PP07

Wielomiany i rozkład na czynniki — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetBważny po opanowaniu filarów
Częstotliwość2/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszuśr. 1,0 pkt (0–4)
Formy zadańotwarte za 3 pkt („Rozwiąż równanie”), prawda/fałsz
🔑 Sygnał: Cztery wyrazy stopnia 3 → grupuj „2 + 2”. Wspólny czynnik → wyłącz, nigdy nie dziel.

🎯 Co musisz umieć

  • rozkładać wielomian na czynniki: wyłączanie przed nawias, grupowanie wyrazów, wzory skróconego mnożenia,
  • rozwiązywać równania wielomianowe w postaci iloczynowej,
  • obliczać wartość wielomianu i sprawdzać, czy liczba jest pierwiastkiem,
  • rozpoznawać czynnik kwadratowy bez pierwiastków ($\Delta\lt 0$).

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • równanie stopnia $3$ z czterema wyrazami, np. $x^3-2x^2-3x+6=0$ → grupowanie „2 + 2”,
  • wyrażenie z $x$ w każdym wyrazie → wyłącz $x$ przed nawias,
  • zadanie P/F o rozkładzie lub pierwiastkach konkretnego wielomianu.

📘 Teoria w pigułce

  • Grupowanie działa, gdy pary wyrazów mają ten sam „nawias”: $x^3-2x^2-3x+6=x^2(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x^2-3)$.
  • Szybki test: stosunek dwóch pierwszych współczynników = stosunek dwóch ostatnich ($1:(-2)=(-3):6$).
  • Liczba $a$ jest pierwiastkiem $W$, gdy $W(a)=0$; wtedy $(x-a)$ jest czynnikiem $W$.
  • Czynnik $x^2+c$ z $c\gt 0$ nie ma pierwiastków; $x^2-c$ daje $\pm\sqrt c$.

∑ Najważniejsze wzory

$ax^3+bx^2+cx+d=x^2(ax+b)+\dots$ (grupowanie)
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
$W(a)=0 \iff (x-a)\mid W(x)$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Przenieś wszystko na jedną stronę (prawa strona $=0$).
  2. Wyłącz wspólny czynnik (np. $x$) — nie dziel przez niego!
  3. Pogrupuj wyrazy w pary i wyłącz wspólny nawias.
  4. Rozłóż dalej ($x^2-4=(x-2)(x+2)$) i przyrównaj każdy czynnik do zera.
  5. Zapisz wszystkie rozwiązania (także niewymierne, np. $\pm\sqrt3$).

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ $x^3=4x \Rightarrow x^2=4$✓ $x(x^2-4)=0$: $x\in\{-2,0,2\}$dzielenie przez $x$ gubi $x=0$
✗ $x^2=3 \Rightarrow x=\sqrt3$✓ $x=-\sqrt3$ lub $x=\sqrt3$dwa rozwiązania
✗ $\Delta$ dla $x^3-2x^2-3x+6$✓ grupowanie → $(x-2)(x^2-3)$delta tylko dla trójmianu kwadratowego
✗ $x^2+4=0 \Rightarrow x=\pm2$✓ brak pierwiastków$x^2\ge0$

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 9 z matur 2023–2024

Rozwiąż równanie $x^3+3x^2-4x-12=0$.

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2026—0 pktbrak osobnego zadania
2025—0 pkttylko równanie iloczynowe (klucz PP06)
2024zad. 8, 94 pktP/F o $W(x)=3x^3+6x^2+9x$; $x^3-2x^2-3x+6=0$
2023zad. 93 pkt$3x^3-2x^2-12x+8=0$
2022—0 pktwielomianów nie było w podstawie Formuły 2015
2021—0 pktwielomianów nie było w podstawie Formuły 2015
2020—0 pktwielomianów nie było w podstawie Formuły 2015
Działy w serwisie:Równania wielomianoweRozkład wielomianu na czynniki (1)Rozkład wielomianu na czynniki (2)

✍️ Trening: 10 zadań w formacie maturalnym

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP07.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Stopień wielomianu $W(x)=(2x^3-1)(x^2+4)$ jest równy

A$5$
B$6$
C$3$
D$2$
PP07.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $-2$ jest pierwiastkiem wielomianu

A$x^3+8$
B$x^3-8$
C$x^2+4$
D$x^2+2x+2$
PP07.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wielomian $x^3-9x$ w postaci iloczynowej ma postać

A$x(x-3)(x+3)$
B$x(x-3)^2$
C$(x-3)(x+3)$
D$x^2(x-9)$
PP07.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $x^3-4x^2-x+4=0$ jest

A$\{-1,1,4\}$
B$\{1,4\}$
C$\{-4,-1,1\}$
D$\{4\}$
PP07.5prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Dany jest wielomian $W(x)=2x^3-4x^2+6x$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

  1. $W$ jest iloczynem wielomianów $2x$ oraz $x^2-2x+3$.
  2. Równanie $W(x)=0$ ma trzy rozwiązania.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
PP07.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wartość wielomianu $W(x)=x^3-3x+1$ dla $x=\sqrt3$ jest równa

A$1$
B$3\sqrt3+1$
C$-1$
D$6\sqrt3+1$
PP07.7odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Rozłóż na czynniki możliwie najniższego stopnia wielomian $x^4-16$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PP07.8otwarte★★★ 0–3 pkt🔗

Rozwiąż równanie $2x^3-x^2-8x+4=0$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
PP07.9otwarte★★★ 0–3 pkt🔗

Rozwiąż równanie $x^3+2x^2-3x-6=0$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
PP07.10otwarte★★★ 0–3 pkt🔗

Rozwiąż równanie $x(x-2)(x+2)=x(x-2)$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 3,6 MB ⬇✍️Zadania10 zadań na klucz, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 2,2 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 4,1 MB ⬇
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas