PP22

Kombinatoryka — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetAbardzo ważny

Częstotliwość7/7arkuszy 2020–2026

Punkty w arkuszuśr. 1,1 pkt (1–2)

Formy zadańzamknięte ABCD — liczby o zadanych cyfrach, kody

🔑 Sygnał: Kratki na pozycje, zacznij od najbardziej ograniczonej. Kolizja warunków → przypadki i dodawanie.

🎯 Co musisz umieć

stosować regułę mnożenia (kolejne wybory) i regułę dodawania (rozłączne przypadki),
liczyć liczby o zadanych cyfrach: ograniczenie „pierwsza cyfra $\ne0$”, parzystość, różne cyfry,
liczyć ustawienia (permutacje $n!$) i wybory z powtórzeniami ($n^k$),
zliczać pary nieuporządkowane: $\frac{n(n-1)}2$.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

„ile jest liczb … cyfrowych, w których…” — to zawsze reguła mnożenia po pozycjach,
„kod”, „PIN”, „tablica rejestracyjna” → wybory z powtórzeniami lub bez,
„każdy z każdym” → pary nieuporządkowane.

📘 Teoria w pigułce

Reguła mnożenia: jeśli wybór składa się z etapów o $n_1, n_2, \dots$ możliwościach, to wszystkich wyborów jest $n_1\cdot n_2\cdot\dots$
Reguła dodawania: przypadki rozłączne (np. „kończy się na $0$” / „kończy się na $5$”) liczymy osobno i dodajemy.
Zaczynaj od pozycji z największym ograniczeniem (pierwsza cyfra, ostatnia cyfra przy parzystości).
Ustawienie $n$ różnych elementów w rzędzie: $n!$. Ciągi długości $k$ z $n$ elementów z powtórzeniami: $n^k$.

∑ Najważniejsze wzory

$n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$

$n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$

$n^k$ (z powtórzeniami)

$\dfrac{n(n-1)}{2}$ (pary)

⚙️ Algorytm krok po kroku

Narysuj „kratki” na kolejne cyfry/pozycje.
Wpisz liczbę możliwości do kratek, zaczynając od najbardziej ograniczonej.
Gdy ograniczenia się „gryzą” (np. zero na końcu), rozbij na przypadki i dodaj.
Pomnóż; kontrola na małym przykładzie lub wypisaniem.

⚠️ Najczęstsze pułapki

Źle	Dobrze	Dlaczego
✗ trzycyfrowe: $10\cdot10\cdot10$	✓ $9\cdot10\cdot10=900$	pierwsza cyfra nie może być zerem
✗ różne cyfry, parzyste: $9\cdot9\cdot5$	✓ rozbij: koniec $0$ / koniec $2,4,6,8$	zero „zabiera” różne pozycje
✗ uściski $5$ osób: $5\cdot4=20$	✓ $\frac{5\cdot4}2=10$	para $AB$ = para $BA$
✗ z powtórzeniami: $4\cdot3\cdot2$	✓ $4^3$	czytaj, czy cyfry mogą się powtarzać

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 29 z matury 2026

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie występują tylko cyfry $1,2,3,4,5$ (cyfry mogą się powtarzać), jest

A. $50$

B. $60$

C. $125$

D. $24$

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

Rok	Zadania	Pkt	Czego dotyczyło
2026	zad. 29	1 pkt	trzycyfrowe nieparzyste z cyfr $0$–$6$
2025	zad. 27	1 pkt	trzycyfrowe nieparzyste z dokładnie jednym zerem
2024	zad. 27	1 pkt	kody z cyfr $1,3,6,8$ bez powtórzeń
2023	zad. 28	1 pkt	pięciocyfrowe z cyfr $0,5,7$
2022	zad. 27	1 pkt	czterocyfrowe nieparzyste podzielne przez $5$
2021	zad. 23, 27	2 pkt	liczba przekątnych $n$-kąta; trzycyfrowe $\gt 700$ bez powtórzeń cyfr
2020	zad. 21	1 pkt	dwucyfrowe z cyfr $1,3,5,7,9$ bez powtórzeń

Działy w serwisie:Permutacje Reguła mnożenia i reguła dodawania Wariacje bez powtórzeń Wariacje z powtórzeniami

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP22.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest

A$90$

B$100$

C$99$

D$81$

PP22.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wszystkich liczb trzycyfrowych, w których zapisie występują tylko cyfry $1,2,3,4$ (cyfry mogą się powtarzać), jest

A$24$

B$64$

C$12$

D$81$

PP22.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wszystkich kodów czterocyfrowych utworzonych z cyfr $2,5,7,9$, w których każda cyfra występuje dokładnie raz, jest

A$256$

B$16$

C$24$

D$4$

PP22.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych jest

A$500$

B$405$

C$900$

D$450$

PP22.5zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych o różnych cyfrach jest

A$4536$

B$5040$

C$3024$

D$9000$

PP22.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez $5$, w których zapisie wszystkie cyfry są różne, jest

A$144$

B$136$

C$180$

D$128$

PP22.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pięć osób przywitało się, każda z każdą dokładnie jednym uściskiem dłoni. Wszystkich uścisków było

A$20$

B$25$

C$10$

D$5$

PP22.8prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Z cyfr $0,1,2,3$ tworzymy liczby dwucyfrowe (cyfry mogą się powtarzać). Oceń prawdziwość stwierdzeń.

Wszystkich takich liczb jest $12$.
Wśród nich jest $8$ liczb parzystych.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P

P/F1. P, 2. F

F/P1. F, 2. P

F/F1. F, 2. F

PP22.9odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

W klasie jest $12$ dziewcząt i $10$ chłopców. Wybieramy przewodniczącego i zastępcę (dwie różne osoby) tak, aby jedną z tych funkcji pełniła dziewczyna, a drugą chłopiec. Oblicz, na ile sposobów można to zrobić.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

PP22.10odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których suma cyfr jest równa $3$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

PP22.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Ile zestawów z $3$ koszul i $2$ par spodni?

A$5$

B$3$

C$8$

D$6$

PP22.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rzucamy monetą i kostką. Liczba wyników jest równa

A$12$

B$8$

C$6$

D$2$

PP22.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Ile liczb dwucyfrowych o różnych cyfrach z $\{1,2,3\}$?

A$9$

B$6$

C$3$

D$12$

PP22.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Uczeń wybiera $2$ desery albo $3$ napoje. Na ile sposobów?

A$6$

B$1$

C$5$

D$9$

PP22.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach z $\{1,2,3\}$?

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 1,3 MB ⬇✍️Zadaniazadania do każdego klucza, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 6,1 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 3,5 MB ⬇