PP06

Równania liniowe, iloczynowe i wymierne — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetAbardzo ważny

Częstotliwość7/7arkuszy 2020–2026

Punkty w arkuszuśr. 2,1 pkt (1–4)

Formy zadańzamknięte ABCD („ma dokładnie…”, „jednym z rozwiązań jest…”)

🔑 Sygnał: Iloczyn = 0 → każdy czynnik osobno. Ułamek → najpierw dziedzina!

🎯 Co musisz umieć

rozwiązywać równania liniowe i proporcje,
stosować zasadę: iloczyn równa się $0$, gdy któryś czynnik jest równy $0$,
rozpoznawać czynniki bez pierwiastków (np. $x^2+25$),
wyznaczać dziedzinę równania wymiernego i odrzucać rozwiązania spoza niej,
skracać wyrażenia wymierne (tylko czynniki!).

🔍 Jak rozpoznać zadanie

„Równanie … ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie …” — liczenie rozwiązań,
iloczyn nawiasów równy zero; suma wszystkich rozwiązań z parametrem $m$,
ułamek z niewiadomą w mianowniku — obowiązkowo dziedzina.

📘 Teoria w pigułce

$a\cdot b=0 \iff a=0$ lub $b=0$. Stała różna od zera (np. $\sqrt3$, $2$) nie daje rozwiązań.
$x^2+c=0$ przy $c\gt 0$ nie ma rozwiązań; $x^2-c=0$ daje $x=\pm\sqrt c$.
$\dfrac AB=0 \iff A=0$ i $B\ne0$. Najpierw dziedzina, potem licznik.
Skracać można tylko wspólne czynniki licznika i mianownika, nigdy składniki sumy.

∑ Najważniejsze wzory

$ab=0 \iff a=0\ \lor\ b=0$

$\dfrac AB=0 \iff A=0\ \land\ B\ne0$

$\dfrac AB=\dfrac CD \Rightarrow AD=BC$ ($B,D\ne0$)

⚙️ Algorytm krok po kroku

Wyznacz dziedzinę (mianowniki $\ne0$).
Rozłóż na czynniki i przyrównaj każdy czynnik do zera.
Odrzuć rozwiązania spoza dziedziny i te, które się powtarzają.
Policz, ile jest różnych rozwiązań (lub ich sumę).

⚠️ Najczęstsze pułapki

Źle	Dobrze	Dlaczego
✗ $\dfrac{x^2-9}{x+3}=0 \Rightarrow x=\pm3$	✓ $x=3$ (bo $x\ne-3$)	dziedzina odrzuca $-3$
✗ $x^2+9=0 \Rightarrow x=\pm3$	✓ brak rozwiązań	kwadrat nie jest ujemny
✗ $2x(x-5)=3(x-5) \Rightarrow 2x=3$	✓ $(x-5)(2x-3)=0$: $x=5$ lub $x=\tfrac32$	dzieląc przez $(x-5)$ gubisz rozwiązanie
✗ $\dfrac{x+3}{x}=3$ „skracam $x$”	✓ $x+3=3x \Rightarrow x=\tfrac32$	nie skracaj składników

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 8 z matury 2023

Równanie $\dfrac{(x-2)(x+3)}{(x+3)(x-5)}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych

A. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x=2$

B. ma dwa rozwiązania: $x=2$, $x=-3$

C. ma trzy rozwiązania

D. nie ma rozwiązań

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

Rok	Zadania	Pkt	Czego dotyczyło
2026	zad. 8, 9	2 pkt	suma rozwiązań $3(x+3)(x-m)(2x+4)=0$; $\dfrac{x+2}{3x-1}=\dfrac25$
2025	zad. 7, 8	2 pkt	$2x(x+3)(x^2+25)=0$; skracanie wyrażenia wymiernego
2024	zad. 7	1 pkt	$\dfrac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0$
2023	zad. 7, 8	2 pkt	$\sqrt3(x^2-2)(x+3)=0$; $\dfrac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0$
2022	zad. 8	1 pkt	iloczyn rozwiązań $2x(x^2-9)(x+1)=0$
2021	zad. 10, 32	3 pkt	wartość $\frac{x^2}{2x-2}$; równanie $\frac{3x+2}{3x-2}=4-x$ (2 pkt)
2020	zad. 6, 10, 27	4 pkt	$x(x-3)(x+2)=0$; $x(x-2)=(x-2)^2$; $(x^2-1)(x^2-2x)=0$ (2 pkt)

Działy w serwisie:Rozwiązywanie równań Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych Równania wymierne

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP06.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiązaniem równania $3(x-2)=2x+5$ jest liczba

A$11$

B$-1$

C$3$

D$7$

PP06.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Równanie $(x-3)(x+5)(x^2+4)=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Atrzy rozwiązania

Bdwa rozwiązania

Ccztery rozwiązania

Djedno rozwiązanie

PP06.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiązaniem równania $\dfrac{x+2}{x-1}=0$ jest

A$x=1$

B$x=-2$ lub $x=1$

C$x=-2$

Dbrak rozwiązań

PP06.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Równanie $\dfrac{x^2-9}{x+3}=0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych

Adwa rozwiązania: $3$ i $-3$

Bdokładnie jedno rozwiązanie: $-3$

Cnie ma rozwiązań

Ddokładnie jedno rozwiązanie: $3$

PP06.5zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiązaniem równania $\dfrac{x-1}{2x+3}=\dfrac13$ jest liczba

A$6$

B$0$

C$-6$

D$4$

PP06.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Dane jest równanie $(x-4)(x+m)(2x-6)=0$ z niewiadomą $x$. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa $5$. Liczba $m$ jest równa

A$-2$

B$2$

C$12$

D$-5$

PP06.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne0$ i $x\ne-3$ wyrażenie $\dfrac{x^2+3x}{x^2+6x+9}\cdot\dfrac{x+3}{x}$ jest równe

A$x$

B$\dfrac{x+3}{x}$

C$1$

D$\dfrac{x}{x+3}$

PP06.8prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Równanie $\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{2}{x-2}$ ma rozwiązanie $x=2$.
Równanie $(x-1)^2(x+2)=0$ ma dokładnie dwa rozwiązania.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P

P/F1. P, 2. F

F/P1. F, 2. P

F/F1. F, 2. F

PP06.9odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Rozwiąż równanie $2x(x-5)=3(x-5)$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

PP06.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Rozwiąż równanie $\dfrac{x+3}{x-1}=\dfrac{x+1}{x-2}$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

PP06.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiązaniem równania $2x+6=0$ jest

A$3$

B$6$

C$-6$

D$-3$

PP06.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Równanie $(2x-6)(x+5)=0$ ma rozwiązania

A$x=3$ lub $x=-5$

B$x=-3$ lub $x=5$

C$x=6$ lub $x=-5$

D$x=3$ lub $x=5$

PP06.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiązaniem równania $3x=12$ jest

A$36$

B$4$

C$9$

D$3$

PP06.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiązaniem równania $\dfrac{x}{2}=5$ jest

A$\tfrac52$

B$7$

C$10$

D$2{,}5$

PP06.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiąż równanie $x(x-1)(x+2)=0$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 1,3 MB ⬇✍️Zadaniazadania do każdego klucza, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 6,1 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 3,5 MB ⬇