Wzory: Wielomiany

Postać wielomianu, twierdzenie Bézouta, dzielenie wielomianów, pierwiastki całkowite i wymierne oraz krotność pierwiastka.

6 wzorów szkoła średnia: 1rozszerzenie: 5

\[W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0,\quad a_n\neq0\]

Stopień wielomianu to najwyższa potęga zmiennej.

Przykład: $W(x)=2x^3-x+5$ ma stopień 3.

\[W(a)=0\iff (x-a)\mid W(x)\]

Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian dzieli się przez $(x-a)$.

Przykład: $W(x)=x^3-8$, $W(2)=0$, więc $W(x)=(x-2)(x^2+2x+4)$.

\[W(x)=(x-a)\cdot Q(x)+r,\qquad r=W(a)\]

Reszta z dzielenia przez dwumian $x-a$ to wartość wielomianu w punkcie $a$.

Przykład: Reszta z dzielenia $x^3+2x-1$ przez $x-1$ to $W(1)=2$.

\[W(p)=0,\ p\in\mathbb{Z}\ \Rightarrow\ p\mid a_0\]

Całkowitych pierwiastków szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego.

Przykład: $x^3-6x^2+11x-6$: kandydaci $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$; pierwiastki $1,2,3$.

\[\frac{p}{q}\ \text{pierwiastkiem}\ \Rightarrow\ p\mid a_0,\ q\mid a_n\]

Kandydaci na pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Przykład: $2x^2-x-1$: kandydaci $\pm1,\pm\frac{1}{2}$; pierwiastki $1$ i $-\frac{1}{2}$.

\[W(x)=(x-a)^k\cdot P(x),\quad P(a)\neq0\]

Przy pierwiastku parzystej krotności wykres „odbija się” od osi, przy nieparzystej — przecina ją.

Przykład: $W(x)=(x-1)^2(x+3)$: $1$ — pierwiastek dwukrotny.

Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje