PP12

Funkcja liniowa i proste — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetA+najwyższy zwrot z nauki

Częstotliwość7/7arkuszy 2020–2026

Punkty w arkuszuśr. 7,3 pkt (2–23)

Formy zadańzamknięte ABCD (2–3 zadania w arkuszu), P/F, czasem krótkie otwarte

🔑 Sygnał: Równoległe: równe $a$. Prostopadłe: $a_1a_2=-1$. Przez punkt: podstaw i wylicz $b$.

🎯 Co musisz umieć

odczytywać znaczenie współczynników $a$ i $b$ we wzorze $y=ax+b$ (także z wykresu),
badać monotoniczność i miejsce zerowe (także z parametrem),
wyznaczać równanie prostej przez dwa punkty oraz prostej równoległej/prostopadłej przez punkt,
wyznaczać punkt przecięcia prostych i kąt nachylenia prostej ($a=\operatorname{tg}\alpha$).

🔍 Jak rozpoznać zadanie

„funkcja liniowa $f(x)=(\dots m\dots)x+\dots$ jest rosnąca / nie ma miejsca zerowego” → warunek na $a$,
„proste są równoległe / prostopadłe, gdy $m=$…” → $a_1=a_2$ lub $a_1a_2=-1$,
rysunek prostej z zaznaczonymi punktami kratowymi.

📘 Teoria w pigułce

$f(x)=ax+b$: $a\gt 0$ — rosnąca, $a\lt 0$ — malejąca, $a=0$ — stała. Wykres przecina $Oy$ w $(0,b)$.
Miejsce zerowe: $x_0=-\dfrac ba$ (gdy $a\ne0$). Funkcja stała $y=b$, $b\ne0$, nie ma miejsca zerowego.
$a=\operatorname{tg}\alpha$, gdzie $\alpha$ — kąt między prostą a dodatnią półosią $Ox$: $a\gt 0$ — kąt ostry, $a\lt 0$ — rozwarty.
Proste $y=a_1x+b_1$ i $y=a_2x+b_2$: równoległe ⇔ $a_1=a_2$; prostopadłe ⇔ $a_1\cdot a_2=-1$.

∑ Najważniejsze wzory

$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

$y-y_0=a(x-x_0)$

$a_1=a_2$ (równoległe)

$a_1\cdot a_2=-1$ (prostopadłe)

$a=\operatorname{tg}\alpha$

⚙️ Algorytm krok po kroku

Prosta przez punkt $P=(x_0,y_0)$: ustal $a$ (z warunku równoległości/prostopadłości lub z dwóch punktów).
Podstaw $P$ do $y=ax+b$ i wyznacz $b$.
Punkt przecięcia: przyrównaj wzory $a_1x+b_1=a_2x+b_2$, wyznacz $x$, potem $y$.
Kontrola: podstaw punkt do obu równań.

⚠️ Najczęstsze pułapki

Źle	Dobrze	Dlaczego
✗ prostopadła do $y=2x$: $y=-2x+b$	✓ $y=-\tfrac12x+b$	odwrotny i przeciwny
✗ $f(x)=(3-m)x-4$ bez miejsca zerowego → $m=4$	✓ $3-m=0 \Rightarrow m=3$	funkcja stała $y=-4$
✗ $a$ z dwóch punktów: $\dfrac{x_B-x_A}{y_B-y_A}$	✓ $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$	przyrost $y$ przez przyrost $x$
✗ $y=-3x+6$ przecina $Oy$ w $(6,0)$	✓ w $(0,6)$	na osi $Oy$ jest $x=0$

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 23 z matur 2024–2025

Proste $k$ i $l$ są określone równaniami $k:\ y=(2m-1)x+4$ oraz $l:\ y=-\tfrac13x-2$. Proste $k$ i $l$ są prostopadłe, gdy

A. $m=2$

B. $m=-1$

C. $m=\tfrac13$

D. $m=0$

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

Rok	Zadania	Pkt	Czego dotyczyło
2026	zad. 13.1, 13.2, 26	3 pkt	P/F i tangens kąta nachylenia z wykresu; prosta równoległa przez punkt
2025	zad. 13, 23	2 pkt	brak miejsca zerowego $f(x)=(3-m)x-4$; proste równoległe z parametrem
2024	zad. 12, 13, 23	3 pkt	monotoniczność z parametrem; wspólne miejsce zerowe; prostopadłość
2023	zad. 13, 23, 24	3 pkt	znaki $a$ i $b$ z wykresu; prostopadłość i punkt przecięcia; prosta równoległa
2022	zad. 11, 21, 22	3 pkt	miejsce zerowe; prosta przez początek układu; prostopadłość prostych
2021	zad. 9, 31	3 pkt	równoległość z parametrem; wzór $f$ z warunków $f(0)=2$, $f(4)-f(2)=6$ (2 pkt)
2020	zad. 11, 13, 16, 18	4 pkt	znaki $a$ i $b$ z wykresu; równoległość z parametrem; punkt na wykresie; prosta przez dwa punkty

Działy w serwisie:Równanie prostej na płaszczyźnie Warunek prostopadłości prostych Własności funkcji liniowej Współczynnik kierunkowy prostej

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP12.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Miejscem zerowym funkcji $f(x)=-2x+6$ jest liczba

A$3$

B$-3$

C$6$

D$-6$

PP12.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja liniowa $f(x)=(2m-4)x+1$ jest rosnąca dla każdej liczby $m$ z przedziału

A$(-\infty,2)$

B$(2,\infty)$

C$(4,\infty)$

D$(-\infty,-2)$

PP12.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Prosta przechodząca przez punkty $A=(-1,3)$ i $B=(2,-3)$ ma równanie

A$y=2x+5$

B$y=-2x+5$

C$y=-2x+1$

D$y=-\tfrac12x+\tfrac52$

PP12.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Prosta równoległa do prostej $y=3x-2$ i przechodząca przez punkt $P=(1,5)$ ma równanie

A$y=-\tfrac13x+\tfrac{16}3$

B$y=3x+5$

C$y=3x-2$

D$y=3x+2$

PP12.5zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Proste $k:\ y=(m-1)x+3$ oraz $l:\ y=\tfrac12x-4$ są prostopadłe, gdy $m$ jest równe

A$-1$

B$3$

C$\tfrac32$

D$-3$

PP12.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej $f(x)=ax+b$. Wynika stąd, że

A$a\gt 0$ i $b\gt 0$

B$a\lt 0$ i $b\gt 0$

C$a\lt 0$ i $b\lt 0$

D$a\gt 0$ i $b\lt 0$

PP12.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcje liniowe $f(x)=2x-8$ oraz $g(x)=ax+3$ mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik $a$ jest równy

A$\tfrac34$

B$-\tfrac43$

C$-\tfrac34$

D$\tfrac43$

PP12.8prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Dana jest funkcja $f(x)=-3x+6$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

Wykres funkcji $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,6)$.
Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ pod kątem ostrym.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P

P/F1. P, 2. F

F/P1. F, 2. P

F/F1. F, 2. F

PP12.9odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Oblicz miarę kąta, jaki prosta $y=\sqrt3x-2$ tworzy z dodatnią półosią $Ox$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

PP12.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Dana jest prosta $k:\ y=2x-3$ oraz punkt $P=(4,1)$. Wyznacz równanie prostej $l$ prostopadłej do prostej $k$ i przechodzącej przez punkt $P$. Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostych $k$ i $l$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

PP12.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Współczynnik kierunkowy prostej $y=2x+3$ jest równy

A$3$

B$-2$

C$\tfrac32$

D$2$

PP12.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Miejscem zerowym funkcji $y=x-5$ jest

A$5$

B$-5$

C$0$

D$1$

PP12.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Prosta $y=3x-2$ przecina oś $OY$ w punkcie

A$(-2,0)$

B$(0,-2)$

C$(0,3)$

D$(2,0)$

PP12.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Do prostej $y=2x-3$ równoległa jest prosta

A$y=-2x+1$

B$y=3x-3$

C$y=2x+1$

D$y=\tfrac12 x$

PP12.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Wyznacz miejsce zerowe funkcji $y=2x-8$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 1,3 MB ⬇✍️Zadaniazadania do każdego klucza, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 6,1 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 3,5 MB ⬇