PP01

Potęgi i pierwiastki — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetAbardzo ważny
Częstotliwość7/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszuśr. 1,6 pkt (1–3)
Formy zadańzamknięte ABCD, prawda/fałsz; czasem jako krok w dowodzie
🔑 Sygnał: Różne podstawy → sprowadź do liczby pierwszej. Suma potęg → wyłącz najmniejszą.

🎯 Co musisz umieć

  • wykonywać działania na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym,
  • zamieniać pierwiastki na potęgi: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}$ (dla $a\ge 0$),
  • wyłączać czynnik spod pierwiastka i usuwać niewymierność z mianownika,
  • porównywać liczby zapisane za pomocą potęg i pierwiastków,
  • rozstrzygać podzielność iloczynu potęg (rozkład na czynniki pierwsze).

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • polecenie „Liczba … jest równa” z potęgami lub pierwiastkami — prawie zawsze zadanie nr 1–3,
  • różne podstawy, które są potęgami tej samej liczby: $2,4,8,16$; $3,9,27$; $5,25,125$; $0{,}2=5^{-1}$,
  • suma potęg tej samej podstawy w liczniku (np. $5^{12}+5^{13}+5^{14}$) → wyłącz najmniejszą potęgę,
  • pierwiastek z pierwiastka ($\sqrt{5\sqrt5}$) lub iloczyn pierwiastków różnych stopni,
  • pytanie o podzielność liczby typu $4^{12}\cdot5^{24}$ (zadanie P/F).

📘 Teoria w pigułce

  • $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ — wykładnik ujemny daje odwrotność, a nie liczbę ujemną.
  • $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$ dla $a\ge0$; w szczególności $a^{\frac12}=\sqrt a$, $a^{\frac13}=\sqrt[3]a$.
  • Pierwiastek nieparzystego stopnia istnieje także z liczby ujemnej: $\sqrt[3]{-8}=-2$. Pierwiastek parzystego stopnia — tylko z liczby nieujemnej.
  • $\sqrt{a^2}=|a|$, np. $\sqrt{(-3)^2}=3$.
  • Liczba jest podzielna przez $d$, gdy w jej rozkładzie na czynniki pierwsze są wszystkie czynniki $d$ w co najmniej takich samych potęgach.

∑ Najważniejsze wzory

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
$a^m:a^n=a^{m-n}$
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$
$(ab)^n=a^nb^n$
$\left(\dfrac ab\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$
$a^0=1\ (a\ne0)$
$\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$
$\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$
$\dfrac{a}{\sqrt b}=\dfrac{a\sqrt b}{b}$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Rozpisz każdą podstawę na czynniki pierwsze ($8=2^3$, $\tfrac1{27}=3^{-3}$, $0{,}04=5^{-2}$).
  2. Zamień pierwiastki na potęgi o wykładniku ułamkowym.
  3. Wykonuj działania wyłącznie na wykładnikach (mnożenie → dodawanie wykładników).
  4. Widzisz sumę potęg? Wyłącz przed nawias najmniejszą potęgę — dodawać wykładników nie wolno.
  5. Zapisz wynik w postaci z odpowiedzi; odpowiedzi ABCD różnią się często tylko wykładnikiem — sprawdź go dwa razy.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ $2^3+2^3=2^6$✓ $2^3+2^3=2\cdot2^3=2^4$dodawanie potęg ≠ mnożenie
✗ $\left(\tfrac18\right)^{-\frac13}=-2$✓ $\left(\tfrac18\right)^{-\frac13}=8^{\frac13}=2$wykładnik ujemny daje odwrotność
✗ $\sqrt{9+16}=3+4=7$✓ $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$pierwiastek sumy ≠ suma pierwiastków
✗ $\sqrt{(-3)^2}=-3$✓ $\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$$\sqrt{a^2}=|a|$
✗ $\dfrac{5^{12}+5^{13}}{5^{12}}=5^{13}$✓ $\dfrac{5^{12}(1+5)}{5^{12}}=6$najpierw wyłącz wspólny czynnik

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 2 z matury 2025

Liczba $\dfrac{3^{20}+3^{21}+3^{22}}{3^{20}}$ jest równa
A. $3^{43}$
B. $13$
C. $3^{3}$
D. $3^{63}$

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2026zad. 1, 3, 53 pkt$\sqrt{\tfrac{25}{8}}\cdot\sqrt2+2^{-1}$; $\sqrt{5\sqrt5}$; podzielność $4^{12}\cdot5^{24}$ (P/F)
2025zad. 1, 22 pkt$(\sqrt{32}-\sqrt2)^2$; $\dfrac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}$
2024zad. 21 pkt$\left(\tfrac{1}{16}\right)^{8}\cdot 8^{16}$
2023zad. 21 pkt$\sqrt[3]{-\tfrac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}$
2022zad. 1, 52 pkt$(2\sqrt8-3\sqrt2)^2$; $3^{2+\frac14}$
2021zad. 11 pkt$100^5\cdot(0{,}1)^{-6}$
2020zad. 21 pkt$\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{36^{10}}$
Działy w serwisie:Pierwiastek kwadratowyPierwiastek sześciennyPotęga o wykładniku całkowitymPotęga o wykładniku wymiernym

✍️ Trening: 10 zadań w formacie maturalnym

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP01.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\sqrt{72}-\sqrt{8}$ jest równa

A$\sqrt{64}$
B$4\sqrt2$
C$6\sqrt2$
D$2\sqrt2$
PP01.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\left(\dfrac{1}{27}\right)^{-\frac23}$ jest równa

A$-9$
B$\dfrac19$
C$9$
D$-18$
PP01.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\left(\dfrac{1}{16}\right)^{5}\cdot 8^{7}$ jest równa

A$2$
B$2^{41}$
C$\dfrac12$
D$4^{2}$
PP01.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\sqrt[3]{-\dfrac{54}{125}}\cdot\sqrt[3]{4}$ jest równa

A$-\dfrac65$
B$\dfrac65$
C$-\dfrac{6}{25}$
D$\dfrac{36}{25}$
PP01.5zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Po usunięciu niewymierności z mianownika liczba $\dfrac{6}{\sqrt3}$ ma postać

A$2\sqrt3$
B$6\sqrt3$
C$\dfrac{\sqrt3}{2}$
D$3\sqrt2$
PP01.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\sqrt{5\cdot\sqrt[3]{5}}$ jest równa

A$5^{\frac23}$
B$5^{\frac43}$
C$5^{\frac16}$
D$5^{\frac56}$
PP01.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\dfrac{2^{30}+2^{31}+2^{32}}{7\cdot 2^{29}}$ jest równa

A$2$
B$2^{64}$
C$\dfrac{2^{64}}{7}$
D$8$
PP01.8prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

  1. Liczba $6^{10}\cdot5^{4}$ jest podzielna przez $900$.
  2. Liczba $2^{8}\cdot3^{5}$ jest podzielna przez $36^{3}$.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
PP01.9otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Wykaż, że liczba $3^{2026}+3^{2025}+3^{2024}$ jest podzielna przez $13$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PP01.10odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Uporządkuj rosnąco liczby $a=\sqrt[3]{3}$, $b=\sqrt{2}$, $c=\sqrt[6]{10}$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 3,6 MB ⬇✍️Zadania10 zadań na klucz, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 2,2 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 4,1 MB ⬇
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas