PP45

Okrąg opisany i wpisany; okrąg a prosta — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetBważny po opanowaniu filarów
Częstotliwość4/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszu1 pkt
Formy zadańzamknięte ABCD i krótka odpowiedź
🔑 Sygnał: Na trójkącie prostokątnym okrąg opisany ma promień równy połowie przeciwprostokątnej.

🎯 Co musisz umieć

  • obliczać obwód i pole koła,
  • wyznaczać promień okręgu wpisanego i opisanego na kwadracie,
  • stosować fakt: okrąg opisany na trójkącie prostokątnym ma $R=\tfrac12$ przeciwprostokątnej,
  • określać wzajemne położenie prostej i okręgu.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • 'obwód / pole koła' - użyj $2\pi r$ lub $\pi r^2$,
  • trójkąt prostokątny wpisany - średnica to przeciwprostokątna,
  • prosta i okrąg - porównaj odległość środka od prostej z promieniem.

📘 Teoria w pigułce

  • Obwód koła $L=2\pi r$, pole $P=\pi r^2$. Średnica $d=2r$.
  • Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym ma środek w połowie przeciwprostokątnej, więc $R=\tfrac12\cdot$przeciwprostokątna.
  • Prosta jest styczna do okręgu, gdy odległość środka od prostej równa się promieniowi; przy mniejszej - sieczna, przy większej - rozłączna.

∑ Najważniejsze wzory

$L=2\pi r$
$P=\pi r^2$
$d=2r$
trójkąt prostokątny: $R=\tfrac12 c$
kwadrat bok $a$: $r_{\text{wpis}}=\tfrac{a}{2}$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Zapisz dane (promień, bok, przeciwprostokątna).
  2. Dobierz wzór: obwód, pole lub promień.
  3. Dla trójkąta prostokątnego policz przeciwprostokątna z Pitagorasa.
  4. Podstaw i policz wynik.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ obwód koła $=\pi r^2$✓ obwód $=2\pi r$; $\pi r^2$ to polenie mylić pola z obwodem
✗ $R$ okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym $=$ przeciwprostokątna✓ $=\tfrac12$ przeciwprostokątnejśrodek w połowie
✗ promień wpisany w kwadrat o boku $a$ to $a$✓ to $\tfrac{a}{2}$połowa boku
✗ prosta zawsze przecina okrąg✓ może być styczna lub rozłącznadecyduje odległość od środka
✗ średnica to $r$✓ średnica $=2r$dwa promienie

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania o okręgu i trójkącie z matury podstawowej

Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną $10$. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy

A. $5$
B. $10$
C. $20$
D. $2{,}5$

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2020zad. 151 pkt$B=(-6,-19)$
2022zad. 171 pkt$ABC$
2023zad. 383 pkt$|AB|=4$
2026zad. 221 pkt$\mathcal{T}$
Działy w serwisie:Okrąg opisany na trójkącie

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP45.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Obwód koła o promieniu $5$ jest równy

A$10\pi$
B$25\pi$
C$5\pi$
D$10$
PP45.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pole koła o promieniu $3$ jest równe

A$6\pi$
B$9\pi$
C$3\pi$
D$9$
PP45.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Promień okręgu wpisanego w kwadrat o boku $6$ jest równy

A$6$
B$12$
C$3$
D$1{,}5$
PP45.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Prosta styczna do okręgu ma z nim wspólnych punktów

Adokładnie $2$
B$0$
Cnieskończenie wiele
Ddokładnie $1$
PP45.5odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Kwadrat ma bok $10$. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten kwadrat.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt
PP45.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Średnica okręgu o promieniu $7$ jest równa

A$14$
B$7$
C$49$
D$3{,}5$
PP45.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Odległość środka okręgu o promieniu $4$ od pewnej prostej wynosi $6$. Prosta ta jest

Astyczna
Brozłączna z okręgiem
Csieczna
Dśrednica
PP45.8zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną $16$. Promień okręgu opisanego jest równy

A$16$
B$32$
C$8$
D$4$
PP45.9zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Obwód koła jest równy $12\pi$. Promień tego koła jest równy

A$12$
B$3$
C$24$
D$6$
PP45.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $6$ i $8$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PP45.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Obwód koła o promieniu $4$ jest równy

A$8\pi$
B$16\pi$
C$4\pi$
D$8$
PP45.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pole koła o promieniu $5$ jest równe

A$10\pi$
B$25\pi$
C$5\pi$
D$25$
PP45.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Promień okręgu wpisanego w kwadrat o boku $8$ jest równy

A$8$
B$16$
C$4$
D$2$
PP45.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną $12$. Promień okręgu opisanego jest równy

A$12$
B$24$
C$3$
D$6$
PP45.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Oblicz pole koła o promieniu $2$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 1,3 MB ⬇✍️Zadaniazadania do każdego klucza, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 6,1 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 3,5 MB ⬇
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas