PP50

Okrąg w układzie współrzędnych — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetBważny po opanowaniu filarów

Częstotliwość2/7arkuszy 2020–2026

Punkty w arkuszu1 pkt

Formy zadańzamknięte ABCD (równanie okręgu)

🔑 Sygnał: Równanie $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$: środek $(a,b)$, promień $r$.

🎯 Co musisz umieć

odczytywać środek i promień z równania okręgu,
zapisywać równanie okręgu o danym środku i promieniu,
sprawdzać, czy punkt leży na okręgu,
wyznaczać średnice okręgu.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

'środek i promień' - z równania $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ odczytaj $a,b,r$,
'równanie okręgu' - podstaw środek i promień do wzoru,
'czy punkt leży na okręgu' - wstaw współrzędne i sprawdź równość.

📘 Teoria w pigułce

Równanie okręgu: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, gdzie $(a,b)$ to środek, a $r$ - promień.
Uwaga na znaki: $(x+3)^2=(x-(-3))^2$, więc pierwsza współrzędna środka to $-3$. Po prawej jest $r^2$, więc $r=\sqrt{r^2}$.
Średnica $d=2r$. Punkt leży na okręgu, gdy jego współrzędne spełniają równanie.

∑ Najważniejsze wzory

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

środek: $(a,b)$

promień: $r=\sqrt{r^2}$

$x^2+y^2=r^2$ - środek $(0,0)$

średnica $d=2r$

⚙️ Algorytm krok po kroku

Zapisz równanie w postaci $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Odczytaj $a,b$ (uwaga na znaki) oraz $r^2$.
Promień to $\sqrt{r^2}$.
Do sprawdzenia punktu - podstaw współrzędne.

⚠️ Najczęstsze pułapki

Źle	Dobrze	Dlaczego
✗ okrąg $(x+3)^2+(y-1)^2=9$ ma środek $(3,1)$	✓ środek $(-3,1)$	znak przeciwny do liczby w nawiasie
✗ promień okręgu $\dots=16$ to $16$	✓ $r=\sqrt{16}=4$	po prawej jest $r^2$
✗ $x^2+y^2=25$ ma środek $(25,0)$	✓ środek $(0,0)$	brak przesunięć
✗ średnica równa promieniowi	✓ $d=2r$	dwa promienie
✗ środek to liczby z prawej strony	✓ środek to $(a,b)$ z nawiasów	prawa strona to $r^2$

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania z okręgiem w układzie (podstawa 2023+)

Środek okręgu o równaniu $(x-2)^2+(y-3)^2=25$ ma współrzędne

A. $(2,3)$

B. $(-2,-3)$

C. $(2,3)$ i $r=25$

D. $(3,2)$

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

Rok	Zadania	Pkt	Czego dotyczyło
2025	zad. 24	1 pkt	$P=(0,0)$
2026	zad. 25	1 pkt	$(x-1)^2+(y+3)^2=5$

Działy w serwisie:Okrąg w układzie współrzędnych

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP50.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Promień okręgu o równaniu $(x-1)^2+(y+2)^2=16$ jest równy

A$4$

B$16$

C$8$

D$2$

PP50.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Środek okręgu o równaniu $(x+3)^2+(y-1)^2=9$ ma współrzędne

A$(3,1)$

B$(-3,1)$

C$(3,-1)$

D$(-3,-1)$

PP50.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Promień okręgu o równaniu $x^2+y^2=36$ jest równy

A$36$

B$18$

C$6$

D$9$

PP50.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Środek okręgu $(x-5)^2+y^2=4$ ma współrzędne

A$(0,5)$

B$(-5,0)$

C$(5,4)$

D$(5,0)$

PP50.5odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Podaj środek i promień okręgu o równaniu $(x-4)^2+(y+1)^2=49$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt

PP50.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Równanie okręgu o środku $(0,0)$ i promieniu $5$ to

A$x^2+y^2=25$

B$x^2+y^2=5$

C$(x-5)^2+y^2=0$

D$x^2+y^2=10$

PP50.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Czy punkt $(3,0)$ leży na okręgu $x^2+y^2=9$?

Anie

Btak

Ctylko dla $y=3$

Dnie da się ustalić

PP50.8zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Równanie okręgu o środku $(2,-1)$ i promieniu $3$ to

A$(x+2)^2+(y-1)^2=9$

B$(x-2)^2+(y-1)^2=3$

C$(x-2)^2+(y+1)^2=9$

D$(x-2)^2+(y+1)^2=3$

PP50.9zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Średnica okręgu o równaniu $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ jest równa

A$5$

B$25$

C$50$

D$10$

PP50.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Dany jest okrąg o równaniu $(x+2)^2+(y-3)^2=16$. Podaj jego środek, promień i średnicę.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

PP50.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Środek okręgu $(x-3)^2+(y-2)^2=16$ ma współrzędne

A$(3,2)$

B$(-3,-2)$

C$(2,3)$

D$(3,-2)$

PP50.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Promień okręgu $x^2+y^2=49$ jest równy

A$49$

B$7$

C$14$

D$24{,}5$

PP50.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Środek okręgu $(x+1)^2+(y-4)^2=9$ ma współrzędne

A$(1,4)$

B$(1,-4)$

C$(-1,4)$

D$(-1,-4)$

PP50.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Równanie okręgu o środku $(0,0)$ i promieniu $3$ to

A$x^2+y^2=3$

B$x^2+y^2=6$

C$(x-3)^2+y^2=0$

D$x^2+y^2=9$

PP50.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Podaj środek i promień okręgu $(x-2)^2+(y+5)^2=36$.