Wzory: Rachunek prawdopodobieństwa

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, zdarzenie przeciwne, suma zdarzeń, prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite oraz schemat Bernoulliego.

6 wzorów szkoła podstawowa: 1szkoła średnia: 2rozszerzenie: 3

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\]

Liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.

Przykład: Rzut kostką, wypadnie liczba parzysta: $P=\frac36=\frac12$.

\[P(A^{\prime})=1-P(A)\]

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie zajdzie.

Przykład: Szansa, że w dwóch rzutach monetą nie wypadnie orzeł: $1-\frac34=\frac14$.

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]

Odejmujemy część wspólną, by nie liczyć jej dwa razy.

Przykład: $P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}4$, $P(A\cap B)=0{,}2$: $P(A\cup B)=0{,}7$.

\[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0\]

Prawdopodobieństwo $A$, gdy wiemy, że zaszło $B$.

Przykład: Rzut kostką: szansa na 6, gdy wypadła liczba parzysta: $\frac{1/6}{1/2}=\frac13$.

\[P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+\ldots+P(A|B_n)P(B_n)\]

$B_1,\ldots,B_n$ — rozbicie przestrzeni zdarzeń; przydatne w doświadczeniach dwuetapowych.

Przykład: Urna 1 lub 2 (po $\frac12$), białe kule: $\frac12\cdot\frac{3}{5}+\frac12\cdot\frac{1}{5}=\frac25$.

\[P(S_n=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]

Prawdopodobieństwo $k$ sukcesów w $n$ niezależnych próbach.

Przykład: Dokładnie 2 szóstki w 3 rzutach: $\binom32\left(\frac16\right)^2\cdot\frac56=\frac{15}{216}$.

Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje