Poradnik maturalny — matura podstawowa

50 kluczy, 750 zadań z rozwiązaniami. Od 2025 r. arkusz podstawowy ma 50 pkt (1 pkt = 2% wyniku); w 2023–2024 miał 46 pkt, a w Formule 2015 (2020–2022) — 50 pkt.

PP01	Potęgi i pierwiastki Różne podstawy → sprowadź do liczby pierwszej. Suma potęg → wyłącz najmniejszą.	$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ $a^m:a^n=a^{m-n}$ $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$
PP02	Logarytmy Współczynnik → do wykładnika, suma → iloczyn, różnica → iloraz; na końcu argument jako potęga podstawy.	$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ $\log_a\dfrac xy=\log_a x-\log_a y$ $\log_a x^k=k\log_a x$
PP03	Wartość bezwzględna i przedziały Moduł = odległość. „Mniejsze” → przedział wokół środka, „większe” → dwa ramiona.	$\|x-a\|\lt r \iff a-r\lt x\lt a+r$ $\|x-a\|\gt r \iff x\lt a-r\ \text{lub}\ x\gt a+r$ $\|x-a\|=r \iff x=a-r\ \text{lub}\ x=a+r$
PP04	Wzory skróconego mnożenia Widzisz $A^2-B^2$ albo trójmian z „podwojonym iloczynem” → najpierw zwiń, potem licz.	$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
PP05	Dowody algebraiczne i podzielność Cel: $d\cdot(\text{liczba całkowita})$. Nieparzysta → $2k+1$. Na końcu zdanie z wnioskiem.	$n=2k$ (parzysta) $n=2k+1$ (nieparzysta) $A=d\cdot m \Rightarrow d\mid A$
PP06	Równania liniowe, iloczynowe i wymierne Iloczyn = 0 → każdy czynnik osobno. Ułamek → najpierw dziedzina!	$ab=0 \iff a=0\ \lor\ b=0$ $\dfrac AB=0 \iff A=0\ \land\ B\ne0$ $\dfrac AB=\dfrac CD \Rightarrow AD=BC$ ($B,D\ne0$)
PP07	Wielomiany i rozkład na czynniki Cztery wyrazy stopnia 3 → grupuj „2 + 2”. Wspólny czynnik → wyłącz, nigdy nie dziel.	$ax^3+bx^2+cx+d=x^2(ax+b)+\dots$ (grupowanie) $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
PP08	Nierówności liniowe i kwadratowe Wszystko na lewo → miejsca zerowe → szkic paraboli → odczyt. Dzielisz przez minus → odwracasz znak.	$\Delta=b^2-4ac$ $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
PP09	Układy równań i zadania tekstowe Dwie niewiadome + dwie informacje → układ. Na końcu sprawdzenie w treści.	$p\%$ liczby $x$: $\ \dfrac{p}{100}\cdot x$ po obniżce o $p\%$: $\ \left(1-\dfrac p{100}\right)x$ $s=v\cdot t$
PP10	Procenty i procent składany Zmiana o $p\%$ = mnożnik $1\pm\frac{p}{100}$. Kolejne zmiany mnożysz, wartość początkową odzyskujesz dzieleniem.	$\dfrac{p}{100}\cdot a$ $\dfrac ab\cdot100\%$ $K_n=K_0\left(1+\dfrac p{100}\right)^n$
PP11	Odczytywanie własności funkcji i funkcje kawałkami Wykres → rzutuj na osie; kółko puste = wartości brak. Klamra → wynik musi leżeć w przedziale wzoru.	$g(x)=f(x-p)+q$: wektor $[p,q]$ $D_g=D_f$ przesunięta o $p$ $y=-f(x)$: $(x,y)\to(x,-y)$
PP12	Funkcja liniowa i proste Równoległe: równe $a$. Prostopadłe: $a_1a_2=-1$. Przez punkt: podstaw i wylicz $b$.	$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ $y-y_0=a(x-x_0)$ $a_1=a_2$ (równoległe)
PP13	Funkcja kwadratowa Wierzchołek → postać kanoniczna. Miejsca zerowe → iloczynowa. $a$ z dodatkowego punktu.	$p=-\dfrac{b}{2a}$ $q=f(p)=-\dfrac{\Delta}{4a}$ $\Delta=b^2-4ac$
PP14	Ciąg arytmetyczny Wszystko przez $a_1$ i $r$. Trzy kolejne wyrazy: $2b=a+c$. Malejący → $r\lt 0$.	$a_n=a_1+(n-1)r$ $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ $S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n$
PP15	Ciąg geometryczny $a_n=a_1q^{n-1}$; trzy kolejne: $b^2=ac$; iloczyny wyrazów — licz sumę indeksów.	$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ $S_n=a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ ($q\ne1$) $b^2=ac$
PP16	Trygonometria podstawowa Jedynka + tangens = iloraz. Kąt rozwarty → cosinus i tangens ujemne.	$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\sin30^\circ=\cos60^\circ=\tfrac12$
PP17	Trójkąty: Pitagoras, pola, sinus i cosinus Dwa boki + kąt między nimi → $\frac12ab\sin\gamma$ i tw. cosinusów. Równoboczny → $h=\frac{a\sqrt3}{2}$.	$P=\tfrac12ab\sin\gamma$ $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ $\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R$
PP18	Podobieństwo, twierdzenie Talesa i dwusieczna Równe kąty → podobieństwo → proporcja. Pola przez $k^2$, objętości przez $k^3$.	$\dfrac{P_2}{P_1}=k^2$ $\dfrac{V_2}{V_1}=k^3$ $\dfrac{\|AD\|}{\|DB\|}=\dfrac{\|AC\|}{\|BC\|}$
PP19	Okrąg i kąty Wpisany = połowa środkowego. Dwa promienie → trójkąt równoramienny. Średnica → $90^\circ$.	$\alpha_{\text{wpis}}=\tfrac12\alpha_{\text{środ}}$ $l=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r$ $P_{\text{wycinka}}=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2$
PP20	Geometria analityczna Przekątne równoległoboku → wspólny środek. Okrąg: znak w nawiasie odwrotny, prawa strona to $r^2$.	$\|AB\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ $S=\left(\tfrac{x_A+x_B}{2},\tfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
PP21	Stereometria Znajdź trójkąt prostokątny w bryle. Ostrosłup i stożek: $\frac13$. Rozwarcie stożka dziel na pół.	$V=\tfrac13P_pH$ $d=a\sqrt3$ (sześcian) $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
PP22	Kombinatoryka Kratki na pozycje, zacznij od najbardziej ograniczonej. Kolizja warunków → przypadki i dodawanie.	$n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$ $n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$ $n^k$ (z powtórzeniami)
PP23	Prawdopodobieństwo Najpierw $\|\Omega\|$, potem $\|A\|$. „Co najmniej jeden” → przeciwne. Pary są uporządkowane.	$P(A)=\dfrac{\|A\|}{\|\Omega\|}$ $P(A^\prime)=1-P(A)$ $\|\Omega\|=n^2$ (ze zwracaniem)
PP24	Statystyka: średnia, mediana, dominanta Suma = $n\cdot\bar x$. Mediana: posortuj, licz pozycje. Dominanta to wartość.	$\bar x=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$ $\bar x_w=\dfrac{w_1x_1+\ldots+w_nx_n}{w_1+\ldots+w_n}$ $\sigma^2=\dfrac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n}$
PP25	Optymalizacja i modelowanie funkcją kwadratową Zmienna → druga wielkość z warunku → $P(x)$ + dziedzina → wierzchołek → pełna odpowiedź.	$p=-\dfrac{b}{2a}$ $q=f(p)$ $P(x)=x\cdot(\ldots)$
PP26	Liczby rzeczywiste i ich zbiory Rozpoznaj typ liczby po rozwinięciu i po tym, czy pierwiastek się 'ładnie' liczy; przedział czytaj jako fragment osi.	$\mathbb{N}\subset\mathbb{C}\subset\mathbb{W}\subset\mathbb{R}$ $0,\!(k)=\dfrac{k}{9}$ $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$
PP27	Pierwiastki i potęgi o wykładniku wymiernym Zamień pierwiastek na potęgę o wykładniku wymiernym i licz jak na potęgach: mnożysz -> dodajesz wykładniki.	$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ $(a^x)^y=a^{xy}$
PP28	Cechy podzielności i liczby całkowite Suma cyfr decyduje o podzielności przez 3 i 9; ostatnie cyfry o 2, 4, 5 i 10.	$3\mid n\iff 3\mid(\text{suma cyfr})$ $\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$ liczba parzysta $=2k$
PP29	Zastosowania wzorów skróconego mnożenia Rozpoznaj $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ oraz kwadrat sumy/różnicy - zamieniają trudne liczby na łatwe.	$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
PP30	Wyrażenia i równania wymierne Najpierw dziedzina (mianownik $\ne0$), potem skracasz albo mnożysz na krzyż.	dziedzina: $\text{mianownik}\ne0$ $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\iff ad=bc$ $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$
PP31	Pojęcie funkcji i sposoby jej opisu Funkcja przypisuje każdemu $x$ dokładnie jedna wartość $y$; dziedzinę i wartości czytaj z wykresu jak współrzędne.	$y=f(x)$ miejsce zerowe: $f(x)=0$ $f(x)=ax+b$ - funkcja liniowa
PP32	Postać kanoniczna i ogólna funkcji kwadratowej Wierzchołek to $(p,q)$; z postaci ogólnej $p=-\dfrac{b}{2a}$, a $q=f(p)$.	$y=a(x-p)^2+q$ $p=-\dfrac{b}{2a}$ $\Delta=b^2-4ac$
PP33	Zastosowania funkcji kwadratowej Najwieksza/najmniejsza wartosc to $q$ w wierzcholku: $a>0$ daje minimum, $a<0$ - maksimum.	$p=-\dfrac{b}{2a}$ $q=f(p)$ $a>0\Rightarrow$ minimum $q$
PP34	Wielomiany i równania wielomianowe Rozłóż na czynniki i przyrównaj każdy do zera: iloczyn $=0$, gdy któryś czynnik $=0$.	$a\cdot b=0\iff a=0\ \lor\ b=0$ $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$ $x^3-x=x(x-1)(x+1)$
PP35	Funkcja wykładnicza $y=a^x$ rośnie dla $a>1$, maleje dla $0	$a^0=1$ $a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$ $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$
PP36	Własności logarytmów w zadaniach Suma logarytmów -> logarytm iloczynu, różnica -> ilorazu, współczynnik -> wykładnik.	$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ $\log_a x^k=k\log_a x$
PP37	Suma wyrazow ciagu arytmetycznego $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$; najpierw znajdz $a_n$, potem sumuj.	$a_n=a_1+(n-1)r$ $r=a_{n+1}-a_n$ $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$
PP38	Ciąg geometryczny - zastosowania $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$; iloraz $q$ to stosunek kolejnych wyrazów.	$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$ $q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ $a_2=\sqrt{a_1\cdot a_3}$
PP39	Średnia arytmetyczna i ważona Średnia $=\dfrac{\text{suma}}{\text{liczba}}$; ważona uwzględnia krotności (wagi).	$\bar{x}=\dfrac{x_1+\dots+x_n}{n}$ $\bar{x}_w=\dfrac{\sum x_i w_i}{\sum w_i}$ suma $=\bar{x}\cdot n$
PP40	Mediana, dominanta i skala centylowa Mediana to środkowa wartość po uporządkowaniu; dominanta to wartość najczęstsza.	mediana ($n$ nieparzyste): wyraz $\dfrac{n+1}{2}$ mediana ($n$ parzyste): $\dfrac{x_{n/2}+x_{n/2+1}}{2}$ rozstęp $=x_{\max}-x_{\min}$
PP41	Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta Wartości dla $30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ$ warto znać na pamięć; jedynka $\sin^2\!\alpha+\cos^2\!\alpha=1$.	$\sin^2\!\alpha+\cos^2\!\alpha=1$ $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\sin30^\circ=\tfrac12,\ \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$
PP42	Związki między funkcjami trygonometrycznymi Jedynka $\sin^2\!\alpha+\cos^2\!\alpha=1$ oraz $\tan\alpha=\tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ wiążą wszystkie funkcje.	$\sin^2\!\alpha+\cos^2\!\alpha=1$ $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\tan\alpha\cdot\cos\alpha=\sin\alpha$
PP43	Kąty w okregu - srodkowy i wpisany Kąt srodkowy jest dwa razy wiekszy od wpisanego opartego na tym samym luku.	$\alpha_{\text{srod}}=2\alpha_{\text{wpis}}$ $\alpha_{\text{wpis}}=\tfrac12\alpha_{\text{srod}}$ kąt na srednicy $=90^\circ$
PP44	Pole czworokąta Dobierz wzór do figury: kwadrat $a^2$, prostokąt $ab$, romb $\tfrac12 d_1 d_2$, trapez $\tfrac12(a+b)h$.	kwadrat: $P=a^2$ prostokąt: $P=a\cdot b$ równoległobok: $P=a\cdot h$
PP45	Okrąg opisany i wpisany; okrąg a prosta Na trójkącie prostokątnym okrąg opisany ma promień równy połowie przeciwprostokątnej.	$L=2\pi r$ $P=\pi r^2$ $d=2r$
PP46	Graniastosłupy - pole i objętość Objętość $=$ pole podstawy $\times$ wysokość; pole całkowite $=2\times$ podstawa $+$ pole boczne.	$V=P_p\cdot H$ prostopadłościan: $V=abc$ sześcian: $V=a^3$
PP47	Ostrosłupy - pole i objętość Objętość ostrosłupa $=\tfrac13\times$ pole podstawy $\times$ wysokość.	$V=\tfrac13 P_p\cdot H$ czworokątny: $P_p=a^2$ $V=\tfrac13 a^2 H$
PP48	Bryły obrotowe: walec, stożek, kula Walec $V=\pi r^2 H$, stożek $V=\tfrac13\pi r^2 H$, kula $V=\tfrac43\pi r^3$.	walec: $V=\pi r^2 H$ walec: $P_b=2\pi r H$ stożek: $V=\tfrac13\pi r^2 H$
PP49	Reguła mnożenia i reguła dodawania Etapy po kolei -> mnożysz; alternatywa (albo-albo) -> dodajesz.	etapy: $k_1\cdot k_2\cdot\ldots$ alternatywa: $k_1+k_2$ $n$ cyfr, powtórzenia: $c^n$
PP50	Okrąg w układzie współrzędnych Równanie $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$: środek $(a,b)$, promień $r$.	$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ środek: $(a,b)$ promień: $r=\sqrt{r^2}$

Poradnik maturalny — matura podstawowa

A+ — najwyższy zwrot z nauki

A — bardzo ważny

B — ważny po opanowaniu filarów

Ściąga — wszystkie klucze

Pobierz PDF — matura podstawowa

Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje