PP42

Związki między funkcjami trygonometrycznymi — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetBważny po opanowaniu filarów
Częstotliwość4/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszu1 pkt
Formy zadańzamknięte ABCD i krótka odpowiedź
🔑 Sygnał: Jedynka $\sin^2\!\alpha+\cos^2\!\alpha=1$ oraz $\tan\alpha=\tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ wiążą wszystkie funkcje.

🎯 Co musisz umieć

  • stosować jedynkę trygonometryczną do wyznaczania funkcji,
  • korzystać z $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$,
  • upraszczać wyrażenia trygonometryczne,
  • wyznaczać funkcje kąta ostrego z trójkąta prostokątnego.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • dana jedna funkcja - druga wyznacz z jedynki,
  • dany $\tan$ - potraktuj jak stosunek boków (trójkąt prostokątny),
  • wyrażenie z $\tan\cdot\cos$ - uprasza się do $\sin$.

📘 Teoria w pigułce

  • Jedynka trygonometryczna: $\sin^2\!\alpha+\cos^2\!\alpha=1$ - z jednej funkcji liczymy druga.
  • $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, więc $\tan\alpha\cdot\cos\alpha=\sin\alpha$.
  • Dla kąta ostrego funkcje to stosunki boków trójkąta prostokątnego (np. $\tan=\tfrac{\text{przeciwprostokątna?}}{}$ - dokładniej przyprostokątne).

∑ Najważniejsze wzory

$\sin^2\!\alpha+\cos^2\!\alpha=1$
$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
$\tan\alpha\cdot\cos\alpha=\sin\alpha$
$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\!\alpha}$ (kąt ostry)
trójkąt $3\text{-}4\text{-}5$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Zapisz jedynkę trygonometryczną.
  2. Podstaw znana wartość i wyznacz druga funkcje.
  3. Dla $\tan$ skorzystaj ze stosunku $\sin/\cos$.
  4. Dla kąta ostrego wybierz znak dodatni.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ $\sin\alpha=\tfrac35\Rightarrow\cos\alpha=\tfrac25$✓ $\cos\alpha=\tfrac45$użyj jedynki, nie odejmuj liczników
✗ $\tan\alpha=\sin\alpha\cdot\cos\alpha$✓ $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$to iloraz, nie iloczyn
✗ z jedynki wychodzi zawsze wynik dodatni i ujemny✓ dla kąta ostrego bierzemy dodatnifunkcje kąta ostrego są dodatnie
✗ $\sin^2\!\alpha=2\sin\alpha$✓ $\sin^2\!\alpha=(\sin\alpha)^2$to kwadrat wartości
✗ $\tan\alpha\cdot\cos\alpha=\cos\alpha$✓ $=\sin\alpha$$\cos$ się skraca

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania z jedynką trygonometryczną z matury podstawowej

Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\sin\alpha=0{,}6$. Wartość $\cos\alpha$ jest równa

A. $0{,}8$
B. $0{,}4$
C. $0{,}6$
D. $1{,}2$

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2023zad. 181 pkt$\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cdot \cos^2\alpha$
2024zad. 191 pkt$\sin^3 20°+\cos^2 20°\cdot \sin20°$
2025zad. 171 pkt$\sqrt{3}\tg\alpha=2\sin\alpha$
2026zad. 181 pkt$|AC|=2\sqrt{10}$

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP42.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wyrażenie $\sin^2\!\alpha+\cos^2\!\alpha$ jest równe

A$1$
B$0$
C$2$
D$\alpha$
PP42.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wyrażenie $\tan\alpha\cdot\cos\alpha$ (dla $\cos\alpha\ne0$) jest równe

A$\cos\alpha$
B$\sin\alpha$
C$1$
D$\tan\alpha$
PP42.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\cos\alpha=\tfrac12$. Wartość $\sin\alpha$ jest równa

A$\tfrac12$
B$1$
C$\tfrac{\sqrt3}{2}$
D$\tfrac{\sqrt2}{2}$
PP42.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\sin\alpha=\tfrac{12}{13}$. Wartość $\cos\alpha$ jest równa

A$\tfrac{12}{13}$
B$\tfrac{1}{13}$
C$\tfrac{13}{5}$
D$\tfrac{5}{13}$
PP42.5odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\cos\alpha=0{,}8$. Oblicz $\sin\alpha$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt
PP42.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wyrażenie $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ jest równe

A$\tan\alpha$
B$1$
C$\sin\alpha$
D$\cos\alpha$
PP42.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Jeśli $\sin\alpha=\tfrac{4}{5}$ (kąt ostry), to $\tan\alpha$ jest równy

A$\tfrac{3}{4}$
B$\tfrac{4}{3}$
C$\tfrac{4}{5}$
D$\tfrac{5}{3}$
PP42.8zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wyrażenie $1-\sin^2\!\alpha$ jest równe

A$\sin^2\!\alpha$
B$\cos\alpha$
C$\cos^2\!\alpha$
D$0$
PP42.9zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\cos\alpha=\tfrac{\sqrt3}{2}$. Wartość $\sin\alpha$ jest równa

A$\tfrac{\sqrt3}{2}$
B$1$
C$\tfrac{\sqrt2}{2}$
D$\tfrac12$
PP42.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\tan\alpha=\tfrac34$. Oblicz $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PP42.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\cos\alpha=0{,}6$. Wartość $\sin\alpha$ jest równa

A$0{,}8$
B$0{,}6$
C$0{,}4$
D$1{,}2$
PP42.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\cos\alpha=\tfrac35$. Wartość $\sin\alpha$ jest równa

A$\tfrac35$
B$\tfrac45$
C$\tfrac53$
D$\tfrac15$
PP42.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wyrażenie $\tan\alpha\cdot\cos\alpha$ jest równe

A$\cos\alpha$
B$1$
C$\sin\alpha$
D$\tan\alpha$
PP42.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\sin\alpha=\tfrac{\sqrt3}{2}$. Wartość $\cos\alpha$ jest równa

A$\tfrac{\sqrt3}{2}$
B$1$
C$\tfrac{\sqrt2}{2}$
D$\tfrac12$
PP42.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\sin\alpha=0{,}8$. Oblicz $\cos\alpha$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas