PP04

Wzory skróconego mnożenia — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetAbardzo ważny

Częstotliwość6/7arkuszy 2020–2026

Punkty w arkuszuśr. 0,9 pkt (0–1)

Formy zadańzamknięte ABCD; narzędzie w dowodach i usuwaniu niewymierności

🔑 Sygnał: Widzisz $A^2-B^2$ albo trójmian z „podwojonym iloczynem” → najpierw zwiń, potem licz.

🎯 Co musisz umieć

rozwijać $(a\pm b)^2$, $(a\pm b)^3$ i zwijać wyrażenia do tych postaci,
rozkładać różnicę kwadratów i sumę/różnicę sześcianów,
upraszczać wyrażenia z pierwiastkami i usuwać niewymierność typu $\dfrac{c}{\sqrt a-b}$,
rozpoznawać „pełny kwadrat” w trójmianie, np. $x^2+10x+25=(x+5)^2$.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

różnica kwadratów dwóch dwumianów, np. $(3x+2)^2-(2x-3)^2$ — to motyw z trzech ostatnich matur,
wartość trójmianu dla „dziwnego” $x$ (np. $x=\sqrt2-5$) — sygnał, że trójmian jest pełnym kwadratem,
nawias z pierwiastkami podniesiony do kwadratu.

📘 Teoria w pigułce

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ działa także dla całych nawiasów: $(3x+2)^2-(2x-3)^2=[(3x+2)-(2x-3)]\cdot[(3x+2)+(2x-3)]$.
Pełny kwadrat: $x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2$ — rozpoznasz go po tym, że środkowy wyraz to podwojony iloczyn.
Sprzężenie: $(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b$ — tak pozbywamy się pierwiastka z mianownika.

∑ Najważniejsze wzory

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

⚙️ Algorytm krok po kroku

Najpierw rozpoznaj wzór — często szybciej jest zwinąć niż rozwijać.
Różnica kwadratów nawiasów → $(A-B)(A+B)$ (mniej rachunków, mniej pomyłek ze znakami).
Wartość wyrażenia dla konkretnego $x$: najpierw zwiń do kwadratu, potem podstaw.
Kontrola: podstaw np. $x=1$ do wyrażenia i do wybranej odpowiedzi — wyniki muszą być równe.

⚠️ Najczęstsze pułapki

Źle	Dobrze	Dlaczego
✗ $(a-b)^2=a^2-b^2$	✓ $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$	zgubiony wyraz $2ab$
✗ $(2x+3)^2=4x^2+9$	✓ $(2x+3)^2=4x^2+12x+9$	$2\cdot2x\cdot3=12x$
✗ $-(2x-3)^2=-4x^2-12x-9$	✓ $-(2x-3)^2=-4x^2+12x-9$	minus przed nawiasem zmienia wszystkie znaki
✗ $(\sqrt5-1)^2=5-1=4$	✓ $(\sqrt5-1)^2=6-2\sqrt5$	to nie jest różnica kwadratów

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 4 z matury 2025

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $(3x+1)^2-(x-3)^2$ jest równa wartości wyrażenia

A. $8x^2+12x-8$

B. $8x^2-8$

C. $8x^2+10$

D. $10x^2+12x+10$

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

Rok	Zadania	Pkt	Czego dotyczyło
2026	zad. 6	1 pkt	$x^2+10x+25$ dla $x=\sqrt2-5$
2025	zad. 4 (+ zad. 1)	1 pkt	$(3x+2)^2-(2x-3)^2$; $(\sqrt{32}-\sqrt2)^2$
2024	zad. 5	1 pkt	$(2a+b)^2-(2a-b)^2$
2023	zad. 5	1 pkt	$(2a-3)^2-(2a+3)^2$
2022	zad. 2	1 pkt	wartość $\frac{x^2+y^2}{xy}$ przy warunku $2x=3y$
2021	—	0 pkt	brak zadania z tego klucza
2020	zad. 1	1 pkt	$x^2-6x+9$ dla $x=\sqrt3+3$

Działy w serwisie:Mnożenie sum algebraicznych Wzory skróconego mnożenia Wzory skróconego mnożenia dla wielomianów

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP04.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wyrażenie $(x-4)^2$ jest równe

A$x^2-8x+16$

B$x^2-16$

C$x^2+16$

D$x^2-4x+16$

PP04.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wyrażenie $(2a+3)^2$ jest równe

A$4a^2+9$

B$4a^2+12a+9$

C$4a^2+6a+9$

D$2a^2+12a+9$

PP04.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $(\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)$ jest równa

A$10$

B$2\sqrt{21}$

C$4$

D$4-2\sqrt{21}$

PP04.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wyrażenie $(2a-5)^2-(2a+5)^2$ jest równe

A$0$

B$-50$

C$8a^2+50$

D$-40a$

PP04.5zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wartość wyrażenia $x^2-6x+9$ dla $x=3+\sqrt5$ jest równa

A$5$

B$\sqrt5$

C$14+6\sqrt5$

D$25$

PP04.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $(\sqrt5-1)^2$ jest równa

A$4$

B$6-2\sqrt5$

C$6$

D$4-2\sqrt5$

PP04.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wyrażenie $x^3-8$ można zapisać w postaci

A$(x-2)^3$

B$(x-2)(x^2-2x+4)$

C$(x-2)(x^2+2x+4)$

D$(x+2)(x^2-2x+4)$

PP04.8prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$: $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$.
Liczba $(1+\sqrt2)^2+(1-\sqrt2)^2$ jest niewymierna.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P

P/F1. P, 2. F

F/P1. F, 2. P

F/F1. F, 2. F

PP04.9odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Usuń niewymierność z mianownika ułamka $\dfrac{4}{\sqrt5-1}$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

PP04.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Liczby rzeczywiste $a$ i $b$ spełniają warunki $a+b=6$ oraz $ab=4$. Oblicz $a^2+b^2$ oraz $(a-b)^2$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

PP04.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wyrażenie $(x+1)^2$ jest równe

A$x^2+1$

B$x^2+x+1$

C$x^2+2x$

D$x^2+2x+1$

PP04.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wyrażenie $x^2-9$ rozkłada się na

A$(x-3)(x+3)$

B$(x-3)^2$

C$(x-9)(x+1)$

D$(x-3)(x+9)$

PP04.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $51^2-49^2$ jest równa

A$2$

B$200$

C$100$

D$400$

PP04.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wyrażenie $(a-b)^2$ jest równe

A$a^2-b^2$

B$a^2+2ab+b^2$

C$a^2-2ab+b^2$

D$a^2-2ab-b^2$

PP04.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Oblicz $103^2$ ze wzoru skróconego mnożenia.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 1,3 MB ⬇✍️Zadaniazadania do każdego klucza, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 6,1 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 3,5 MB ⬇