Wzory: Pierwiastki

Pierwiastki kwadratowe i sześcienne, działania na pierwiastkach, wyłączanie czynnika przed pierwiastek i usuwanie niewymierności z mianownika.

7 wzorów szkoła podstawowa: 4szkoła średnia: 3

\[\sqrt{a}=b\iff b^2=a,\ b\ge0,\ a\ge0\]

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej to liczba nieujemna, której kwadrat jest równy tej liczbie.

Przykład: $\sqrt{49}=7$, $\sqrt{0{,}09}=0{,}3$.

\[\sqrt[3]{a}=b\iff b^3=a\]

Pierwiastek sześcienny istnieje także z liczb ujemnych.

Przykład: $\sqrt[3]{125}=5$, $\sqrt[3]{-8}=-2$.

\[\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab},\qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\quad(a,b\ge0,\ b\neq0)\]

Pierwiastki tego samego stopnia mnożymy i dzielimy pod jednym pierwiastkiem.

Przykład: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6$.

\[\sqrt{a^2\cdot b}=|a|\sqrt{b}\]

Rozkładamy liczbę podpierwiastkową na iloczyn kwadratu i reszty.

Przykład: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.

\[\sqrt{a^2}=|a|\]

Wynik jest zawsze nieujemny — stąd wartość bezwzględna.

Przykład: $\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$.

\[\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b},\qquad \frac{a}{\sqrt{b}+c}=\frac{a(\sqrt{b}-c)}{b-c^2}\]

Rozszerzamy ułamek przez pierwiastek lub przez wyrażenie sprzężone.

Przykład: $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$, $\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$.

\[\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}},\qquad \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\quad(a,b\ge0)\]

Pierwiastki dowolnego stopnia można zapisać jako potęgi o wykładniku wymiernym.

Przykład: $\sqrt[4]{16}=2$, $\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2$.

Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje