PP28

Cechy podzielności i liczby całkowite — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetBważny po opanowaniu filarów
Częstotliwość5/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszu1 pkt
Formy zadańzamknięte ABCD i krótka odpowiedź
🔑 Sygnał: Suma cyfr decyduje o podzielności przez 3 i 9; ostatnie cyfry o 2, 4, 5 i 10.

🎯 Co musisz umieć

  • stosować cechy podzielności przez 2, 3, 4, 5, 9, 10,
  • wyznaczać NWD i NWW dwóch liczb,
  • rozpoznawać liczby pierwsze i złożone,
  • obliczać resztę z dzielenia i korzystać z parzystości.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • 'podzielna przez 3 lub 9' - dodaj cyfry i sprawdź podzielność sumy,
  • 'największy wspólny dzielnik / najmniejsza wspólna wielokrotność' - rozłóż na czynniki pierwsze,
  • 'reszta z dzielenia' - znajdź najbliższa wielokrotność.

📘 Teoria w pigułce

  • Podzielność: przez $2$ - ostatnia cyfra parzysta; przez $5$ - kończy się na $0$ lub $5$; przez $10$ - na $0$; przez $3$ ($9$) - suma cyfr podzielna przez $3$ ($9$); przez $4$ - liczba z dwóch ostatnich cyfr podzielna przez $4$.
  • $\mathrm{NWD}$ to iloczyn wspólnych czynników pierwszych, $\mathrm{NWW}$ - wszystkich, w najwyższych potęgach. Zawsze $\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$.
  • Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i samą siebie ($2,3,5,7,11,\dots$). $1$ nie jest pierwsza.

∑ Najważniejsze wzory

$3\mid n\iff 3\mid(\text{suma cyfr})$
$\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$
liczba parzysta $=2k$
liczba nieparzysta $=2k+1$
trzy kolejne: $n,\,n+1,\,n+2$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Do podzielności przez 3/9 - policz sumę cyfr.
  2. Do NWD/NWW - rozłóż obie liczby na czynniki pierwsze.
  3. Do reszty - odejmij najbliższa mniejsza wielokrotność.
  4. W dowodach zapisz liczby ogólnie ($2k$, $n+1$, ...) i wyciągnij wspólny czynnik.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ $411$ nie dzieli się przez 3✓ $4+1+1=6$, dzieli sięo podzielności przez 3 decyduje suma cyfr
✗ $1$ jest liczba pierwsza✓ $1$ nie jest pierwszaliczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki
✗ $\mathrm{NWW}(6,8)=48$✓ $\mathrm{NWW}(6,8)=24$$6=2\cdot3$, $8=2^3$, NWW$=2^3\cdot3=24$
✗ reszta z $100:7$ to $3$✓ reszta to $2$ (bo $7\cdot14=98$)szukaj najbliższej mniejszej wielokrotności
✗ liczba konczaca się na $4$ dzieli się przez 4✓ decydują dwie ostatnie cyfrynp. $514$: $14$ nie dzieli się przez 4

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 5 (dowód/podzielność) z matury podstawowej

Reszta z dzielenia liczby $100$ przez $7$ jest równa

A. $2$
B. $3$
C. $1$
D. $5$

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2022zad. 271 pkt
2023zad. 32 pkt$(2n+1)^2-1$
2024zad. 32 pkt$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$
2026zad. 51 pkt$4^{12}\cdot5^{24}$
Działy w serwisie:Cechy podzielności liczb

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP28.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Przez $3$ dzieli się liczba

A$411$
B$124$
C$233$
D$502$
PP28.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Największy wspólny dzielnik liczb $24$ i $36$ jest równy

A$6$
B$12$
C$72$
D$4$
PP28.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $6$ i $8$ jest równa

A$48$
B$2$
C$24$
D$14$
PP28.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba pierwsza jest

A$21$
B$27$
C$33$
D$29$
PP28.5odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez $3$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt
PP28.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba dzielników naturalnych liczby $12$ jest równa

A$6$
B$4$
C$12$
D$5$
PP28.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Przez $4$ dzieli się liczba

A$314$
B$732$
C$526$
D$918$
PP28.8zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba parzysta i podzielna przez $5$ to

A$145$
B$312$
C$230$
D$405$
PP28.9zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Reszta z dzielenia $2^{5}$ przez $5$ jest równa

A$0$
B$1$
C$3$
D$2$
PP28.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczba parzysta.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PP28.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Przez $9$ dzieli się liczba

A$234$
B$251$
C$143$
D$320$
PP28.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Największy wspólny dzielnik liczb $15$ i $25$ jest równy

A$75$
B$5$
C$3$
D$1$
PP28.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $4$ i $6$ jest równa

A$24$
B$2$
C$12$
D$10$
PP28.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Przez $6$ dzieli się liczba

A$231$
B$124$
C$515$
D$342$
PP28.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Wyznacz resztę z dzielenia liczby $50$ przez $6$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas