Wzory: Układy równań

Układy dwóch równań liniowych: metoda podstawiania, przeciwnych współczynników i wyznaczników oraz interpretacja geometryczna.

5 wzorów szkoła podstawowa: 3szkoła średnia: 1rozszerzenie: 1

\[\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\]

Rozwiązaniem jest para liczb spełniająca oba równania jednocześnie.

Przykład: $\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}\Rightarrow x=3,\ y=2$.

\[y=c_1-a_1x\ \ \text{podstawiamy do drugiego równania}\]

Wyznaczamy jedną niewiadomą z jednego równania i wstawiamy do drugiego.

Przykład: $y=2x$, $x+y=9\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3,\ y=6$.

\[\text{mnożymy równania tak, by } a_1=-a_2 \text{ lub } b_1=-b_2 \text{ i dodajemy}\]

Po dodaniu równań jedna niewiadoma się redukuje.

Przykład: $2x+3y=8$, $2x-3y=4$: dodajemy: $4x=12$, $x=3$, $y=\frac{2}{3}$.

\[\text{jedno: proste przecinają się; brak: równoległe; nieskończenie wiele: pokrywają się}\]

Interpretacja geometryczna — każde równanie to prosta.

Przykład: $y=2x+1$ i $y=2x+5$ są równoległe — układ sprzeczny.

\[W=a_1b_2-a_2b_1,\ W_x=c_1b_2-c_2b_1,\ W_y=a_1c_2-a_2c_1,\ x=\frac{W_x}{W},\ y=\frac{W_y}{W}\]

Dla $W\neq0$ układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Przykład: $x+2y=5$, $3x-y=1$: $W=-7$, $W_x=-7$, $W_y=-14$, więc $x=1$, $y=2$.

Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje