PP21

Stereometria — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetA+najwyższy zwrot z nauki

Częstotliwość6/7arkuszy 2020–2026

Punkty w arkuszuśr. 6,3 pkt (0–26)

Formy zadańzamknięte ABCD (1–2 zadania) i otwarte 2–4 pkt (objętość, pole, kąt nachylenia)

🔑 Sygnał: Znajdź trójkąt prostokątny w bryle. Ostrosłup i stożek: $\frac13$. Rozwarcie stożka dziel na pół.

🎯 Co musisz umieć

obliczać objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli,
wskazywać kąt nachylenia krawędzi bocznej / ściany bocznej / przekątnej do płaszczyzny podstawy,
wyznaczać długości w trójkątach prostokątnych „wewnątrz” bryły (Pitagoras + trygonometria),
stosować przekątne: sześcianu $a\sqrt3$, prostopadłościanu $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

„ostrosłup prawidłowy czworokątny”, „krawędź boczna nachylona pod kątem” → trójkąt: wysokość – połowa przekątnej podstawy – krawędź boczna,
„wysokość ściany bocznej nachylona pod kątem” → trójkąt: wysokość – połowa krawędzi podstawy – wysokość ściany,
stożek: „tworząca”, „kąt rozwarcia” → trójkąt: $H$, $r$, $l$ z kątem $\frac{\text{rozwarcie}}{2}$.

📘 Teoria w pigułce

Graniastosłup: $V=P_p\cdot H$; ostrosłup: $V=\frac13P_p\cdot H$. $P_c=2P_p+P_b$ (graniastosłup), $P_c=P_p+P_b$ (ostrosłup).
Ostrosłup prawidłowy: spodek wysokości to środek podstawy (w kwadracie — przecięcie przekątnych, odległy o $\frac{a\sqrt2}2$ od wierzchołka i o $\frac a2$ od boku).
Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy: między krawędzią a jej rzutem; ściany bocznej: między wysokością ściany a odcinkiem od spodka wysokości do środka krawędzi podstawy.
Walec: $V=\pi r^2H$, $P_b=2\pi rH$. Stożek: $V=\frac13\pi r^2H$, $P_b=\pi rl$, $l^2=r^2+H^2$. Kula: $V=\frac43\pi r^3$, $P=4\pi r^2$.

∑ Najważniejsze wzory

$V=\tfrac13P_pH$

$d=a\sqrt3$ (sześcian)

$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

$V_{\text{stożka}}=\tfrac13\pi r^2H$

$V_{\text{kuli}}=\tfrac43\pi r^3$

$l^2=r^2+H^2$

⚙️ Algorytm krok po kroku

Narysuj bryłę i wyróżnij trójkąt prostokątny, w którym leży szukany kąt lub długość.
Ustal, które boki tego trójkąta znasz (połowa przekątnej? połowa krawędzi? tworząca?).
Oblicz brakujące długości: funkcje trygonometryczne kąta / Pitagoras.
Podstaw do wzoru na objętość lub pole; sprawdź jednostki i czy nie zapomniałeś o $\frac13$.

⚠️ Najczęstsze pułapki

Źle	Dobrze	Dlaczego
✗ ostrosłup: $V=P_p\cdot H$	✓ $V=\tfrac13P_p\cdot H$	jedna trzecia!
✗ kąt ściany bocznej: z połową przekątnej	✓ z połową krawędzi $\frac a2$	różne trójkąty dla krawędzi i ściany
✗ kąt rozwarcia $120^\circ$ w trójkącie $H,r,l$	✓ w trójkącie jest $60^\circ$ (połowa)	kąt rozwarcia to kąt przy wierzchołku osiowego przekroju
✗ $P_b$ stożka $=\pi rH$	✓ $P_b=\pi rl$	tworząca, nie wysokość

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 25 z matury 2025

Tworząca stożka ma długość $12$, a kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60^\circ$. Oblicz objętość tego stożka.

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

Rok	Zadania	Pkt	Czego dotyczyło
2026	zad. 27, 28	3 pkt	ostrosłup prawidłowy czworokątny z kątem $30^\circ$ (2 pkt); stosunek objętości stożka i walca
2025	zad. 25, 26	4 pkt	objętość stożka z kątem rozwarcia $120^\circ$ (3 pkt); przekątna sześcianu z objętości
2024	zad. 25.1, 25.2	2 pkt	graniastosłup prawidłowy sześciokątny: ściana boczna, kąt przekątnej
2023	zad. 25, 26, 27	6 pkt	kąt przekątnej graniastosłupa; ostrosłup (4 pkt); wierzchołki i krawędzie
2022	zad. 25, 26	2 pkt	graniastosłup o podstawie rombu; ostrosłup wycięty z sześcianu
2021	—	0 pkt	brak zadania z tego klucza
2020	zad. 24, 25, 34	7 pkt	pole sześcianu z przekątnej; dwa stożki; ostrosłup prawidłowy czworokątny (5 pkt)

Działy w serwisie:Graniastosłupy — pole powierzchni i objętość Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach Kula Ostrosłupy — pole powierzchni i objętość Stożek Walec

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP21.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Objętość sześcianu jest równa $216$. Przekątna tego sześcianu ma długość

A$6\sqrt3$

B$6\sqrt2$

C$18$

D$36$

PP21.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Prostopadłościan ma krawędzie długości $2$, $3$ i $6$. Jego przekątna ma długość

A$11$

B$7$

C$\sqrt{13}$

D$49$

PP21.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy długości $4$ i wysokość $5$. Objętość tego graniastosłupa jest równa

A$80$

B$40\sqrt3$

C$20\sqrt3$

D$\tfrac{20\sqrt3}{3}$

PP21.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Walec ma promień podstawy $3$ i wysokość $5$. Objętość walca jest równa

A$15\pi$

B$30\pi$

C$75\pi$

D$45\pi$

PP21.5zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Tworząca stożka ma długość $10$, a promień jego podstawy — $6$. Objętość tego stożka jest równa

A$96\pi$

B$288\pi$

C$120\pi$

D$60\pi$

PP21.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Kula ma objętość $36\pi$. Pole powierzchni tej kuli jest równe

A$9\pi$

B$36\pi$

C$12\pi$

D$27\pi$

PP21.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy długości $6$ i wysokość $4$. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa

A$\sqrt{52}$

B$7$

C$5$

D$\sqrt{34}$

PP21.8prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Stożek i walec mają równe wysokości i równe promienie podstaw. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

Objętość stożka jest trzy razy mniejsza od objętości walca.
Jeśli promień podstawy stożka zwiększymy dwukrotnie (przy tej samej wysokości), to objętość stożka wzrośnie dwukrotnie.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P

P/F1. P, 2. F

F/P1. F, 2. P

F/F1. F, 2. F

PP21.9odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o przekątnej $8\sqrt2$. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45^\circ$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

PP21.10otwarte★★★ 0–4 pkt🔗

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $10$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt

PP21.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Objętość sześcianu o krawędzi $3$ jest równa

A$9$

B$18$

C$6$

D$27$

PP21.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Objętość prostopadłościanu o krawędziach $2$, $3$, $4$ jest równa

A$24$

B$9$

C$26$

D$12$

PP21.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi $3$ jest równe

A$27$

B$54$

C$36$

D$9$

PP21.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Graniastosłup ma pole podstawy $5$ i wysokość $4$. Objętość jest równa

A$9$

B$40$

C$20$

D$1{,}25$

PP21.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Oblicz objętość sześcianu o krawędzi $5$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 1,3 MB ⬇✍️Zadaniazadania do każdego klucza, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 6,1 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 3,5 MB ⬇

LekcjeRazem.pl — prowadź korepetycje profesjonalnie. Tablica online, grafik, rozliczenia i AI w jednym miejscu. Sprawdź LekcjeRazem.pl.

Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas