnym miejscu układu, bo liczy się tylko kierunek, zwrot i długość.
Okrąg o środku $S=(a,\,b)$ i promieniu $r$ opisuje równanie:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Dla środka w początku układu upraszcza się ono do $x^2+y^2=r^2$.
Uwaga na znaki: w równaniu $(x-2)^2+(y+3)^2=25$ mamy $(y+3)=(y-(-3))$, więc:
$$S=(2,\,-3),\qquad r=\sqrt{25}=5$$
Po prawej stronie stoi kwadrat promienia — to najczęstsze źródło pomyłek.
Podstawiamy współrzędne punktu do lewej strony równania i porównujemy z $r^2$:
Równoważnie: porównujemy odległość punktu od środka z promieniem.
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
To twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.
Dla prostej w postaci ogólnej $Ax+By+C=0$ i punktu $P=(x_0,\,y_0)$:
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
Przykład: odległość punktu $(3,\,4)$ od prostej $3x+4y-10=0$ wynosi $\frac{|9+16-10|}{\sqrt{9+16}}=\frac{15}{5}=3$.
Porównujemy odległość $d$ środka okręgu od prostej z promieniem $r$:
Wzoru na odległość punktu od prostej wolno użyć dopiero wtedy, gdy prosta jest zapisana w postaci ogólnej (z zerem po prawej stronie). Równanie $y=2x+1$ trzeba najpierw przekształcić do $2x-y+1=0$.
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (x,\,-y)$$
Zmienia się znak drugiej współrzędnej. Punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(4,\,2)$.
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,y)$$
Zmienia się znak pierwszej współrzędnej. Punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(-4,\,-2)$.
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,-y)$$
To symetria środkowa o środku $(0,\,0)$ — zmieniają się obie współrzędne.
Dla środka $S=(a,\,b)$ obrazem punktu $P=(x,\,y)$ jest:
$$P^{\prime}=(2a-x,\ 2b-y)$$
Wynika to z faktu, że $S$ jest środkiem odcinka $PP^{\prime}$.
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (y,\,x)$$
Współrzędne zamieniają się miejscami — tak właśnie powstaje wykres funkcji odwrotnej.
Łatwo pomylić, która współrzędna zmienia znak. Zapamiętaj tak: symetria względem osi OX „odbija w pionie”, więc rusza $y$; symetria względem osi OY „odbija w poziomie”, więc rusza $x$. Posiadanie osi symetrii nie oznacza posiadania środka symetrii — trójkąt równoboczny jest dobrym kontrprzykładem.
Granica $\lim_{x\to x_0}f(x)$ opisuje, do jakiej wartości zbliżają się wartości funkcji, gdy argument zbliża się do $x_0$. Sama wartość $f(x_0)$ nie ma tu znaczenia — funkcja nie musi być nawet w tym punkcie określona.
Dla wielomianów i innych funkcji ciągłych granicę liczymy przez zwykłe podstawienie:
$$\lim_{x\to 2}(3x+1)=7$$
Gdy podstawienie daje $\frac00$, trzeba przekształcić wyrażenie:
Przykład: $\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$. Skracanie jest dozwolone, bo $x$ tylko dąży do $3$, nigdy nie jest mu równe.
Porównujemy stopnie licznika i mianownika:
Przykład: $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+5}{x^2-1}=3$.
Granica obustronna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie jednostronne istnieją i są równe. Dla $f(x)=\frac1x$ mamy $\lim_{x\to0^{+}}=+\infty$, a $\lim_{x\to0^{-}}=-\infty$, więc granica w zerze nie istnieje.
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$
Wymaga trzech rzeczy naraz: istnienia $f(x_0)$, istnienia granicy i ich równości.
Asymptota pozioma i ukośna wykluczają się wzajemnie.
Zerowanie mianownika samo w sobie nie gwarantuje asymptoty pionowej — jeśli licznik też się zeruje, może dojść do skrócenia i powstanie tylko „dziura” w wykresie (nieciągłość usuwalna). Zawsze sprawdzaj licznik.
$$\sin 30^\circ=\tfrac12,\quad \sin 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2},\quad \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$$
$$\cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2},\quad \cos 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2},\quad \cos 60^\circ=\tfrac12$$
$$\tg 30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3},\quad \tg 45^\circ=1,\quad \tg 60^\circ=\sqrt3$$
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$
Zachodzi dla dowolnego kąta. Pozwala policzyć jedną funkcję ze znajomości drugiej, ale daje tylko wartość bezwzględną — znak rozstrzyga informacja o ćwiartce.
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad 1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$$
Schemat: wyznacz wartość funkcji, znajdź kąt podstawowy, a potem wszystkie kąty w zadanym przedziale.
Równanie $2\sin x=1$ w przedziale $\langle 0^\circ,\,360^\circ)$. Z $\sin x=\frac12$ mamy kąt podstawowy $30^\circ$, a drugie rozwiązanie to $180^\circ-30^\circ=150^\circ$.
$$180^\circ=\pi,\qquad \text{stopnie}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\text{radiany}$$
Warto pamiętać: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$, $\frac{\pi}{4}=45^\circ$, $\frac{\pi}{3}=60^\circ$, $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens $\pi$. Dlatego równanie trygonometryczne ma na całej osi nieskończenie wiele rozwiązań — zadanie zwykle ogranicza je do przedziału.
Najczęstszy błąd to podanie tylko jednego rozwiązania. Na pełnym okręgu równanie z sinusem lub cosinusem ma zwykle dwa rozwiązania — sprawdź obie ćwiartki, w których dana funkcja ma właściwy znak.
$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$$
Od końca odejmujemy początek. Wektor $\vec{BA}$ ma te same liczby ze zmienionym znakiem — to wektor przeciwny.
$$\vec{u}\pm\vec{v}=[u_1\pm v_1,\ u_2\pm v_2],\qquad k\vec{u}=[ku_1,\ ku_2]$$
Mnożenie przez liczbę dodatnią zmienia długość, zachowując kierunek i zwrot. Liczba ujemna dodatkowo odwraca zwrot.
$$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
To twierdzenie Pitagorasa w przebraniu.
$$\vec{e}=\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}$$
Dla $\vec{u}=[3,-4]$ długość wynosi $5$, więc $\vec{e}=\left[\frac35,-\frac45\right]$. Sprawdzenie: $\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=1$ ✔
$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$$
Wynikiem jest liczba, nie wektor — to pierwsza rzecz do zapamiętania.
Długości są zawsze dodatnie, więc o znaku decyduje wyłącznie $\cos\alpha$.
$$\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$$
$$\vec{u}\parallel\vec{v} \iff \vec{v}=k\vec{u} \ \text{dla pewnego } k$$
Przykład: $[3,\,4]$ i $[-8,\,6]$ są prostopadłe, bo $-24+24=0$. Natomiast $[2,\,6]$ i $[1,\,3]$ są równoległe, bo pierwszy to podwojony drugi.
$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$
Dla $[1,\,\sqrt3]$ i $[\sqrt3,\,1]$: iloczyn to $2\sqrt3$, obie długości po $2$, więc $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ i $\alpha=30^\circ$.
$$\vec{u}\circ\vec{u}=|\vec{u}|^2$$
Bo kąt wektora z samym sobą wynosi $0^\circ$, a $\cos0^\circ=1$.
Przesunięcie punktu: do współrzędnych punktu dodajemy współrzędne wektora.
Czwarty wierzchołek równoległoboku $ABCD$: korzystamy z $\vec{AD}=\vec{BC}$.
Kąt prosty w trójkącie: wystarczy pokazać, że iloczyn skalarny dwóch boków wychodzących z wierzchołka wynosi zero.
Nie myl iloczynu skalarnego z mnożeniem współrzędnych „po parach” dającym wektor — wynik jest liczbą. Przy wyznaczaniu wektora z dwóch punktów zawsze odejmuj początek od końca, nie odwrotnie.
Znak pochodnej mówi, jak zachowuje się funkcja:
Zerowanie się pochodnej to za mało. Ekstremum jest tam, gdzie pochodna zmienia znak:
Kontrprzykład: $f(x)=x^3$ ma $f'(0)=0$, ale pochodna $3x^2$ jest dodatnia po obu stronach zera — nie ma tam ekstremum, tylko punkt przegięcia.
Porównujemy wartości funkcji w punktach krytycznych oraz na końcach przedziału. Ekstremum globalne może wypaść na brzegu, gdzie pochodna wcale nie musi się zerować.
Przykład: $f(x)=x^2-4x+1$ na $\langle0,\,3\rangle$. Punkt krytyczny $x=2$, a wartości to $f(0)=1$, $f(2)=-3$, $f(3)=-2$. Najmniejsza $-3$, największa $1$.
Kroki czwarty i siódmy są równie ważne jak rachunek — najwięcej punktów przepada na pominiętej dziedzinie i na odpowiedzi „obok pytania”.
Z kwadratu o boku $12$ wycinamy rogi o boku $x$ i zaginamy. Wtedy $V(x)=x(12-2x)^2$ dla $x\in(0,\,6)$. Pochodna $12(x-2)(x-6)$ zeruje się w $x=2$ (drugi pierwiastek odpada — poza dziedziną). Maksymalna objętość to $128$.
$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Pochodna w punkcie to współczynnik kierunkowy stycznej — to jej interpretacja geometryczna.
Dziedzina z sensu zadania potrafi odrzucić pierwiastek, który formalnie wychodzi z rachunku. Sprawdzaj też, czy wynik jest sensowny fizycznie: ujemny bok albo objętość większa od materiału wyjściowego sygnalizują błąd.
Arytmetyczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$.
Geometryczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$.
$$a_n=a_1+(n-1)r \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1} \qquad\text{(geometryczny)}$$
W obu wzorach występuje $n-1$, a nie $n$ — od pierwszego do $n$-tego wyrazu wykonujemy $n-1$ kroków.
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{q^{\,n}-1}{q-1} \qquad\text{(geometryczny, } q\neq1)$$
Pierwszy wzór to po prostu liczba wyrazów razy ich średnia — parujemy pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim, a każda para daje tę samą sumę.
$$b=\frac{a+c}{2} \ \text{(arytm.)},\qquad b=\sqrt{ac} \ \text{(geom., dodatnie)}$$
To średnia arytmetyczna i średnia geometryczna. W zadaniu „liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg” odpowiedź zależy od rodzaju ciągu: $14{,}5$ albo $10$.
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy ich suma to $3a$, bez $r$.
Dla geometrycznego: $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$ — iloczyn to $a^3$, bez $q$.
Te podstawienia zamieniają układ dwóch równań w jedno.
Ciąg arytmetyczny rośnie, gdy $r>0$, maleje, gdy $r\lt 0$. Pierwszy wyraz nie ma znaczenia.
Ciąg dany wzorem $a_n=pn+q$ jest arytmetyczny o różnicy $p$.
$$S=\frac{a_1}{1-q} \qquad\text{dla } |q|\lt 1$$
Warunek dotyczy modułu ilorazu. Dla $q=-5$ mamy $q\lt 1$, ale szereg jest rozbieżny.
Przykład: $8+4+2+1+\dots=\frac{8}{1-\frac12}=16$.
$$K_n=K_0(1+p)^n$$
To ciąg geometryczny o ilorazie $1+p$. Przy kapitalizacji częstszej niż roczna dzielimy stopę i mnożymy liczbę okresów:
$$K=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{mn}$$
Dla $5000$ zł na $12\%$ z kapitalizacją kwartalną po roku mamy $5000\cdot1{,}03^4\approx5627{,}54$ zł — o $27{,}54$ zł więcej niż przy rocznej.
Ten sam wzór z $q\lt 1$ opisuje amortyzację. Samochód tracący $15\%$ rocznie po trzech latach wart jest $0{,}85^3\approx61{,}4\%$ ceny początkowej — a nie $55\%$.
Nie myl wykładnika $n$ z $n-1$. Sprawdzaj warunek $|q|\lt 1$ przed użyciem wzoru na sumę szeregu. I pamiętaj, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem.
$$\sin x=0 \Rightarrow x=k\pi$$
$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$
$$\operatorname{tg}x=0 \Rightarrow x=k\pi$$
gdzie $k\in\mathbb{Z}$.
Sinus i cosinus mieszczą się w $\langle-1,\ 1\rangle$. Równania $\sin x=2$ czy $\cos x=-3$ nie mają rozwiązań — warto to sprawdzić na samym początku.
Dla wartości z wnętrza przedziału $(-1,\ 1)$ sinus i cosinus dają zwykle dwa rozwiązania w każdym okresie. Znajdujemy kąt podstawowy i drugą wartość z odpowiedniej ćwiartki.
Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens — $\pi$. Dlatego $\operatorname{tg}x=1$ daje rozwiązania odległe o $\pi$: $\frac{\pi}{4}$ i $\frac{5\pi}{4}$.
Równania typu $2\sin^2x+\sin x-1=0$ rozwiązujemy przez podstawienie $t=\sin x$, gdzie $t\in\langle-1,\ 1\rangle$. Pierwiastki spoza tego przedziału odrzucamy.
W równaniu $\cos2x=\frac12$ podstawiamy $u=2x$. Gdy $x\in\langle0,\ 2\pi)$, to $u\in\langle0,\ 4\pi)$ — przedział dwukrotnie dłuższy, więc rozwiązań jest więcej.
Równanie $\sin x\cos x=0$ rozwiązujemy, przyrównując każdy czynnik do zera. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik znika.
Uwzględniaj oba znaki przy $\cos^2x=\frac14$. Pilnuj przedziału, w którym szukasz rozwiązań, i pamiętaj o różnych okresach funkcji.
Miara łukowa to stosunek długości łuku do promienia — wielkość bezwymiarowa. Pełny kąt to $2\pi$ radianów:
$$360^\circ=2\pi,\qquad 180^\circ=\pi$$
$$\text{stopnie}\to\text{radiany}:\ \cdot\frac{\pi}{180^\circ},\qquad \text{radiany}\to\text{stopnie}:\ \cdot\frac{180^\circ}{\pi}$$
Warto znać: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$, $\frac{\pi}{4}=45^\circ$, $\frac{\pi}{3}=60^\circ$, $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
$$l=r\alpha,\qquad P=\frac12 r^2\alpha$$
Wzory działają tylko dla kątów w radianach — to główny powód wprowadzenia miary łukowej.
Funkcja jest okresowa o okresie $T$, gdy $f(x+T)=f(x)$. Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens — $\pi$. Dla $y=\sin(bx)$ okres to $\frac{2\pi}{|b|}$.
Cosinus jest parzysty ($\cos(-x)=\cos x$, wykres symetryczny względem osi $OY$), a sinus nieparzysty ($\sin(-x)=-\sin x$, symetryczny względem początku układu).
Wzory $l=r\alpha$ i $P=\frac12 r^2\alpha$ wymagają radianów. Najmniejszy okres dodatni charakteryzuje funkcję — wielokrotności okresu też są okresami.
Pochodna $f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x_0$. Równanie stycznej:
$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Pochodna drogi po czasie to prędkość chwilowa, a pochodna prędkości — przyspieszenie:
$$v(t)=s'(t),\qquad a(t)=v'(t)$$
$$(x^n)'=nx^{n-1},\qquad (c)'=0,\qquad (cx)'=c$$
Pochodną wielomianu liczymy wyraz po wyrazie.
$$f'>0 \Rightarrow \text{funkcja rośnie},\qquad f'\lt 0 \Rightarrow \text{maleje}$$
Gdy $f'(x_0)=0$, styczna jest pozioma — to kandydat na ekstremum.
Chwile zatrzymania ciała znajdujemy z warunku $v(t)=0$. Wierzchołek paraboli to punkt, w którym pochodna się zeruje.
Pochodna to nachylenie, nie wartość funkcji. Pochodna stałej wynosi zero — nie przepisujemy wyrazu wolnego do wyniku.
$$(f+g)'=f'+g',\qquad (cf)'=cf'$$
$$(fg)'=f'g+fg' \quad\text{(iloczyn)}$$
Pochodna sumy to suma pochodnych, ale pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych — trzeba użyć pełnego wzoru.
$$\bigl[f(g(x))\bigr]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
Pochodna funkcji zewnętrznej (w punkcie funkcji wewnętrznej) razy pochodna funkcji wewnętrznej. Najczęstszy błąd to pominięcie tego drugiego czynnika.
$$\bigl[(2x+1)^3\bigr]'=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2$$
$$\bigl[\sin(3x)\bigr]'=\cos(3x)\cdot3=3\cos(3x)$$
$$\bigl[(x^2+1)^5\bigr]'=5(x^2+1)^4\cdot2x=10x(x^2+1)^4$$
$\left(\sin^2 x\right)'=2\sin x\cos x$ — to funkcja złożona ($u^2$ z $u=\sin x$), nie mylić z pochodną iloczynu.
Dla prostych iloczynów (np. $(x+1)(x-3)$) często szybciej wymnożyć i różniczkować wyraz po wyrazie niż stosować wzór na iloczyn.
W regule łańcuchowej nie zapomnij o pochodnej „wnętrza". Rozróżniaj $\cos(x^2)$ (funkcja złożona) od $\cos^2 x$ (kwadrat funkcji).
Ciąg zadany rekurencyjnie ma podany pierwszy wyraz i regułę wyznaczania następnego: $a_1=c$, $a_{n+1}=f(a_n)$.
$a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+2$ daje $1,3,5,7,\ldots$
$a_1=a_2=1$, $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$.
Aby obliczyć daleki wyraz, trzeba wyznaczyć wyrazy pośrednie.
Ciąg jest rosnący, gdy $a_{n+1}>a_n$ dla każdego $n$, i malejący, gdy $a_{n+1}\lt a_n$.
Wyznaczamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$ lub ilorazu $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ (dla wyrazów dodatnich).
$a_n=2n-1$ jest rosnący, bo $a_{n+1}-a_n=2>0$.
Gdy $a_{n+1}=a_n$ dla każdego $n$.
Ciąg rozbieżny nie ma skończonej granicy.
Np. $a_n=n$ dąży do $+\infty$.
Np. $a_n=(-1)^n$ przyjmuje na przemian $-1$ i $1$ — brak granicy.
Rozbieżność do $\pm\infty$ to granica niewłaściwa.
Ciąg jest zbieżny do $g$, gdy jego wyrazy dowolnie zbliżają się do $g$ dla dużych $n$: $\lim_{n\to\infty} a_n=g$.
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$, $\lim_{n\to\infty} c=c$.
Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$.
$\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n}=2$.
Granica lewostronna $\lim_{x\to x_0^-}$ i prawostronna $\lim_{x\to x_0^+}$ opisują zachowanie funkcji z jednej strony punktu.
Granica (dwustronna) istnieje, gdy obie jednostronne są równe.
Dla $f(x)=\frac{1}{x}$ granice jednostronne w $0$ to $-\infty$ i $+\infty$ — różne.
Dla funkcji ciągłej granice jednostronne równają się $f(x_0)$.
Granica niewłaściwa to $+\infty$ lub $-\infty$, gdy funkcja rośnie lub maleje nieograniczenie.
Jeśli $\lim_{x\to x_0} f(x)=\pm\infty$, to prosta $x=x_0$ jest asymptotą pionową.
$\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty$.
Rozważamy też $\lim_{x\to\infty} f(x)$ — asymptoty poziome.
Dla kąta $\alpha$ punkt na okręgu ma współrzędne $(\cos\alpha,\sin\alpha)$.
I: wszystkie dodatnie; II: sin$+$; III: tg$+$; IV: cos$+$.
$\sin90^\circ=1$, $\cos180^\circ=-1$, $\sin270^\circ=-1$.
$\sin$ i $\cos$ mają okres $360^\circ$ ($2\pi$), $\operatorname{tg}$ okres $180^\circ$.
$\sin\alpha=\frac{a}{c}$, $\cos\alpha=\frac{b}{c}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}$.
$a$ — przyprostokątna przeciwległa, $b$ — przyległa, $c$ — przeciwprostokątna.
$\sin30^\circ=\frac12$, $\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$.
$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$.
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$.
Obliczanie wartości kątów $15^\circ$, $75^\circ$ oraz przekształcanie wyrażeń.
Różnica między największą a najmniejszą wartością.
Średnia kwadratów odchyleń od średniej: $\sigma^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2$.
$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$ — mierzy typowe odchylenie od średniej.
Porównywanie rozproszenia danych o tej samej średniej.
Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych; wartości $a_1,a_2,a_3,\ldots$ to wyrazy ciągu.
Wzorem ogólnym $a_n$, rekurencyjnie lub opisem.
$a_n$ pozwala obliczyć dowolny wyraz, np. $a_n=2n$ daje $a_5=10$.
To zbiór odizolowanych punktów $(n,a_n)$.
Każdy wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$: $a_{n+1}=a_n+r$.
$a_n=a_1+(n-1)r$.
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
Każdy wyraz (poza skrajnymi) to średnia sąsiadów: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.
Każdy wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$: $a_{n+1}=a_n\cdot q$.
$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.
$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$ dla $q\neq1$.
Kwadrat wyrazu to iloczyn sąsiadów: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$.
W ilorazach wielomianów dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$.
$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{n^2+n}=3$.
Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych to odpowiednie działania na granicach.
Dla $|q|\lt 1$ zachodzi $\lim_{n\to\infty} q^n=0$.
Dla funkcji ciągłej $\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$.
Wyrażenia typu $\frac{0}{0}$ przekształcamy (skracamy, rozkładamy na czynniki).
$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$.
Dla ilorazów wielomianów decyduje stosunek najwyższych potęg.
Kąt dodatni odmierzamy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, ujemny — zgodnie.
Różnią się o wielokrotność $360^\circ$ ($2\pi$).
$180^\circ=\pi$ rad; kąt pełny to $2\pi$.
$405^\circ$ jest współkońcowy z $45^\circ$.
$(x-a)^2+(y-b)^2\le r^2$ opisuje koło o środku $(a,b)$ i promieniu $r$.
Równość daje okrąg — brzeg koła.
Sprawdzamy, podstawiając współrzędne do nierówności.
$(0,0)$ należy do $x^2+y^2\le4$, bo $0\le4$.
$P=\frac{1}{2}\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|$.
Pole jest nieujemne, dlatego stosujemy moduł.
Gdy pole wychodzi $0$, punkty są współliniowe.
$(0,0),(4,0),(0,3)$ dają $P=6$.
Rozwiązujemy je, korzystając z okręgu jednostkowego lub wykresu funkcji.
$-1\le\sin x\le1$ oraz $-1\le\cos x\le1$.
$\sin x\ge\frac{1}{2}$ dla $x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]$ w jednym okresie.
Rozwiązania powtarzają się co okres funkcji.
Wartość środkowa uporządkowanego zbioru; dla parzystej liczby danych to średnia dwóch środkowych.
Wartość występująca najczęściej.
Dzielą uporządkowane dane na sto równych części; mediana to centyl $50$.
Opisują położenie danych, odporne na wartości skrajne (mediana).
Sinusoida; wartości z przedziału $[-1,1]$.
$T=2\pi$; $y=\sin(bx)$ ma okres $\frac{2\pi}{b}$.
$y=a\sin(x)+c$ zmienia amplitudę $a$ i przesuwa pionowo o $c$.
$\sin x=0$ dla $x=k\pi$; $\cos x=0$ dla $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$.
Tangens i cotangens mają okres $\pi$.
Tangens ma asymptoty pionowe w $\frac{\pi}{2}+k\pi$.
Cały zbiór liczb rzeczywistych.
Tangens rośnie w każdym przedziale między asymptotami.
Porównujemy odległość $d$ środka okręgu od prostej z promieniem $r$.
$d\lt r$ — prosta sieczna (dwa punkty), $d=r$ — styczna (jeden), $d>r$ — rozłączne.
Jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
Można też wstawić prostą do równania okręgu i badać liczbę rozwiązań.
Ciąg, którego wszystkie wyrazy są liczbami całkowitymi.
$a_n=2n-1$ (nieparzyste), $a_n=(-1)^n$ (naprzemienny).
Badamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$.
Modelowanie sytuacji o wartościach całkowitych (liczba obiektów).
W $y=a\sin x$ liczba $|a|$ to amplituda (rozciągnięcie pionowe).
W $y=\sin(bx)$ okres wynosi $\frac{2\pi}{|b|}$.
$y=\sin(x-p)+q$ przesuwa wykres o wektor $[p,q]$.
$y=-\sin x$ to odbicie względem osi $OX$.
To punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta.
$r=\frac{P}{p}$, gdzie $P$ to pole, a $p$ połowa obwodu.
Pole i boki liczymy ze współrzędnych wierzchołków.
Trójkąt $3,4,5$: $P=6$, $p=6$, więc $r=1$.
Badamy znak $a_{n+1}-a_n$: dodatni — rosnący, ujemny — malejący.
Dla wyrazów dodatnich porównujemy $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ z $1$.
Ciąg jest ograniczony, gdy istnieją stałe $m\le a_n\le M$.
Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Postać kierunkowa $y=ax+b$ i ogólna $Ax+By+C=0$.
Punkt od prostej: $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$; między punktami z twierdzenia Pitagorasa.
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Wzór wyznacznikowy ze współrzędnych wierzchołków.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Sprowadzają funkcje dowolnego kąta do kąta ostrego.
$\sin(\alpha\pm\beta)$, $\cos(\alpha\pm\beta)$ oraz wzory na kąt podwójny.
Rozwiązujemy z użyciem okręgu jednostkowego i okresowości.
Środek odcinka o końcach $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ to $S\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$.
Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców.
Dla $A(1,2)$, $B(5,4)$ środek to $(3,3)$.
Znajdowanie środka ciężkości, punktu symetrii.
$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$.
Suma danych to $n\cdot\bar{x}$.
Średnia jest czuła na wartości skrajne.
Średnia $2,4,9$ to $5$.
$\bar{x}=\frac{w_1 x_1+\ldots+w_n x_n}{w_1+\ldots+w_n}$.
$w_i$ to znaczenie (waga) danej wartości.
Średnia ważona ocen, gdzie sprawdziany mają większą wagę.
Przy równych wagach średnia ważona równa się arytmetycznej.
Podaje $a_n$ wprost, np. $a_n=2n+1$.
Pierwszy wyraz i reguła przejścia, np. $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+3$.
Np. „kolejne liczby pierwsze".
Przedstawienie pierwszych wyrazów.
Okres $T$ to czas jednego obiegu; częstotliwość $f=\frac{1}{T}$.
$\omega=\frac{2\pi}{T}$ (radiany na sekundę).
$l=r\alpha$ (kąt w radianach).
Modelowanie obrotów, zegarów, kół.
Wartości odczytujemy z tablic lub kalkulatora.
Dla kątów $30^\circ,45^\circ,60^\circ$ znamy wartości dokładne.
Wyniki podajemy z ustaloną dokładnością, np. do dwóch miejsc.
Obliczenia w zadaniach praktycznych i geometrii.
$y=f(x-p)+q$ przesuwa wykres $y=f(x)$ o wektor $[p,q]$.
$p>0$ w prawo, $p\lt 0$ w lewo.
$q>0$ w górę, $q\lt 0$ w dół.
$y=(x-2)^2+3$ to $y=x^2$ przesunięte o $[2,3]$.
$f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie.
$(x^n)'=nx^{n-1}$, pochodna sumy to suma pochodnych.
$f'(x)>0$ — funkcja rosnąca, $f'(x)\lt 0$ — malejąca.
W ekstremum $f'(x_0)=0$ i pochodna zmienia znak.
$a_n=a_1+(n-1)r$, $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
$a_n=a_1 q^{n-1}$, $S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$ dla $q\neq1$.
Wyraz środkowy to średnia (arytmetyczna lub geometryczna) sąsiadów.
Odsetki, spłaty, wzrost i rozpad.
Średnia, mediana, dominanta opisują typową wartość.
Rozstęp, wariancja $\sigma^2$, odchylenie standardowe $\sigma$.
$\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2}$.
Mniejsze odchylenie oznacza dane bardziej skupione wokół średniej.
Arytmetyczne, geometryczne, monotoniczne, ograniczone, rekurencyjne.
$a_n$ i $S_n$ dla ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
Ciąg zbieżny ma granicę skończoną; rozbieżny — nie.
Procent składany, spłaty rat, modele wzrostu.
Szereg geometryczny to suma wyrazów ciągu geometrycznego.
Dla $|q|\lt 1$ suma nieskończona wynosi $S=\frac{a_1}{1-q}$.
$1+\frac12+\frac14+\ldots=\frac{1}{1-\frac12}=2$.
Zamiana ułamka okresowego na zwykły, modele wygaszania.
$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Zamiana sumy na iloczyn ułatwia rozwiązywanie równań trygonometrycznych.
Co najmniej jedno równanie jest stopnia drugiego, np. parabola i prosta.
Podstawiamy jedną zmienną, otrzymując równanie kwadratowe.
Rozwiązania to współrzędne punktów przecięcia wykresów.
Zależy od wyróżnika: $0$, $1$ lub $2$ pary.
Funkcja jest ciągła, gdy jej wykres można narysować bez odrywania ołówka; granica w punkcie równa się wartości.
Funkcja ciągła na przedziale przyjmuje wszystkie wartości pośrednie.
Jeśli na krańcach przedziału wartości mają różne znaki, wewnątrz istnieje miejsce zerowe.
Oznaczmy $d$ jako odległość środków, $R,r$ promienie.
$d>R+r$ rozłączne zewnętrznie; $d=R+r$ styczne zewnętrznie; $|R-r|\lt d\lt R+r$ przecinają się; $d=|R-r|$ styczne wewnętrznie; $d\lt |R-r|$ jeden w drugim.
Badanie liczby punktów wspólnych okręgów.
Sprowadzają wartości funkcji dowolnego kąta do funkcji kąta ostrego.
$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$, $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$, $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$.
Znak zależy od ćwiartki, a zamiana funkcji — od tego, czy kąt liczymy od osi $OX$, czy $OY$.
Licznik i mianownik dzielimy przez najwyższą potęgę $n$.
Dla równych stopni granica to iloraz współczynników wiodących; przy niższym stopniu licznika granica wynosi $0$.
$\lim\frac{3n^2+1}{2n^2-n}=\frac{3}{2}$.
$y=\sin(x-p)$ przesuwa wykres w prawo o $p$.
$y=\sin x+q$ przesuwa wykres w górę o $q$.
Przesunięcia nie zmieniają okresu ani amplitudy.
$\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$.
$y=a\sin x$ ma amplitudę $|a|$; $a\lt 0$ odbija wykres względem osi $OX$.
$y=\sin(bx)$ ma okres $\frac{2\pi}{|b|}$.
$y=a\sin(bx)$ łączy zmianę amplitudy i okresu.
$y=2\sin(3x)$ ma amplitudę $2$ i okres $\frac{2\pi}{3}$.
Średnia pierwszego i ostatniego wyrazu razy liczba wyrazów.
Przykład: Suma liczb od 1 do 100: $S_{100}=\frac{1+100}{2}\cdot100=5050$.
Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie różnicy $r$.
Przykład: $a_1=3$, $r=4$: $a_{10}=3+9\cdot4=39$.
Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Przykład: $a_1=1$, $q=2$, $n=6$: $S_6=\frac{1-64}{1-2}=63$.
Każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez iloraz $q$.
Przykład: $a_1=2$, $q=3$: $a_5=2\cdot3^4=162$.
Logarytm to wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść podstawę $a$, aby otrzymać $b$.
Przykład: $\log_2 32=5$, bo $2^5=32$; $\log_3\frac{1}{9}=-2$.
Do czego służy: Opisuje zjawisko wybijania elektronów z metalu przez światło — dowód korpuskularnej natury światła (Einstein, Nagroda Nobla 1921).
$$E_{\text{fotonu}} = hf = \frac{hc}{\lambda}$$
Tylko gdy $hf \geq W$, czyli gdy częstotliwość światła $f \geq f_{\min} = W/h$. Natężenie światła nie ma znaczenia — liczy się tylko częstotliwość.
Światło $f = 10^{15}$ Hz pada na metal o $W = 3 \times 10^{-19}$ J. Energia elektronu?
⚠️ Częsty błąd: Zwiększenie natężenia (jasności) światła nie zwiększy $E_k$ elektronu — tylko więcej elektronów zostanie wybitych. Większa $E_k$ wymaga większej częstotliwości.
Szczególny przypadek wzorów na sumę kątów.
Przykład: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$: $\sin2\alpha=\frac{24}{25}$.
$a$ — przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$, $b$ — przyprostokątna przy kącie, $c$ — przeciwprostokątna.
Przykład: Trójkąt 3–4–5, kąt naprzeciw boku 3: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}$.
Podstawowe granice używane przy obliczaniu granic ciągów.
Przykład: $\lim\frac{3n+1}{n}=\lim\left(3+\frac1n\right)=3$.
Pozwala obliczyć jedną funkcję, znając drugą.
Przykład: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, kąt ostry: $\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$.
Liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.
Przykład: Rzut kostką, wypadnie liczba parzysta: $P=\frac36=\frac12$.
Liczba $k$-elementowych podzbiorów zbioru $n$-elementowego (kolejność nie ma znaczenia).
Przykład: Wybór 2 osób z 6: $\binom{6}{2}=15$.
Objętość kuli i pole sfery o promieniu $r$.
Przykład: $r=3$: $V=36\pi$, $P=36\pi$.
Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów.
Przykład: $\log_6 4+\log_6 9=\log_6 36=2$.
Wyznaczamy jedną niewiadomą z jednego równania i wstawiamy do drugiego.
Przykład: $y=2x$, $x+y=9\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3,\ y=6$.
Zamiana stopni na radiany i odwrotnie.
Przykład: $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
Pole podstawy razy wysokość bryły — wzór wspólny dla każdego graniastosłupa.
Przykład: Podstawa trójkąt o polu 12 cm², $H=10$ cm: $V=120$ cm³.
Miara rozproszenia danych wokół średniej.
Przykład: $\sigma^2=\frac83$: $\sigma=\sqrt{\frac83}\approx1{,}63$.
Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych.
Przykład: $A(1,2)$, $B(4,6)$: $|AB|=\sqrt{9+16}=5$.
Odległość punktu $(x_0,y_0)$ od prostej $Ax+By+C=0$.
Przykład: $P(1,2)$ i $3x+4y-1=0$: $d=\frac{|3+8-1|}{5}=2$.
Liczba sposobów ustawienia $n$ różnych elementów w kolejności.
Przykład: 5 osób w kolejce: $5!=120$ ustawień.
Najczęściej używane wzory na pochodne.
Przykład: $(x^5)^{\prime}=5x^4$, $(7)^{\prime}=0$.
Do czego służy: Podstawowy związek łączący prędkość fali z jej długością i częstotliwością — dotyczy fal mechanicznych i elektromagnetycznych.
Stacja radiowa nadaje na 100 MHz. Długość fali?
⚠️ Częsty błąd: Prędkość fali zależy od ośrodka, częstotliwość zależy od źródła. Gdy fala przechodzi do innego ośrodka — zmienia się $\lambda$ i $v$, ale $f$ pozostaje ta sama!
Połowa iloczynu boku i wysokości opuszczonej na ten bok.
Przykład: Bok 10 cm, wysokość 6 cm: $P=30$ cm².
Potęgujemy każdy czynnik osobno.
Przykład: $(2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3=1000$, $\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$.
Do czego służy: Opisuje co dzieje się ze światłem na granicy dwóch ośrodków optycznych.
Gdy światło przechodzi z gęstszego do rzadszego ośrodka ($n_1 > n_2$) i kąt padania przekracza kąt graniczny $\alpha_c$:
$$\sin\alpha_c = \frac{n_2}{n_1}$$
Promień świetlny pada z powietrza ($n_1 = 1$) na szkło ($n_2 = 1{,}5$) pod kątem 45°. Kąt załamania?
⚠️ Częsty błąd: Kąt padania mierz od normalnej do powierzchni, nie od samej powierzchni. Jeśli mierzysz od płaszczyzny, odejmij od 90°.
Do czego służy: Obliczanie ile jąder promieniotwórczych pozostanie po czasie $t$ oraz jak długo trwa rozpad do danego poziomu.
Jod-131 ma $T_{1/2} = 8$ dni. Ile pozostanie po 24 dniach z $N_0 = 10^{20}$ jąder?
⚠️ Częsty błąd: Po każdym $T_{1/2}$ liczba jąder zmniejsza się o połowę, nie o $T_{1/2}$ procent! Każdy okres działa niezależnie.
$p$ — połowa obwodu, $P$ — pole trójkąta.
Przykład: Trójkąt 3–4–5: $P=6$, $p=6$, więc $r=1$; $R=\frac{60}{24}=2{,}5$.
Wykres przesuwamy o $p$ w poziomie i o $q$ w pionie.
Przykład: $y=(x-3)^2+1$ to $y=x^2$ przesunięty o $[3,1]$.
Do czego służy: Zapis i analiza przemian jądrowych — rozpadów alfa, beta i reakcji syntezy/rozszczepienia.
Uran $^{238}_{92}$U emituje cząstkę $\alpha$. Produkt?
⚠️ Częsty błąd: Neutrina ($\nu$) w rozpadzie $\beta$ też mają zerową liczbę masową i atomową — pamiętaj o nich w bilansie, choć nie zmieniają A ani Z produktu głównego.
Opisuje także proste pionowe ($B=0$).
Przykład: $2x-y+3=0$ to $y=2x+3$; $x=4$ to prosta pionowa.
Okrąg o środku $S(a,b)$ i promieniu $r$.
Przykład: $(x-2)^2+(y+1)^2=9$: środek $(2,-1)$, $r=3$.
Do czego służy: Wyznaczenie miejsca i cech obrazu przedmiotu umieszczonego przed soczewką.
$Z = \frac{1}{f}$ [dioptrie, D]; dla kombinacji soczewek: $Z = Z_1 + Z_2$
Soczewka skupiająca $f = 20$ cm, przedmiot w odległości $d_o = 30$ cm. Obraz?
⚠️ Częsty błąd: $\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o}$ — to odwrotności! Nie obliczaj $d_i = f - d_o$. Przelicz $f$ na metry jeśli masz cm.
Styczna w punkcie $(x_0,f(x_0))$ ma współczynnik kierunkowy $f^{\prime}(x_0)$.
Przykład: $f(x)=x^2$, $x_0=1$: $y=2(x-1)+1=2x-1$.
Do czego służy: Masa i energia są wzajemnie przeliczalne — nawet mała masa odpowiada ogromnej energii (bo $c^2$ jest bardzo duże).
Jądro waży mniej niż suma wolnych protonów i neutronów. Różnica masy $\Delta m$ zamienia się w energię wiązania:
$$E_b = \Delta m \cdot c^2$$
Defekt masy w reakcji rozszczepienia: $\Delta m = 0{,}001$ u = $1{,}66 \times 10^{-30}$ kg.
⚠️ Częsty błąd: Masa musi być w kilogramach. Jednostka atomowa masy: $1 \text{ u} = 1{,}66 \times 10^{-27}$ kg. Przelicz przed podstawieniem.
Pozwalają liczyć wartości dla kątów typu 75° czy 15°.
Przykład: $\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.
Suma wartości podzielona przez ich liczbę.
Przykład: Oceny 4, 5, 3, 4: $\bar{x}=\frac{16}{4}=4$.
Każda wartość ma swoją wagę.
Przykład: Sprawdzian 5 (waga 3) i kartkówka 3 (waga 1): $\frac{15+3}{4}=4{,}5$.
Współrzędne środka to średnie współrzędnych końców.
Przykład: $A(2,6)$, $B(8,-2)$: $S=(5,2)$.
$l$ — tworząca stożka.
Przykład: $r=3$, $H=4$, $l=5$: $V=12\pi$, $P_c=9\pi+15\pi=24\pi$.
Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt.
Przykład: $a=5$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$: $c^2=25+64-40=49$, $c=7$.
Stosunek boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały; $R$ — promień okręgu opisanego.
Przykład: $a=10$, $\alpha=30^\circ$: $2R=20$, więc $R=10$.
Objętość i pole powierzchni walca o promieniu $r$ i wysokości $H$.
Przykład: $r=3$, $H=5$: $V=45\pi$, $P_c=18\pi+30\pi=48\pi$.
Średnia kwadratów odchyleń od średniej.
Przykład: Dane 2, 4, 6: $\bar{x}=4$, $\sigma^2=\frac{4+0+4}{3}=\frac83$.
Cosinus: $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\cos60^\circ=\frac12$.
Przykład: Drabina 4 m oparta pod kątem 60°: wysokość $4\cdot\sin60^\circ=2\sqrt3\approx3{,}46$ m.
Sprowadzają funkcje kątów rozwartych do kątów ostrych.
Przykład: $\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12$, $\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego to:
Dany jest ciąg arytmetyczny $a_1=3$, $r=4$. Oblicz $a_5$.
W ciągu arytmetycznym $a_1=20$, $a_2=17$. Podaj różnicę $r$.
Ciąg jest arytmetyczny, gdy:
W ciągu arytmetycznym $a_1=5$, $a_{10}=41$. Oblicz różnicę $r$.
Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to:
Oblicz sumę $10$ początkowych wyrazów ciągu $a_1=2$, $r=3$.
Oblicz sumę liczb naturalnych od $1$ do $100$.
Który ciąg jest arytmetyczny?
Środkowy wyraz $a_2$ ciągu arytmetycznego, w którym $a_1=8$ i $a_3=14$, oblicz z własności ciągu.
W ciągu arytmetycznym $a_3=10$ i $a_5=16$. Różnica $r$ wynosi:
Ile wynosi setny wyraz ciągu $a_1=1$, $r=2$ (ciąg liczb nieparzystych)?
W ciągu arytmetycznym $a_1=100$, $r=-7$. Który wyraz jest pierwszym ujemnym?
Suma $1+2+3+\dots+n$ wynosi:
W ciągu arytmetycznym $a_4=13$ i $a_9=33$. Wyznacz $a_1$ i $r$.
Jeśli liczby $x$, $8$, $14$ tworzą ciąg arytmetyczny, to $x$ wynosi:
Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi $S_n=n^2+2n$. Oblicz $a_1$ oraz $a_2$.
W teatrze pierwszy rząd ma $18$ miejsc, a każdy kolejny o $2$ więcej. Ile miejsc jest w $15$ rzędach?
Ile wynosi suma wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez $5$?
Wykaż, że jeśli liczby $a$, $b$, $c$ tworzą ciąg arytmetyczny, to $2b=a+c$.
Różnica ciągu arytmetycznego $7$, $11$, $15$, $19$, … wynosi:
Oblicz dwudziesty wyraz ciągu arytmetycznego o $a_1=3$ i $r=5$.
Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu $2$, $5$, $8$, $11$, …
Liczby $5$, $x$, $17$ tworzą ciąg arytmetyczny. Ile wynosi $x$?
Oblicz sumę $1+2+3+\dots+100$.
W ciągu arytmetycznym $a_1=20$ i $r=-3$. Który wyraz jest pierwszym ujemnym?
W ciągu arytmetycznym $a_3=10$ i $a_7=26$. Wyznacz $a_1$ oraz $r$.
Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez $7$.
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o $a_1=1$ i $r=2$ wynosi:
Ile wyrazów ciągu $3$, $7$, $11$, … trzeba dodać, aby otrzymać $210$?
Ciąg arytmetyczny jest malejący dokładnie wtedy, gdy:
W ciągu arytmetycznym suma pierwszego i piątego wyrazu wynosi $16$, a trzeci wyraz to $a_3$. Wyznacz $a_3$.
Widownia teatru ma $25$ rzędów. W pierwszym jest $18$ miejsc, a w każdym następnym o $2$ więcej. Ile miejsc ma cała widownia?
Wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to:
Oblicz sumę wszystkich liczb parzystych od $2$ do $200$.
Ciąg dany wzorem $a_n=4n-1$ jest arytmetyczny o różnicy:
Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi $30$, a ich iloczyn $840$. Wyznacz te wyrazy.
Ile wynosi suma $S_{20}$ ciągu arytmetycznego, w którym $a_5=13$ i $a_{12}=41$?
Robotnik pierwszego dnia ułożył $40$ płytek, a każdego następnego o $6$ więcej niż poprzedniego. Po ilu dniach ułoży łącznie $700$ płytek?
Wykaż, że suma $n$ początkowych liczb nieparzystych jest równa $n^2$.
Wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego to:
Dany jest ciąg geometryczny $a_1=2$, $q=3$. Oblicz $a_4$.
W ciągu geometrycznym $a_1=5$, $a_2=15$. Podaj iloraz $q$.
Ciąg jest geometryczny, gdy:
Podaj kolejne trzy wyrazy ciągu geometrycznego zaczynającego się od $3$ z ilorazem $2$.
Który ciąg jest geometryczny?
W ciągu geometrycznym $a_1=4$, $q=\frac12$. Oblicz $a_3$.
Środkowy wyraz $b$ ciągu geometrycznego $4, b, 9$ (wyrazy dodatnie) oblicz z własności ciągu.
Suma $n$ wyrazów ciągu geometrycznego (dla $q\neq1$) to:
Oblicz sumę $5$ początkowych wyrazów ciągu $a_1=1$, $q=2$.
W ciągu geometrycznym $a_2=6$, $a_4=54$. Iloraz (dodatni) wynosi:
Oblicz szósty wyraz ciągu geometrycznego $a_1=1$, $q=10$.
Liczby $2$, $x$, $8$ tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich. Wyznacz $x$.
Ciąg $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots$ ma iloraz:
W ciągu geometrycznym $a_1=3$, $a_3=27$. Wyznacz iloraz i $a_5$ (iloraz dodatni).
Jeśli $q=1$, to ciąg geometryczny jest:
Bakterie podwajają liczebność co godzinę. Zaczynamy od $100$. Ile będzie po $5$ godzinach?
Oblicz sumę $1+3+9+27+81$, korzystając ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego.
Kwota $1000$ zł jest lokowana na $10\%$ rocznie z kapitalizacją roczną. Ile wyniesie po $3$ latach?
Wykaż, że jeśli liczby $a$, $b$, $c$ (dodatnie) tworzą ciąg geometryczny, to $b^2=ac$.
Iloraz ciągu geometrycznego $2$, $6$, $18$, $54$, … wynosi:
Oblicz piąty wyraz ciągu geometrycznego, w którym $a_1=5$ i $q=2$.
Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o $a_1=1$ i $q=2$.
Liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest dodatnia wartość $x$?
Wkład $1000$ zł oprocentowany jest na $5\%$ rocznie (kapitalizacja roczna). Ile będzie na koncie po dwóch latach?
Ciąg geometryczny ma $a_1=8$ i $q=\frac12$. Który wyraz jest równy $1$?
W ciągu geometrycznym $a_2=12$ i $a_4=108$. Wyznacz $a_1$ oraz $q$, zakładając $q>0$.
Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu $3$, $-6$, $12$, $-24$, …
Lokata $2000$ zł na $10\%$ rocznie z kapitalizacją roczną. Ile wynosi kapitał po trzech latach?
Oblicz sumę szeregu geometrycznego $8+4+2+1+\dots$
Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy:
Po ilu latach kapitał $1000$ zł na $20\%$ rocznie przekroczy $2000$ zł przy kapitalizacji rocznej?
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Ich iloczyn wynosi $216$, a środkowa liczba to $a_2$. Wyznacz $a_2$.
Suma szeregu $1+\frac13+\frac19+\dots$ wynosi:
Wartość samochodu spada co roku o $15\%$. Ile będzie wart po trzech latach samochód kupiony za $60\ 000$ zł?
W ciągu geometrycznym $a_1=3$ i $q=-1$. Ile wynosi $a_{10}$?
Bank oferuje $12\%$ rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile wyniesie kapitał z $5000$ zł po roku? Porównaj z kapitalizacją roczną.
Liczby $x-1$, $x+1$, $2x+4$ tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz $x$.
Piłka spuszczona z wysokości $2$ m odbija się za każdym razem na $60\%$ poprzedniej wysokości. Oblicz łączną drogę, jaką przebędzie do zatrzymania.
Wykaż, że jeżeli liczby $a$, $b$, $c$ tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich, to $b=\sqrt{ac}$. Sprawdź to dla $a=2$, $c=18$.
W ciągu arytmetycznym $a_1=1$, $r=2$ wyraz $a_5$ wynosi:
Oblicz sumę $1+2+\ldots+20$.
W ciągu geometrycznym $a_1=3$, $q=2$ wyraz $a_3$ wynosi:
Podaj różnicę ciągu $5,9,13,17,\ldots$
W ciągu arytmetycznym $a_3=8$, $a_6=17$. Oblicz $r$.
Oblicz sumę szeregu $2+1+\tfrac12+\tfrac14+\ldots$
Dla $a_1=2$, $r=3$ oblicz $a_6$.
Suma $1+2+\ldots+50$?
Ciąg geom. $a_1=1$, $q=2$: $a_5$?
Iloraz $2,8,32$:
Różnica $20,17,14$?
W ciągu arytm. $a_1=4$, $a_7=28$. Oblicz $r$.
Suma szeregu $4+2+1+\ldots$?
Wyraz środkowy ciągu geom. między $2$ a $18$?
Wyraz środkowy arytm. między $4$ a $10$?
Ciąg $a_n=n^2$ jest:
Oblicz $a_4$ ciągu $a_n=2n+1$.
Suma $10$ pierwszych wyrazów arytm. $a_1=1$, $r=1$?
Ciąg geom. $a_1=5$, $q=2$: oblicz $a_4$.
Piłka odbija się na $\tfrac12$ wysokości. Z $8$ m — suma dróg spadania?
Dany jest ciąg $a_n=3n-1$. Ile wynosi $a_4$?
Wypisz pięć pierwszych wyrazów ciągu $a_n=n^2$.
Ciąg określono rekurencyjnie: $a_1=2$ oraz $a_{n+1}=a_n+5$. Wypisz cztery pierwsze wyrazy.
Ciąg $a_n=5-2n$ jest:
Dany jest ciąg $a_n=\frac{n}{n+1}$. Oblicz $a_1$, $a_2$ i $a_3$.
Który wzór opisuje ciąg $2$, $4$, $6$, $8$, $\dots$?
Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n=n^2-4n$.
Ciąg dany jest rekurencyjnie: $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n+1$. Oblicz pięć pierwszych wyrazów.
Ciąg $a_n=(-1)^n$ jest:
Który wyraz ciągu $a_n=4n-7$ jest równy $25$?
Ciąg jest rosnący, gdy dla każdego $n$ zachodzi:
Wykaż, że ciąg $a_n=\frac{2n+1}{n}$ jest malejący.
Ciąg Fibonacciego określony jest tak: $a_1=1$, $a_2=1$, $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$. Wypisz osiem pierwszych wyrazów.
Ile wyrazów ciągu $a_n=2n-1$ jest mniejszych od $20$?
Ciąg dany jest wzorem $a_n=n^2-5n+6$. Który wyraz jest równy zeru?
Ciąg $a_n=7$ dla każdego $n$ jest:
Ciąg określono rekurencyjnie: $a_1=3$, $a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$. Wypisz pięć pierwszych wyrazów i zbadaj monotoniczność.
Wykaż, że ciąg $a_n=\frac{n+2}{n+1}$ jest malejący i wszystkie jego wyrazy są większe od $1$.
W pierwszym rzędzie kina jest $20$ miejsc, a w każdym następnym o $2$ więcej. Zapisz wzór ogólny i rekurencyjny tego ciągu, a następnie oblicz, ile miejsc jest w rzędzie piętnastym.
Dany jest ciąg $a_n=\frac{3n-1}{n}$. Zbadaj jego monotoniczność i wyjaśnij, do jakiej wartości zbliżają się jego wyrazy.
W ciągu arytmetycznym $a_1=3$ i $r=4$. Oblicz $a_{10}$.
W ciągu arytmetycznym $a_1=3$ i $r=4$. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów.
W ciągu geometrycznym $a_1=2$ i $q=3$. Oblicz $a_5$.
Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o $a_1=2$ i $q=3$.
W ciągu arytmetycznym $a_3=11$ oraz $a_7=27$. Wyznacz $a_1$ i różnicę $r$.
Który z ciągów jest arytmetyczny?
Sprawdź, czy liczby $2$, $6$, $18$ tworzą ciąg geometryczny.
Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez $7$.
Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:
Oblicz sumę szeregu geometrycznego $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$
Zamień ułamek okresowy $0{,}(3)$ na ułamek zwykły, korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.
Kapitał $1\,000$ zł ulokowano na $5\%$ w skali roku z kapitalizacją roczną. Ile wyniesie kapitał po $3$ latach?
W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów:
Liczby $x-1$, $x+3$, $3x+1$ (w tej kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz $x$.
Liczby $2$, $x$, $18$ (w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz wszystkie możliwe wartości $x$.
Ciąg $a_n=5-2n$ jest:
Ile wyrazów ciągu arytmetycznego o $a_1=5$ i $r=3$ trzeba dodać, aby suma wyniosła $440$?
Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego, w którym $a_1=48$ oraz $a_4=6$.
Suma szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1=6$ wynosi $S=8$. Wyznacz iloraz $q$.
W pewnym ciągu arytmetycznym suma trzech kolejnych wyrazów wynosi $18$, a ich iloczyn $192$. Wyznacz te wyrazy.
Dla ciągu arytmetycznego $a_1=2$, $r=3$ wyraz $a_4$ wynosi:
Oblicz sumę $1+2+3+\ldots+10$.
Dla ciągu geometrycznego $a_1=2$, $q=3$ wyraz $a_3$ wynosi:
Podaj różnicę ciągu $3,7,11,15,\ldots$
W ciągu arytmetycznym $a_2=5$, $a_5=14$. Oblicz różnicę $r$.
Oblicz sumę nieskończonego szeregu geometrycznego $1+\tfrac12+\tfrac14+\ldots$
Dla $a_1=5$, $r=2$ oblicz $a_{10}$.
Oblicz sumę $2+4+6+\ldots+20$.
Dla ciągu geom. $a_1=1$, $q=3$ oblicz $a_4$.
Iloraz ciągu $3,6,12,24$ wynosi:
Podaj różnicę ciągu $10,7,4,1$.
W ciągu arytm. $a_1=3$, $a_5=19$. Oblicz $r$.
Oblicz sumę geom. $2+6+18+54$.
Wyraz środkowy między $4$ a $16$ (ciąg geom.)?
Wyraz środkowy między $5$ a $11$ (ciąg arytm.)?
Suma nieskończonego szeregu $3+1+\tfrac13+\ldots$ wynosi:
Oblicz $a_6$ ciągu geom. $a_1=2$, $q=2$.
Oblicz sumę pierwszych $100$ liczb naturalnych.
W ciągu arytm. $a_3=10$, $r=2$. Oblicz $a_1$.
Bakterie podwajają się co godzinę, początkowo $50$. Ile po $5$ godzinach?
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=x^3-6x$.
Wyznacz miejsca zerowe pochodnej funkcji $f(x)=x^2-8x+3$.
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=\frac{1}{x}$ i podaj jej znak dla $x>0$.
Funkcja ma w punkcie $x_0$ maksimum lokalne, gdy pochodna:
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=(2x+1)^3$.
Funkcja $f(x)=x^3$ w punkcie $x=0$ ma:
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=x^3-3x$.
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji $f(x)=x^3-3x$ i podaj ich wartości.
Równanie stycznej do wykresu $f$ w punkcie $x_0$ ma postać:
Wyznacz równanie stycznej do wykresu $f(x)=x^2$ w punkcie o odciętej $x_0=3$.
Aby znaleźć wartość największą funkcji ciągłej na przedziale domkniętym $\langle a,\,b\rangle$, wystarczy porównać wartości:
Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji $f(x)=x^2-4x+1$ w przedziale $\langle0,\,3\rangle$.
Suma dwóch liczb dodatnich wynosi $20$. Jakie to liczby, jeśli ich iloczyn ma być największy?
Pochodna funkcji $f(x)=\sqrt{x}$ wynosi:
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=\frac{x}{x+1}$.
Spośród prostokątów o obwodzie $40$ największe pole ma:
Z drutu o długości $60$ cm chcemy zbudować szkielet prostopadłościanu o podstawie kwadratowej. Jakie wymiary dadzą największą objętość?
Rolnik ma $200$ m siatki i chce ogrodzić prostokątny wybieg przylegający jednym bokiem do ściany stodoły (ten bok nie wymaga siatki). Jakie wymiary dadzą największą powierzchnię?
Z kwadratowej blachy o boku $12$ cm wycinamy w rogach kwadraciki o boku $x$ i zaginamy brzegi, tworząc otwarte pudełko. Dla jakiego $x$ objętość będzie największa?
Puszka w kształcie walca ma mieć objętość $16\pi$ cm$^3$. Dla jakiego promienia pole powierzchni całkowitej będzie najmniejsze?
Okres funkcji $\sin x$ wynosi:
Oblicz $\sin150^\circ$ (wzór redukcyjny).
Oblicz $\cos180^\circ$.
Okres funkcji $\operatorname{tg} x$ wynosi:
Oblicz $\sin2\alpha$ dla $\sin\alpha=\tfrac35$, $\cos\alpha=\tfrac45$.
Podaj zbiór wartości funkcji $y=\sin x$.
Okres $\sin x$?
Oblicz $\cos90^\circ$.
Oblicz $\sin180^\circ$.
Zbiór wartości $\cos x$:
Oblicz $\sin2\alpha$ dla $\sin\alpha=\tfrac45$, $\cos\alpha=\tfrac35$.
Okres $\operatorname{tg} x$?
Oblicz $\cos120^\circ$ (wzór redukcyjny).
Funkcja $\sin x$ jest:
Oblicz $\sin30^\circ+\cos60^\circ$.
Oblicz $\cos2\alpha$ dla $\cos\alpha=\tfrac35$, $\sin\alpha=\tfrac45$.
Dla jakiego $x\in[0,2\pi)$ $\sin x=1$?
$\cos x$ jest funkcją:
Oblicz $\sin150^\circ$.
Wiedząc, że $\sin\alpha=\tfrac{5}{13}$ i $\alpha$ ostry, oblicz $\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$.
Ile wynosi $\sin 30^\circ$?
Zamień $60^\circ$ na miarę łukową (radiany).
Zamień $\frac{3\pi}{4}$ na stopnie.
Ile wynosi $\cos 90^\circ$?
Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\sin\alpha=\frac{3}{5}$. Oblicz $\cos\alpha$, korzystając z jedynki trygonometrycznej.
Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$. Oblicz $\tg\alpha$.
W której ćwiartce leży kąt, dla którego $\sin\alpha>0$ i $\cos\alpha\lt 0$?
Oblicz $\sin 150^\circ$, korzystając ze wzoru redukcyjnego.
Jaki jest okres podstawowy funkcji $y=\sin x$?
Oblicz $\sin^2 40^\circ+\cos^2 40^\circ$.
Ile wynosi $\tg 45^\circ$?
Rozwiąż równanie $\sin x=\frac12$ w przedziale $\langle 0^\circ,\,360^\circ)$.
Kąt $\alpha$ leży w drugiej ćwiartce i $\cos\alpha=-\frac{12}{13}$. Oblicz $\sin\alpha$.
Ile wynosi $\cos 180^\circ$?
Uprość wyrażenie $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cos\alpha$.
Oblicz dokładną wartość wyrażenia $\sin 60^\circ\cdot\cos 30^\circ+\cos 60^\circ\cdot\sin 30^\circ$.
Zbiór wartości funkcji $y=\sin x$ to:
Rozwiąż równanie $2\cos x-1=0$ w przedziale $\langle 0^\circ,\,360^\circ)$.
Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\tg\alpha=2$. Oblicz $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$.
Wykaż, że wyrażenie $\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha}$ jest równe $\sin\alpha$ (dla $\sin\alpha\neq0$).
Oblicz długość odcinka $AB$, gdzie $A(0,0)$, $B(6,8)$.
Wyznacz środek odcinka $(2,4)$–$(6,10)$.
Proste $y=2x+1$ i $y=2x-3$ są:
Podaj współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do $y=3x$.
Oblicz odległość punktu $(0,0)$ od prostej $3x+4y-10=0$.
Podaj środek i promień okręgu $(x-1)^2+(y-2)^2=9$.
Długość odcinka $(0,0)$–$(8,6)$?
Środek $(1,3)$–$(7,9)$?
Proste $y=x+1$, $y=x-4$ są:
Współczynnik prostopadłej do $y=4x$?
Odległość $(0,0)$ od $4x+3y-20=0$?
Promień okręgu $(x-2)^2+(y+1)^2=16$?
Środek okręgu $(x-2)^2+(y+1)^2=16$?
Wektor $\vec{AB}$ dla $A(2,3)$, $B(5,7)$?
Długość wektora $[3,4]$?
Proste $y=2x$ i $y=-\tfrac12x$ są:
Długość odcinka $(1,1)$–$(4,5)$?
Suma wektorów $[2,1]+[3,4]$?
Współczynnik prostej przez $(0,2)$ i $(4,10)$?
Sprawdź, czy punkt $(3,4)$ leży na okręgu $x^2+y^2=25$.
Prosta ma równanie $y=3x-2$. Jaki jest jej współczynnik kierunkowy?
Wyznacz równanie prostej o współczynniku kierunkowym $a=2$ przechodzącej przez punkt $P=(1,\,5)$.
Oblicz odległość punktu $P=(1,\,1)$ od prostej $3x+4y-19=0$.
Prosta prostopadła do $y=2x+1$ ma współczynnik kierunkowy:
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(1,\,1)$, $B=(5,\,1)$, $C=(3,\,6)$.
Okrąg ma równanie $(x-3)^2+(y+1)^2=16$. Jaki jest jego środek i promień?
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(2,\,1)$ i $B=(4,\,7)$.
Napisz równanie okręgu o środku $S=(2,\,3)$ i promieniu $5$.
Proste $y=2x+3$ i $y=2x-4$ są:
Wyznacz punkt przecięcia prostej $y=x+1$ z osią OX oraz z osią OY.
Czy punkt $P=(1,\,2)$ leży na okręgu $x^2+y^2=5$?
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt $P=(0,\,4)$ i prostopadłej do prostej $y=\frac12 x-1$.
Oblicz odległość punktu $P=(0,\,0)$ od prostej $x+y-6=0$.
Środek odcinka o końcach $A=(-2,\,4)$ i $B=(6,\,-2)$ to punkt:
Wierzchołki trójkąta to $A=(0,\,0)$, $B=(6,\,0)$, $C=(0,\,8)$. Oblicz jego pole, obwód oraz promień okręgu wpisanego.
Prosta $y=-x+5$ przecina oś OX w punkcie:
Sprawdź, czy prosta $y=x+1$ jest styczna do okręgu $x^2+y^2=2$.
Wyznacz równanie symetralnej odcinka $AB$, gdzie $A=(2,\,1)$ i $B=(6,\,5)$.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(1,\,2)$, $B=(4,\,3)$, $C=(2,\,6)$, korzystając ze wzoru wyznacznikowego.
Okrąg ma środek $S=(1,\,2)$ i przechodzi przez punkt $A=(4,\,6)$. Wyznacz jego równanie i sprawdź, czy punkt $B=(-2,\,2)$ leży na tym okręgu.
Oblicz odległość między punktami $A=(1,\,2)$ i $B=(4,\,6)$.
Wyznacz współrzędne środka odcinka o końcach $A=(-3,\,5)$ i $B=(7,\,1)$.
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(0,\,1)$ i $B=(2,\,7)$.
Prosta $k$ ma równanie $y=2x-5$. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do $k$ wynosi:
Podaj środek i promień okręgu o równaniu $(x-2)^2+(y+3)^2=25$.
Który punkt jest obrazem punktu $P=(4,\,-2)$ w symetrii względem osi OX?
Dane są punkty $A=(1,\,2)$ i $B=(5,\,4)$. Wyznacz współrzędne wektora $\vec{AB}$ oraz jego długość.
Proste $y=3x+2$ i $y=3x-7$ są:
Oblicz odległość punktu $P=(3,\,4)$ od prostej o równaniu $3x+4y-10=0$.
Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(4,\,0)$, $C=(0,\,3)$ jest prostokątny, i oblicz jego pole.
Które równanie opisuje okrąg o środku $S=(0,\,0)$ i promieniu $4$?
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt $P=(1,\,5)$ i równoległej do prostej $y=-2x+7$.
Dane są wektory $\vec{u}=[3,\,-1]$ i $\vec{v}=[2,\,5]$. Oblicz $\vec{u}+\vec{v}$ oraz $2\vec{u}$.
Punkty $A=(1,\,1)$, $B=(5,\,1)$, $C=(5,\,4)$, $D=(1,\,4)$ są wierzchołkami prostokąta. Jaka jest długość jego przekątnej?
Punkt $S=(3,\,2)$ jest środkiem odcinka $AB$, przy czym $A=(1,\,-1)$. Wyznacz współrzędne punktu $B$.
Wyznacz punkt przecięcia prostych $y=2x-1$ oraz $y=-x+5$.
Czy punkt $P=(3,\,4)$ leży na okręgu o równaniu $x^2+y^2=25$?
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(6,\,0)$, $C=(2,\,5)$.
Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach $A=(1,\,2)$ i $B=(5,\,6)$.
Okrąg ma środek $S=(2,\,1)$ i przechodzi przez punkt $P=(5,\,5)$. Wyznacz równanie tego okręgu i sprawdź, czy punkt $Q=(2,\,7)$ leży wewnątrz, na okręgu, czy na zewnątrz.
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}$.
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n}$.
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+5}{2n^2-1}$.
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n^2}$.
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-2n}{n^2+1}$.
Ciąg $a_n=\frac{1}{2^n}$ jest:
Oblicz sumę szeregu geometrycznego $1+\frac12+\frac14+\frac18+\ldots$
Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:
Oblicz sumę szeregu $6+2+\frac23+\frac29+\ldots$
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\left(3-\frac{5}{n}\right)$.
Ciąg $a_n=2n+1$ jest:
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\frac{4n^2-n}{2n^2+3n}$.
Dla jakich wartości $x$ szereg geometryczny o ilorazie $q=x$ jest zbieżny?
Suma szeregu $\frac12+\frac14+\frac18+\ldots$ wynosi:
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\frac{5}{n^2+1}$.
Który ciąg jest zbieżny?
Suma szeregu geometrycznego wynosi $12$, a pierwszy wyraz $a_1=8$. Wyznacz iloraz $q$.
Oblicz $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n+3}{n+1}-\frac{n}{n+2}\right)$.
Piłka spuszczona z wysokości $9$ m odbija się za każdym razem na $\frac13$ poprzedniej wysokości. Oblicz sumę wszystkich wysokości odbić (bez pierwszego spadku).
Zamień ułamek okresowy $0{,}(3)$ na ułamek zwykły, traktując go jako sumę szeregu geometrycznego.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.