Wzory: Graniastosłupy

Objętość i pole powierzchni graniastosłupów: sześcianu, prostopadłościanu, graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, czworokątnego i sześciokątnego oraz przekątne — z podziałem na szkołę podstawową i średnią.

11 wzorów szkoła podstawowa: 9szkoła średnia: 2

Objętość graniastosłupa SP · szkoła podstawowa

\[V=P_p\cdot H\]

Pole podstawy razy wysokość bryły — wzór wspólny dla każdego graniastosłupa.

Przykład: Podstawa trójkąt o polu 12 cm², $H=10$ cm: $V=120$ cm³.

Tematy lekcji:Objętość graniastosłupa Stereometria Objętość graniastosłupa Objętość graniastosłupa i ostrosłupa Jednostki objętości Graniastosłupy i ostrosłupy — zadania

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa SP · szkoła podstawowa

\[P_c=2P_p+P_b\]

Dwie podstawy plus pole powierzchni bocznej.

Przykład: $P_p=6$, $P_b=60$: $P_c=72$.

Tematy lekcji:Graniastosłupy proste Graniastosłupy Siatki graniastosłupów Pole powierzchni graniastosłupa Objętość graniastosłupa Bryły

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego SP · szkoła podstawowa

\[P_b=Ob_p\cdot H\]

Obwód podstawy razy wysokość (ściany boczne to prostokąty).

Przykład: Podstawa kwadrat o boku 3 ($Ob=12$), $H=5$: $P_b=60$.

Tematy lekcji:Pole powierzchni graniastosłupa Klasa 8 SP

Sześcian SP · szkoła podstawowa

\[V=a^3,\qquad P_c=6a^2\]

Objętość i pole powierzchni sześcianu o krawędzi $a$.

Przykład: $a=4$: $V=64$, $P_c=96$.

Przekątna sześcianu i ściany SP · szkoła podstawowa

\[d=a\sqrt3,\qquad d_{\text{ściany}}=a\sqrt2\]

Przekątna bryły i przekątna ściany sześcianu.

Przykład: $a=2$: $d=2\sqrt3$, przekątna ściany $2\sqrt2$.

Prostopadłościan SP · szkoła podstawowa

\[V=abc,\qquad P_c=2(ab+bc+ac)\]

Objętość i pole powierzchni prostopadłościanu o krawędziach $a$, $b$, $c$.

Przykład: $2\times3\times4$: $V=24$, $P_c=2(6+12+8)=52$.

Przekątna prostopadłościanu SP · szkoła podstawowa

\[d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\]

Twierdzenie Pitagorasa zastosowane dwukrotnie.

Przykład: $3\times4\times12$: $d=\sqrt{9+16+144}=13$.

Tematy lekcji:Stereometria

Graniastosłup prawidłowy trójkątny SP · szkoła podstawowa

\[V=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot H,\qquad P_c=\frac{a^2\sqrt3}{2}+3aH\]

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $a$.

Przykład: $a=4$, $H=10$: $V=40\sqrt3$, $P_c=8\sqrt3+120$.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny SP · szkoła podstawowa

\[V=a^2H,\qquad P_c=2a^2+4aH,\qquad d=\sqrt{2a^2+H^2}\]

Podstawą jest kwadrat o boku $a$.

Przykład: $a=3$, $H=4$: $V=36$, $P_c=66$, $d=\sqrt{34}$.

Tematy lekcji:Graniastosłupy Graniastosłupy — pole powierzchni i objętość Graniastosłupy Pole powierzchni i objętość brył Objętość i pole powierzchni brył Klasa 4 LO

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny LO · szkoła średnia

\[V=\frac{3a^2\sqrt3}{2}\cdot H,\qquad P_c=3a^2\sqrt3+6aH\]

Podstawą jest sześciokąt foremny o boku $a$.

Przykład: $a=2$, $H=5$: $V=30\sqrt3$, $P_c=12\sqrt3+60$.

Kąt nachylenia przekątnej do podstawy LO · szkoła średnia

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{H}{d_p}\]

$d_p$ — przekątna podstawy, $H$ — wysokość graniastosłupa.

Przykład: Sześcian o krawędzi $a$: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{a\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$.

← Twierdzenie Pitagorasa Ostrosłupy →