PP10

Procenty i procent składany — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetAbardzo ważny
Częstotliwość6/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszuśr. 1,0 pkt (0–2)
Formy zadańzamknięte ABCD (lokata, podwyżki/obniżki); element zadań tekstowych
🔑 Sygnał: Zmiana o $p\%$ = mnożnik $1\pm\frac{p}{100}$. Kolejne zmiany mnożysz, wartość początkową odzyskujesz dzieleniem.

🎯 Co musisz umieć

  • obliczać procent danej liczby i liczbę na podstawie jej procentu,
  • opisywać podwyżkę i obniżkę mnożnikiem $1\pm\frac p{100}$ i składać kolejne zmiany,
  • odróżniać zmianę o $p\%$ od zmiany o $p$ punktów procentowych,
  • stosować procent składany $K_n=K_0\left(1+\frac p{100}\right)^n$.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • „lokata”, „kapitalizacja”, „odsetki dopisywane co rok” → procent składany,
  • „cenę podwyższono, a potem obniżono” → iloczyn mnożników,
  • „cena po obniżce wynosi… — jaka była cena przed obniżką?” → dzielenie przez mnożnik.

📘 Teoria w pigułce

  • Mnożnik zmiany: podwyżka o $p\%$ → $\cdot\left(1+\frac p{100}\right)$, obniżka → $\cdot\left(1-\frac p{100}\right)$. Kolejne zmiany mnożymy.
  • Podwyżka o $10\%$ i obniżka o $10\%$ nie znoszą się: $1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$ → spadek o $1\%$.
  • Punkty procentowe to różnica dwóch procentów: z $5\%$ do $7\%$ to wzrost o $2$ p.p., czyli o $40\%$.
  • Procent składany: odsetki doliczane są do kapitału, więc po $n$ okresach $K_n=K_0\left(1+\frac p{100}\right)^n$.

∑ Najważniejsze wzory

$\dfrac{p}{100}\cdot a$
$\dfrac ab\cdot100\%$
$K_n=K_0\left(1+\dfrac p{100}\right)^n$
zmiana względna: $\dfrac{\text{nowa}-\text{stara}}{\text{stara}}\cdot100\%$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Ustal wartość początkową (to ona jest $100\%$).
  2. Każdą zmianę zapisz jako mnożnik i pomnóż je przez siebie.
  3. Szukasz wartości początkowej? Podziel wartość końcową przez iloczyn mnożników.
  4. Wynik porównaj z danymi: po obniżce musi wyjść mniej, po podwyżce więcej.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ cena po obniżce $20\%$ to $96$ → $96\cdot1{,}2$✓ $96:0{,}8=120$$20\%$ liczymy od ceny przed obniżką
✗ $+10\%$, $-10\%$ → bez zmian✓ $1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$ → $-1\%$procenty od różnych podstaw
✗ z $5\%$ na $7\%$ → wzrost o $2\%$✓ o $2$ punkty procentowe, czyli o $40\%$p.p. ≠ %
✗ lokata $2$ lata po $4\%$: $K\cdot1{,}08$✓ $K\cdot1{,}04^2=K\cdot1{,}0816$odsetki od odsetek

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 2 z matury 2026

Klient wpłacił do banku $8000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym roku bank dolicza odsetki w wysokości $5\%$ od kwoty bieżącego kapitału (bez podatku). Po dwóch latach na lokacie będzie
A. $8820$ zł
B. $8800$ zł
C. $8400$ zł
D. $8840$ zł

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2026zad. 21 pktlokata dwuletnia $6\%$, procent składany
2025zad. 92 pktwydatki zespołów jako procent przydzielonych kwot
2024zad. 101 pktukład równań z procentami ($5\%$ i $10\%$ drzew)
20230 pktbrak osobnego zadania
2022zad. 41 pktdwie obniżki po $10\%$ — cena przed obniżkami
2021zad. 21 pktliczba $78$ stanowi $150\%$ liczby $c$
2020zad. 41 pkto ile procent podnieść cenę po obniżce o $20\%$
Działy w serwisie:ProcentyProcent składany

✍️ Trening: 10 zadań w formacie maturalnym

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP10.1zamknięte★★ 0–1 pkt🔗

$15\%$ liczby $240$ jest równe

A$36$
B$16$
C$3{,}6$
D$225$
PP10.2zamknięte★★ 0–1 pkt🔗

Cenę towaru równą $80$ zł podwyższono o $25\%$. Nowa cena jest równa

A$100$ zł
B$105$ zł
C$20$ zł
D$60$ zł
PP10.3zamknięte★★ 0–1 pkt🔗

Po obniżce o $20\%$ kurtka kosztuje $96$ zł. Przed obniżką kurtka kosztowała

A$120$ zł
B$115{,}20$ zł
C$116$ zł
D$76{,}80$ zł
PP10.4zamknięte★★ 0–1 pkt🔗

Cenę towaru podwyższono o $10\%$, a następnie nową cenę obniżono o $10\%$. W porównaniu z ceną początkową cena końcowa

Anie zmieniła się
Bzmalała o $1\%$
Cwzrosła o $1\%$
Dzmalała o $10\%$
PP10.5zamknięte★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $a$ jest o $25\%$ większa od liczby dodatniej $b$. Wynika stąd, że liczba $b$ jest mniejsza od liczby $a$ o

A$25\%$
B$20\%$
C$75\%$
D$80\%$
PP10.6zamknięte★★ 0–1 pkt🔗

Oprocentowanie kredytu wzrosło z $5\%$ do $7\%$. Oznacza to, że oprocentowanie wzrosło o

A$2$ punkty procentowe, czyli o $40\%$
B$2\%$, czyli o $2$ punkty procentowe
C$40$ punktów procentowych
D$20\%$
PP10.7zamknięte★★ 0–1 pkt🔗

Na lokatę dwuletnią z oprocentowaniem $4\%$ w skali roku i roczną kapitalizacją odsetek wpłacono $5000$ zł. Po dwóch latach (bez podatku) na lokacie będzie

A$5408$ zł
B$5400$ zł
C$5416$ zł
D$5200$ zł
PP10.8prawda / fałsz★★ 0–1 pkt🔗

Kurtka kosztowała $400$ zł. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

  1. Po obniżce o $15\%$ kurtka kosztuje $340$ zł.
  2. Po dwóch kolejnych obniżkach o $10\%$ kurtka kosztuje $320$ zł.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
PP10.9odpowiedź krótka★★ 0–2 pkt🔗

Kwotę $2000$ zł złożono na lokatę na $3$ lata z oprocentowaniem $5\%$ w skali roku i roczną kapitalizacją odsetek. Oblicz kwotę na lokacie po $3$ latach (pomiń podatek).

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PP10.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Cenę roweru obniżono o $20\%$, a po miesiącu nową cenę podwyższono o $15\%$. Po tych zmianach rower kosztuje $1472$ zł. Oblicz cenę początkową roweru i ustal, o ile procent cena końcowa różni się od ceny początkowej.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas