PP13

Funkcja kwadratowa — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetA+najwyższy zwrot z nauki

Częstotliwość7/7arkuszy 2020–2026

Punkty w arkuszuśr. 3,1 pkt (1–6)

Formy zadańwiązki zadań do jednej paraboli (ABCD, uzupełnij), otwarte 2–4 pkt (wzór funkcji)

🔑 Sygnał: Wierzchołek → postać kanoniczna. Miejsca zerowe → iloczynowa. $a$ z dodatkowego punktu.

🎯 Co musisz umieć

przechodzić między postaciami: ogólną, kanoniczną i iloczynową,
wyznaczać wierzchołek, oś symetrii, zbiór wartości i przedziały monotoniczności,
wyznaczać wzór funkcji z danych (wierzchołek, miejsca zerowe, punkt wykresu),
wykorzystywać symetrię paraboli: $p=\frac{x_1+x_2}{2}$.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

rysunek paraboli z wierzchołkiem w punkcie kratowym i kilka poleceń do niego,
„jednym z miejsc zerowych jest…, a osią symetrii…” → symetria,
„wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej/kanonicznej” — otwarte 2–4 pkt.

📘 Teoria w pigułce

Postać kanoniczna $f(x)=a(x-p)^2+q$ — wierzchołek $W=(p,q)$, oś symetrii $x=p$.
Postać iloczynowa $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ — miejsca zerowe $x_1$, $x_2$; wtedy $p=\dfrac{x_1+x_2}2$.
$a\gt 0$: ramiona w górę, $ZW=[q,\infty)$, maleje na $(-\infty,p]$, rośnie na $[p,\infty)$; $a\lt 0$ — odwrotnie, $ZW=(-\infty,q]$.
Punkty symetryczne względem osi $x=p$ mają równe wartości: $f(p-d)=f(p+d)$.

∑ Najważniejsze wzory

$p=-\dfrac{b}{2a}$

$q=f(p)=-\dfrac{\Delta}{4a}$

$\Delta=b^2-4ac$

$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$

$p=\dfrac{x_1+x_2}{2}$

⚙️ Algorytm krok po kroku

Zapisz dane w najwygodniejszej postaci: wierzchołek → kanoniczna, miejsca zerowe → iloczynowa.
Wyznacz $a$, podstawiając dodatkowy punkt wykresu.
Jeśli trzeba — wymnóż do postaci ogólnej $ax^2+bx+c$.
Własności (ZW, monotoniczność) odczytuj z wierzchołka i znaku $a$.

⚠️ Najczęstsze pułapki

Źle	Dobrze	Dlaczego
✗ $y=2(x+3)^2-5$: $W=(3,-5)$	✓ $W=(-3,-5)$	$(x-p)$, więc $p=-3$
✗ $ZW$ dla $a\lt 0$: $[q,\infty)$	✓ $(-\infty,q]$	ramiona w dół → wartość największa
✗ monotoniczność: „rośnie dla $y\gt q$”	✓ rośnie na $[p,\infty)$ (dla $a\gt 0$)	przedziały argumentów, nie wartości
✗ $f(x)=(x+1)(x-5)$, $x_1=1$	✓ $x_1=-1$, $x_2=5$	znak odwrotny do tego w nawiasie

✍️ Przykład wzorcowy typ zadań 12 i 14 z matur 2025–2026

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli — wykresu funkcji kwadratowej $f$ o wierzchołku $W=(2,-4)$, przechodzącej przez punkt $(0,0)$.

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej oraz podaj zbiór wartości i przedział, w którym $f$ jest malejąca.

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

Rok	Zadania	Pkt	Czego dotyczyło
2026	zad. 14	4 pkt	wzór $f$ z wierzchołka i miejsca zerowego funkcji $g(x)=f(x+1)$
2025	zad. 12.1–12.3	4 pkt	wzór z wykresu paraboli, oś symetrii, miejsca zerowe $g=f-3$
2024	zad. 14.1–14.3	3 pkt	$f(x)\ge0$ z wykresu, wzór funkcji, równość z osi symetrii
2023	zad. 14	1 pkt	drugie miejsce zerowe z osi symetrii
2022	zad. 12, 35	6 pkt	postać kanoniczna z wierzchołka; wzór $f$ z warunku stycznej $y=6$ (5 pkt)
2021	zad. 12	1 pkt	przedział monotoniczności $f(x)=-2(x+1)(x-3)$
2020	zad. 7, 8, 9	3 pkt	wiązka trzech zadań do paraboli $f(x)=a(x-1)(x-3)$

Działy w serwisie:Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej (1)Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej (2)Równania kwadratowe — powtórzenie Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej — powtórzenie

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP13.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wierzchołkiem paraboli $y=2(x-3)^2-5$ jest punkt

A$(3,-5)$

B$(-3,-5)$

C$(3,5)$

D$(-3,5)$

PP13.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Osią symetrii wykresu funkcji $f(x)=x^2-6x+1$ jest prosta o równaniu

A$x=-3$

B$x=3$

C$x=6$

D$y=3$

PP13.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Miejscami zerowymi funkcji $f(x)=-2(x+1)(x-5)$ są liczby

A$1$ i $-5$

B$-2$, $-1$ i $5$

C$-1$ i $5$

D$1$ i $5$

PP13.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Zbiorem wartości funkcji $f(x)=-(x-2)^2+4$ jest przedział

A$[4,\infty)$

B$(-\infty,2]$

C$[2,\infty)$

D$(-\infty,4]$

PP13.5zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f$ jest liczba $1$, a osią symetrii wykresu jest prosta $x=4$. Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

A$7$

B$-2$

C$3$

D$9$

PP13.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja $f(x)=x^2+bx+c$ ma wierzchołek w punkcie $W=(2,-1)$. Wtedy

A$b=4,\ c=3$

B$b=-4,\ c=3$

C$b=-4,\ c=-1$

D$b=4,\ c=5$

PP13.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja $f(x)=x^2-4x-5$ jest malejąca w przedziale

A$[2,\infty)$

B$(-\infty,-5]$

C$(-\infty,2]$

D$[-1,5]$

PP13.8prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Dana jest funkcja $f(x)=-x^2+6x-5$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

Największa wartość funkcji $f$ jest równa $4$.
Wykres funkcji $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,5)$.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P

P/F1. P, 2. F

F/P1. F, 2. P

F/F1. F, 2. F

PP13.9odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Wykres funkcji kwadratowej $f$ ma wierzchołek $W=(1,3)$ i przechodzi przez punkt $P=(3,-5)$. Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

PP13.10otwarte★★★ 0–4 pkt🔗

Funkcja kwadratowa $f$ ma miejsca zerowe $-1$ i $5$, a jej wykres przechodzi przez punkt $(2,-9)$. a) Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej. b) Podaj współrzędne wierzchołka paraboli. c) Podaj zbiór wartości funkcji $f$. d) Podaj przedział, w którym $f$ jest rosnąca.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt

PP13.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wierzchołek paraboli $y=(x-2)^2+1$ ma współrzędne

A$(-2,1)$

B$(2,-1)$

C$(1,2)$

D$(2,1)$

PP13.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wyróżnik trójmianu $x^2-4x+3$ jest równy

A$4$

B$16$

C$-4$

D$28$

PP13.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Miejsca zerowe funkcji $y=x^2-2x-15$ to

A$-5$ i $3$

B$-3$ i $5$

C$3$ i $5$

D$-3$ i $-5$

PP13.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Ramiona paraboli $y=-x^2+2x$ są skierowane

Aw górę

Bw prawo

Cw dół

Dw lewo

PP13.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Podaj współrzędne wierzchołka paraboli $y=x^2-4x+3$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 1,3 MB ⬇✍️Zadaniazadania do każdego klucza, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 6,1 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 3,5 MB ⬇