Wzory: Trygonometria Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym, wartości dla kątów 30°, 45° i 60°, jedynka trygonometryczna, wzory redukcyjne, sumy kątów i kąta podwojonego.
8 wzorów
szkoła średnia: 5 rozszerzenie: 3 Wszystkie
Szkoła średnia Rozszerzenie
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego LO · szkoła średnia \[\sin\alpha=\frac{a}{c},\quad \cos\alpha=\frac{b}{c},\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}\]
$a$ — przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$, $b$ — przyprostokątna przy kącie, $c$ — przeciwprostokątna.
Przykład: Trójkąt 3–4–5, kąt naprzeciw boku 3: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}$.
Wartości dla 30°, 45°, 60° LO · szkoła średnia \[\sin30^\circ=\tfrac12,\ \sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2},\ \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2};\ \ \operatorname{tg}30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3},\ \operatorname{tg}45^\circ=1,\ \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3\]
Cosinus: $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\cos60^\circ=\frac12$.
Przykład: Drabina 4 m oparta pod kątem 60°: wysokość $4\cdot\sin60^\circ=2\sqrt3\approx3{,}46$ m.
Jedynka trygonometryczna LO · szkoła średnia \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]
Pozwala obliczyć jedną funkcję, znając drugą.
Przykład: $\sin\alpha=\frac{3}{5}$, kąt ostry: $\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$.
Tangens jako iloraz LO · szkoła średnia \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \cos\alpha\neq0\]
Związek tangensa z sinusem i cosinusem.
Przykład: $\sin\alpha=\frac{12}{13}$, $\cos\alpha=\frac{5}{13}$: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{5}$.
Wzory redukcyjne (kąt 90°−α i 180°−α) LO · szkoła średnia \[\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\quad \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\]
Sprowadzają funkcje kątów rozwartych do kątów ostrych.
Przykład: $\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12$, $\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12$.
Sinus i cosinus sumy kątów R · rozszerzenie \[\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\quad \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\]
Pozwalają liczyć wartości dla kątów typu 75° czy 15°.
Przykład: $\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.
Funkcje kąta podwojonego R · rozszerzenie \[\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\]
Szczególny przypadek wzorów na sumę kątów.
Przykład: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$: $\sin2\alpha=\frac{24}{25}$.
Miara łukowa kąta R · rozszerzenie \[180^\circ=\pi\ \text{rad},\qquad \alpha_{\text{rad}}=\frac{\alpha^\circ\cdot\pi}{180^\circ}\]
Zamiana stopni na radiany i odwrotnie.
Przykład: $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.