PP18

Podobieństwo, twierdzenie Talesa i dwusieczna — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetAbardzo ważny
Częstotliwość6/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszuśr. 1,7 pkt (0–3)
Formy zadańzamknięte ABCD, odpowiedź krótka; dowód geometryczny 2 pkt
🔑 Sygnał: Równe kąty → podobieństwo → proporcja. Pola przez $k^2$, objętości przez $k^3$.

🎯 Co musisz umieć

  • rozpoznawać trójkąty podobne (cechy: bbb, bkb, kkk) i zapisywać proporcję odpowiadających boków,
  • stosować skalę: obwody $\cdot k$, pola $\cdot k^2$, objętości $\cdot k^3$,
  • stosować twierdzenie Talesa (także w układzie „motylka”),
  • stosować twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • proste równoległe przecinające ramiona kąta lub dwie przecinające się proste → Tales,
  • „trójkąty są podobne”, „w skali” → proporcje, pola przez $k^2$,
  • dwusieczna kąta przecinająca przeciwległy bok → $\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}$.

📘 Teoria w pigułce

  • Trójkąty podobne w skali $k$: boki $\cdot k$, obwody $\cdot k$, pola $\cdot k^2$ (bryły: objętości $\cdot k^3$).
  • Tales: proste równoległe wyznaczają na ramionach kąta odcinki proporcjonalne: $\frac{|OA|}{|AB|}=\frac{|OA^\prime|}{|A^\prime B^\prime|}$.
  • „Motylek”: gdy $AD\parallel BC$ i odcinki $AC$, $BD$ przecinają się w $O$, to $\triangle AOD\sim\triangle COB$, więc $\frac{|OA|}{|OC|}=\frac{|OD|}{|OB|}$.
  • Dwusieczna kąta $C$ dzieli bok $AB$ w stosunku sąsiednich boków: $\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}$.
  • W trójkącie prostokątnym wysokość na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki $p$, $q$: $h^2=p\cdot q$.

∑ Najważniejsze wzory

$\dfrac{P_2}{P_1}=k^2$
$\dfrac{V_2}{V_1}=k^3$
$\dfrac{|AD|}{|DB|}=\dfrac{|AC|}{|BC|}$
$h^2=p\cdot q$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Zaznacz na szkicu równe kąty (wierzchołkowe, naprzemianległe, wspólne) — z nich wynika podobieństwo.
  2. Wypisz pary odpowiadających wierzchołków w tej samej kolejności ($A\to B$, $B\to D$, $C\to A$).
  3. Ułóż proporcję odpowiadających boków i wylicz niewiadomą.
  4. Pola i objętości: najpierw skala $k$ z boków, potem $k^2$ lub $k^3$.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ skala $3$ → pole $3$ razy większe✓ pole $9$ razy większepola rosną jak $k^2$
✗ proporcja „na krzyż” z nieodpowiadających boków✓ boki naprzeciw równych kątówwypisz pary wierzchołków
✗ dwusieczna dzieli bok na połowy✓ w stosunku $|AC|:|BC|$na połowy dzieli środkowa
✗ $V_2:V_1=8 \Rightarrow$ pola $8$✓ $k=2 \Rightarrow$ pola $4$najpierw $k=\sqrt[3]{8}$

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 21 z matury 2026

W trójkącie $ABC$ dane są $|AC|=a$ i $|BC|=b$. Dwusieczna kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$. Wykaż, że stosunek pola trójkąta $ADC$ do pola trójkąta $DBC$ jest równy $\frac ab$.

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2026zad. 20, 213 pkttwierdzenie Talesa (proste równoległe, odcinki $OA$, $OB$, $OC$); dowód o stosunku pól przy dwusiecznej
2025zad. 201 pkttrójkąty podobne $ABC$ i $BDA$ w trójkącie równoramiennym
2024zad. 20, 262 pkttwierdzenie o dwusiecznej; skala podobieństwa brył z objętości
2023zad. 222 pktpole trójkąta podobnego do trójkąta $5$–$12$–$13$
2022zad. 332 pktdwusieczna w trójkącie równoramiennym — trójkąty podobne
2021zad. 332 pktprosta równoległa do boku — pola trójkątów podobnych
2020—0 pktbrak zadania z tego klucza
Działy w serwisie:Pola wielokątów podobnychTrójkąty podobneTwierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącieTwierdzenie Talesa

✍️ Trening: 10 zadań w formacie maturalnym

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP18.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Trójkąty $T_1$ i $T_2$ są podobne, przy czym $T_2$ jest trzy razy większy od $T_1$ (skala $3$). Pole trójkąta $T_1$ jest równe $5$. Pole trójkąta $T_2$ jest równe

A$45$
B$15$
C$135$
D$25$
PP18.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Obwody dwóch trójkątów podobnych są równe $12$ i $18$. Stosunek pola mniejszego trójkąta do pola większego jest równy

A$\tfrac49$
B$\tfrac23$
C$\tfrac{8}{27}$
D$\tfrac94$
PP18.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Na jednym ramieniu kąta o wierzchołku $O$ leżą punkty $A$ i $B$ ($A$ między $O$ i $B$), a na drugim punkty $A^\prime$ i $B^\prime$. Proste $AA^\prime$ i $BB^\prime$ są równoległe. $|OA|=4$, $|AB|=6$, $|OA^\prime|=6$. Długość odcinka $A^\prime B^\prime$ jest równa

A$9$
B$4$
C$15$
D$10$
PP18.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Proste $k$ i $l$ są równoległe. Punkty $A$ i $D$ leżą na prostej $k$, a punkty $B$ i $C$ — na prostej $l$. Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$, przy czym $|OA|=9$, $|OC|=6$, $|OD|=12$. Długość odcinka $OB$ jest równa

A$8$
B$18$
C$4{,}5$
D$9$
PP18.5zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

W trójkącie $ABC$ dane są $|AC|=6$, $|BC|=9$ i $|AB|=10$. Dwusieczna kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$. Długość odcinka $AD$ jest równa

A$4$
B$6$
C$5$
D$3$
PP18.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości $4$ i $9$. Ta wysokość ma długość

A$6$
B$13$
C$36$
D$6{,}5$
PP18.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pole trójkąta $ABC$ jest równe $50$. Prosta równoległa do boku $AB$ przecina boki $AC$ i $BC$ odpowiednio w punktach $K$ i $L$, przy czym $|CK|:|KA|=2:3$. Pole trójkąta $KLC$ jest równe

A$8$
B$20$
C$18$
D$12$
PP18.8prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Dane są trójkąty o bokach $3,\ 4,\ 5$ oraz $6,\ 8,\ 10$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

  1. Te trójkąty są podobne.
  2. Pole większego trójkąta jest dwa razy większe od pola mniejszego.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
PP18.9odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Trójkąty prostokątne $T_1$ i $T_2$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_1$ mają długości $6$ i $8$, a przeciwprostokątna trójkąta $T_2$ ma długość $25$. Oblicz pole trójkąta $T_2$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PP18.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Wykaż, że $|AO|\cdot|OD|=|BO|\cdot|OC|$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 3,6 MB ⬇✍️Zadania10 zadań na klucz, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 2,2 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 4,1 MB ⬇
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas