Wzory: Potęgi

Działania na potęgach o wykładniku naturalnym, całkowitym i wymiernym oraz notacja wykładnicza — wzory z przykładami dla szkoły podstawowej i liceum.

7 wzorów szkoła podstawowa: 5szkoła średnia: 2

\[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n},\quad a^1=a,\quad a^0=1\ (a\neq0)\]

Potęga to iloczyn $n$ jednakowych czynników.

Przykład: $2^5=32$, $(-3)^2=9$, $(-3)^3=-27$, $7^0=1$.

\[a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n}\]

Przy mnożeniu wykładniki dodajemy, przy dzieleniu — odejmujemy.

Przykład: $3^4\cdot3^2=3^6=729$, $5^7:5^5=5^2=25$.

\[\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}\]

Wykładniki mnożymy.

Przykład: $(2^3)^2=2^6=64$.

\[(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\]

Potęgujemy każdy czynnik osobno.

Przykład: $(2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3=1000$, $\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}$.

\[x=a\cdot10^{k},\quad 1\le a<10,\ k\in\mathbb{Z}\]

Zapis bardzo dużych i bardzo małych liczb.

Przykład: $45\,000\,000=4{,}5\cdot10^{7}$, $0{,}00032=3{,}2\cdot10^{-4}$.

\[a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}\]

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność potęgi.

Przykład: $2^{-3}=\frac{1}{8}$, $\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}=\frac{25}{4}$.

\[a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},\qquad a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\quad (a>0)\]

Potęgę o wykładniku ułamkowym zamieniamy na pierwiastek.

Przykład: $8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{64}=4$, $27^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$.

Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje