Wzory: Działania na ułamkach Wzory na dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych, skracanie i rozszerzanie oraz zamianę liczb mieszanych. Podstawa rachunków w szkole podstawowej i na egzaminie ósmoklasisty.
7 wzorów
szkoła podstawowa: 7 Wszystkie
Szkoła podstawowa
Rozszerzanie i skracanie ułamka SP · szkoła podstawowa \[\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k},\quad k\neq 0\]
Licznik i mianownik mnożymy (lub dzielimy) przez tę samą liczbę różną od zera — wartość ułamka się nie zmienia.
Przykład: $\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{15}{20}$, a $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$ (dzielimy przez 6).
Dodawanie i odejmowanie ułamków SP · szkoła podstawowa \[\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}\]
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, potem dodajemy lub odejmujemy liczniki.
Przykład: $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$.
Mnożenie ułamków SP · szkoła podstawowa \[\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\]
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik. Warto skrócić „na krzyż” przed mnożeniem.
Przykład: $\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$.
Dzielenie ułamków SP · szkoła podstawowa \[\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\]
Dzielenie zastępujemy mnożeniem przez odwrotność dzielnika.
Przykład: $\frac{4}{7}:\frac{2}{3}=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{2}=\frac{12}{14}=\frac{6}{7}$.
Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy SP · szkoła podstawowa \[n\frac{a}{b}=\frac{n\cdot b+a}{b}\]
Całości mnożymy przez mianownik i dodajemy licznik.
Przykład: $2\frac{3}{5}=\frac{2\cdot5+3}{5}=\frac{13}{5}$.
Odwrotność liczby SP · szkoła podstawowa \[\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a},\quad a,b\neq 0\]
Odwrotność ułamka otrzymujemy, zamieniając licznik z mianownikiem. Iloczyn liczby i jej odwrotności jest równy 1.
Przykład: Odwrotnością $\frac{3}{8}$ jest $\frac{8}{3}$, bo $\frac{3}{8}\cdot\frac{8}{3}=1$.
Ułamek z liczby SP · szkoła podstawowa \[\frac{a}{b}\ \text{z liczby}\ x=\frac{a}{b}\cdot x\]
Aby obliczyć część liczby, mnożymy tę liczbę przez ułamek.
Przykład: $\frac{3}{4}$ z 60 to $\frac{3}{4}\cdot 60=45$.