PP20

Geometria analityczna — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetAbardzo ważny

Częstotliwość6/7arkuszy 2020–2026

Punkty w arkuszuśr. 2,7 pkt (0–6)

Formy zadańzamknięte ABCD, P/F; otwarte 2 pkt (równoległobok, trójkąt)

🔑 Sygnał: Przekątne równoległoboku → wspólny środek. Okrąg: znak w nawiasie odwrotny, prawa strona to $r^2$.

🎯 Co musisz umieć

obliczać odległość punktów i współrzędne środka odcinka,
wyznaczać brakujący wierzchołek równoległoboku i koniec odcinka z danego środka,
odczytywać środek i promień okręgu z równania i zapisywać równanie okręgu,
wyznaczać punkty symetryczne względem osi i początku układu.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

współrzędne wierzchołków i pytanie o długość/pole → wzór na odległość,
„punkt przecięcia przekątnych” → środek odcinka (przekątne równoległoboku dzielą się na połowy),
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ → okrąg.

📘 Teoria w pigułce

Odległość: $|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$. Środek: $S=\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2\right)$.
Znając $A$ i środek $S$: $B=2S-A$, czyli $x_B=2x_S-x_A$, $y_B=2y_S-y_A$.
Równoległobok $ABCD$: przekątne mają wspólny środek, więc $A+C=B+D$ (współrzędnymi).
Okrąg o środku $(a,b)$ i promieniu $r$: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to środek przeciwprostokątnej.
Symetria względem $Ox$: $(x,y)\to(x,-y)$; względem $Oy$: $(x,y)\to(-x,y)$; względem $O$: $(x,y)\to(-x,-y)$.

∑ Najważniejsze wzory

$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

$S=\left(\tfrac{x_A+x_B}{2},\tfrac{y_A+y_B}{2}\right)$

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

$D=A+C-B$

⚙️ Algorytm krok po kroku

Naszkicuj punkty w układzie — to od razu pokazuje kolejność wierzchołków i sens wyniku.
Brakujący punkt: skorzystaj ze środka odcinka (lub z $A+C=B+D$).
Długość: wzór na odległość; promień okręgu = odległość środka od punktu okręgu.
Sprawdź, czy punkt leży na okręgu: podstaw współrzędne do równania.

⚠️ Najczęstsze pułapki

Źle	Dobrze	Dlaczego
✗ $(x+2)^2+(y-3)^2=16$: $S=(2,-3)$	✓ $S=(-2,3)$	znak odwrotny do tego w nawiasie
✗ $r=16$	✓ $r=4$	prawa strona to $r^2$
✗ środek odcinka: $\frac{x_B-x_A}2$	✓ $\frac{x_A+x_B}{2}$	średnia, nie połowa różnicy
✗ $D=A+B-C$ w równoległoboku $ABCD$	✓ $D=A+C-B$	przekątne $AC$ i $BD$

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 24 z matury 2024

W równoległoboku $ABCD$ dane są $A=(-2,1)$, $B=(6,-1)$, a przekątne przecinają się w punkcie $P=(3,3)$. Oblicz długość boku $BC$.

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Rok	Zadania	Pkt	Czego dotyczyło
2026	zad. 24.2, 25	2 pkt	środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym; P/F o okręgu
2025	zad. 22, 24	2 pkt	przekątna kwadratu z $A$ i środka $S$; równanie okręgu przez $(0,0)$
2024	zad. 24	2 pkt	równoległobok: $A$, $B$ i punkt przecięcia przekątnych → bok $BC$
2023	—	0 pkt	tylko proste (klucz PP12)
2022	zad. 23, 24	2 pkt	środek odcinka; przekątna kwadratu z dwóch wierzchołków
2021	zad. 25, 35	6 pkt	wierzchołki kwadratu z punktu przecięcia przekątnych; trójkąt równoramienny z $C$ na osi $Oy$ (5 pkt)
2020	zad. 20, 32	5 pkt	symetria względem początku układu; kwadrat z przekątną na danej prostej (4 pkt)

Działy w serwisie:Odległość między punktami w układzie współrzędnych Okrąg w układzie współrzędnych Środek odcinka Symetria osiowa Symetria środkowa

✍️ Trening: 10 zadań w formacie maturalnym

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP20.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Odległość między punktami $A=(1,-2)$ i $B=(4,2)$ jest równa

A$5$

B$7$

C$\sqrt7$

D$25$

PP20.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Środkiem odcinka o końcach $A=(-3,5)$ i $B=(7,1)$ jest punkt

A$(2,3)$

B$(5,-2)$

C$(4,6)$

D$(10,-4)$

PP20.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Okrąg o równaniu $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ ma środek $S$ i promień $r$. Wtedy

A$S=(-2,3),\ r=4$

B$S=(2,-3),\ r=4$

C$S=(-2,3),\ r=16$

D$S=(2,-3),\ r=16$

PP20.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Okrąg o środku $S=(1,2)$ przechodzi przez punkt $P=(4,6)$. Ten okrąg ma równanie

A$(x-1)^2+(y-2)^2=25$

B$(x-1)^2+(y-2)^2=5$

C$(x+1)^2+(y+2)^2=25$

D$(x-4)^2+(y-6)^2=25$

PP20.5zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Punkt $A=(1,1)$ jest środkiem odcinka $BC$, gdzie $B=(-3,4)$. Punkt $C$ ma współrzędne

A$(5,-2)$

B$(-1;\ 2{,}5)$

C$(-7,7)$

D$(4,-3)$

PP20.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Punkt symetryczny do punktu $P=(3,-5)$ względem osi $Oy$ ma współrzędne

A$(-3,-5)$

B$(3,5)$

C$(-3,5)$

D$(-5,3)$

PP20.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Punkty $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(0,8)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Środek okręgu opisanego na tym trójkącie ma współrzędne

A$(3,4)$

B$\left(2,\tfrac83\right)$

C$(3,0)$

D$(0,4)$

PP20.8prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Dany jest okrąg o równaniu $(x+2)^2+(y-1)^2=13$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

Punkt $A=(1,3)$ leży na tym okręgu.
Środek tego okręgu leży na osi $Oy$.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P

P/F1. P, 2. F

F/P1. F, 2. P

F/F1. F, 2. F

PP20.9odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Punkty $A=(-1,2)$, $B=(5,0)$, $C=(6,4)$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wyznacz współrzędne wierzchołka $D$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

PP20.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

W równoległoboku $ABCD$ dane są $A=(1,-2)$ i $B=(7,1)$, a przekątne przecinają się w punkcie $P=(5,4)$. Oblicz długość boku $BC$ oraz obwód równoległoboku.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 3,6 MB ⬇✍️Zadania10 zadań na klucz, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 2,2 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 4,1 MB ⬇

Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas