Wzory: Trójkąty

Pole i obwód trójkąta, wzór Herona, trójkąt równoboczny, suma kątów, twierdzenie sinusów i cosinusów, okrąg wpisany i opisany oraz podobieństwo trójkątów.

9 wzorów szkoła podstawowa: 3szkoła średnia: 3rozszerzenie: 3

Pole trójkąta SP · szkoła podstawowa

\[P=\frac{1}{2}a\cdot h\]

Połowa iloczynu boku i wysokości opuszczonej na ten bok.

Przykład: Bok 10 cm, wysokość 6 cm: $P=30$ cm².

Tematy lekcji:Pola trójkątów Pole równoległoboku Pola czworokątów Pole trójkąta Pola trójkątów — różne wzory Pole trapezu

Suma kątów trójkąta SP · szkoła podstawowa

\[\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\]

Suma miar kątów wewnętrznych każdego trójkąta.

Przykład: Kąty $50^\circ$ i $70^\circ$: trzeci kąt $60^\circ$.

Tematy lekcji:Miary kątów w trójkącie Kąty i trójkąty Kąty w trójkącie Trójkąty — rodzaje i własności Kąty w trójkącie Figury na płaszczyźnie

Trójkąt równoboczny SP · szkoła podstawowa

\[h=\frac{a\sqrt3}{2},\qquad P=\frac{a^2\sqrt3}{4}\]

Wysokość i pole trójkąta równobocznego o boku $a$.

Przykład: $a=6$: $h=3\sqrt3$, $P=9\sqrt3$.

Pole z sinusem kąta LO · szkoła średnia

\[P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\]

Dwa boki i kąt między nimi.

Przykład: $a=8$, $b=5$, $\gamma=30^\circ$: $P=\frac12\cdot8\cdot5\cdot\frac12=10$.

Tematy lekcji:Trygonometria Planimetria i trygonometria Planimetria — powtórzenie Planimetria i dowody geometryczne Klasa 4 LO

Wzór Herona R · rozszerzenie

\[P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad p=\frac{a+b+c}{2}\]

Pole z długości trzech boków.

Przykład: Boki 5, 6, 7: $p=9$, $P=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=6\sqrt6$.

Tematy lekcji:Pola czworokątów Pola trójkątów — różne wzory Pole trójkąta — wzór z sinusem Pole trójkąta Pole czworokąta

Twierdzenie sinusów R · rozszerzenie

\[\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R\]

Stosunek boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały; $R$ — promień okręgu opisanego.

Przykład: $a=10$, $\alpha=30^\circ$: $2R=20$, więc $R=10$.

Tematy lekcji:Twierdzenie sinusów Pola trójkątów — różne wzory Pole trójkąta — wzór z sinusem Trygonometria Planimetria Trygonometria — powtórzenie

Twierdzenie cosinusów R · rozszerzenie

\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\]

Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt.

Przykład: $a=5$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$: $c^2=25+64-40=49$, $c=7$.

Tematy lekcji:Twierdzenie cosinusów Twierdzenie Pitagorasa Wzór Herona Trygonometria Twierdzenie cosinusów (1)Twierdzenie cosinusów (2)

Promień okręgu wpisanego i opisanego LO · szkoła średnia

\[r=\frac{P}{p},\qquad R=\frac{abc}{4P}\]

$p$ — połowa obwodu, $P$ — pole trójkąta.

Przykład: Trójkąt 3–4–5: $P=6$, $p=6$, więc $r=1$; $R=\frac{60}{24}=2{,}5$.

Tematy lekcji:Stereometria Okrąg opisany na trójkącie Okrąg wpisany w trójkąt Planimetria Przekroje graniastosłupów i ostrosłupów Czworokąty wpisane w okrąg

Podobieństwo — skala i pola LO · szkoła średnia

\[\frac{a_1}{a}=k,\qquad \frac{P_1}{P}=k^2\]

Stosunek pól figur podobnych równa się kwadratowi skali.

Przykład: Skala $k=3$: pole wzrośnie 9 razy.

Tematy lekcji:Planimetria Podobieństwo trójkątów Trójkąty podobne Planimetria Pola wielokątów podobnych Podobieństwo trójkątów

← Trygonometria Czworokąty i wielokąty →