PP08

Nierówności liniowe i kwadratowe — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetAbardzo ważny
Częstotliwość7/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszuśr. 2,4 pkt (1–3)
Formy zadańzamknięte ABCD (liniowa, rysunek osi); otwarte 2 pkt (kwadratowa)
🔑 Sygnał: Wszystko na lewo → miejsca zerowe → szkic paraboli → odczyt. Dzielisz przez minus → odwracasz znak.

🎯 Co musisz umieć

  • rozwiązywać nierówności liniowe (także z ułamkami) i zaznaczać zbiór rozwiązań na osi,
  • pamiętać o zmianie zwrotu nierówności przy mnożeniu/dzieleniu przez liczbę ujemną,
  • rozwiązywać nierówności kwadratowe: miejsca zerowe → szkic paraboli → odczyt,
  • odczytywać zbiór rozwiązań $f(x)\ge0$, $f(x)\lt 0$ z wykresu funkcji kwadratowej.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • „Rozwiąż nierówność” z $x^2$ — otwarte za 2 pkt, co roku w arkuszu,
  • nierówność liniowa + cztery przedziały lub cztery rysunki osi do wyboru,
  • wykres paraboli i pytanie o zbiór argumentów, dla których $f(x)\ge0$.

📘 Teoria w pigułce

  • Mnożenie lub dzielenie nierówności przez liczbę ujemną odwraca znak: $-3x\le12 \Rightarrow x\ge-4$.
  • Parabola o ramionach w górę ($a\gt 0$): wartości ujemne między miejscami zerowymi, dodatnie na zewnątrz.
  • $\Delta\lt 0$ i $a\gt 0$: trójmian jest dodatni dla każdego $x$; $\Delta\lt 0$ i $a\lt 0$: ujemny dla każdego $x$.
  • Znak nieostry ($\le,\ \ge$) → końce przedziału domknięte.

∑ Najważniejsze wzory

$\Delta=b^2-4ac$
$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Przenieś wszystko na jedną stronę: $3x^2+4x\ge6x+8 \Rightarrow 3x^2-2x-8\ge0$.
  2. Wyznacz miejsca zerowe (delta lub rozkład na czynniki).
  3. Naszkicuj parabolę: zaznacz miejsca zerowe i kierunek ramion.
  4. Odczytaj odpowiedź z rysunku i zapisz ją jako przedział lub sumę przedziałów.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ $-2x\gt 6 \Rightarrow x\gt -3$✓ $x\lt -3$dzielenie przez ujemną odwraca znak
✗ $x^2-4x\ge0 \Rightarrow x\ge4$✓ $x(x-4)\ge0$: $x\le0$ lub $x\ge4$nie dziel przez $x$
✗ odpowiedź: „$x_1=-2,\ x_2=3$”✓ $x\in(-\infty,-2]\cup[3,\infty)$same miejsca zerowe = 1 pkt z 2
✗ $x\in(-\infty,-2)\cap(3,\infty)$✓ $x\in(-\infty,-2)\cup(3,\infty)$dwa ramiona łączy suma, nie iloczyn

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 10 z matury 2026

Rozwiąż nierówność $2x^2+3x\ge5x+12$.

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2026zad. 102 pkt$3x^2+4x\ge6x+8$
2025zad. 6, 103 pkt$3-2(1-2x)\ge2x-17$ (oś); $3(2x^2+1)\lt 11x$
2024zad. 6, 14.12 pktnierówność liniowa z ułamkiem; $f(x)\ge0$ z wykresu paraboli
2023zad. 61 pkt$-2(x+3)\le\dfrac{2-x}{3}$
2022zad. 7, 293 pkt$\frac25-\frac x3\gt \frac x5$; $3x^2-2x-9\ge7$ (2 pkt)
2021zad. 6, 293 pkt$\frac{2-x}{2}-2x\ge1$; $x^2-5x\le14$ (2 pkt)
2020zad. 5, 263 pkt$3(1-x)\gt 2(3x-1)-12x$; $2(x-1)(x+3)\gt x-1$ (2 pkt)
Działy w serwisie:Rozwiązywanie nierównościNierówności kwadratowe — powtórzenie

✍️ Trening: 10 zadań w formacie maturalnym

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP08.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $2x-3\gt 5$ jest przedział

A$(4,\infty)$
B$(-\infty,4)$
C$(1,\infty)$
D$[4,\infty)$
PP08.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-3x\le12$ jest przedział

A$[-4,\infty)$
B$(-\infty,-4]$
C$(-\infty,4]$
D$[4,\infty)$
PP08.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-2(x+1)\le\dfrac{3-x}{2}$ jest przedział

A$\left[-\dfrac73,\infty\right)$
B$\left(-\infty,-\dfrac73\right]$
C$\left[\dfrac73,\infty\right)$
D$[-1,\infty)$
PP08.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $x^2\lt 9$ jest

A$(-3,3)$
B$(-\infty,-3)\cup(3,\infty)$
C$(-\infty,3)$
D$(-9,9)$
PP08.5zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $x^2-4x\ge0$ jest

A$(-\infty,0]\cup[4,\infty)$
B$[0,4]$
C$[4,\infty)$
D$(-\infty,0)\cup(4,\infty)$
PP08.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $x^2+2x+5\gt 0$ jest

A$\mathbb{R}$
B$\varnothing$
C$(-1,\infty)$
D$(-\infty,-1)$
PP08.7odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Funkcja kwadratowa $f$ ma miejsca zerowe $0$ i $4$, a jej wykres jest parabolą o wierzchołku $(2,-4)$. Zapisz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\le0$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PP08.8otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Rozwiąż nierówność $2(x^2-1)\lt 3x$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PP08.9otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Rozwiąż nierówność $3x^2+5x\ge x+4$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PP08.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Rozwiąż nierówność $(x-2)(x+1)\le2(x+1)$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 3,6 MB ⬇✍️Zadania10 zadań na klucz, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 2,2 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 4,1 MB ⬇
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas