PP03

Wartość bezwzględna i przedziały — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetBważny po opanowaniu filarów
Częstotliwość3/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszuśr. 0,4 pkt (0–1)
Formy zadańzamknięte ABCD z rysunkiem osi liczbowej
🔑 Sygnał: Moduł = odległość. „Mniejsze” → przedział wokół środka, „większe” → dwa ramiona.

🎯 Co musisz umieć

  • interpretować $|x-a|$ jako odległość liczby $x$ od liczby $a$ na osi,
  • rozwiązywać nierówności $|x-a|\lt r$, $|x-a|\gt r$ (także nieostre) i równania $|x-a|=r$,
  • przechodzić od rysunku na osi do nierówności z modułem i odwrotnie,
  • wyznaczać sumę i część wspólną przedziałów.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • rysunek osi liczbowej z zaznaczonym zbiorem i cztery nierówności z modułem do wyboru,
  • sformułowania „odległość liczby $x$ od $3$ jest mniejsza niż…”,
  • przedział symetryczny wokół pewnej liczby, np. $[-3,7]$ (środek $2$).

📘 Teoria w pigułce

  • $|x|=x$ dla $x\ge0$ oraz $|x|=-x$ dla $x\lt 0$; zawsze $|x|\ge0$.
  • $|x-a|$ = odległość $x$ od $a$. Uwaga: $|x+3|=|x-(-3)|$ — środkiem jest $-3$.
  • Przedział $[p,q]$ ma środek $\dfrac{p+q}2$ i „promień” $\dfrac{q-p}2$, więc $[p,q]$: $\left|x-\dfrac{p+q}{2}\right|\le\dfrac{q-p}{2}$.
  • $|x-a|\lt 0$ — brak rozwiązań; $|x-a|\ge0$ — każda liczba rzeczywista.

∑ Najważniejsze wzory

$|x-a|\lt r \iff a-r\lt x\lt a+r$
$|x-a|\gt r \iff x\lt a-r\ \text{lub}\ x\gt a+r$
$|x-a|=r \iff x=a-r\ \text{lub}\ x=a+r$
$|kx-m|\lt r \iff \left|x-\tfrac mk\right|\lt \tfrac rk$ ($k\gt 0$)

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Zapisz wyrażenie w postaci $|x-a|$ (wyciągnij współczynnik: $|2x-6|=2|x-3|$).
  2. Znak „$\lt $” lub „$\le$” → jeden przedział wokół $a$; „$\gt $” lub „$\ge$” → dwa ramiona.
  3. Znak nieostry → końce domknięte (kółko zamalowane), ostry → otwarte.
  4. Z rysunku: policz środek i promień przedziału, potem dobierz nierówność.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ $|x+3|\lt 2$: środek $3$✓ środek $-3$: $x\in(-5,-1)$$|x+3|=|x-(-3)|$
✗ $|x-1|\ge3 \Rightarrow x\in[-2,4]$✓ $x\le-2$ lub $x\ge4$„większe” → dwa ramiona
✗ $|2x-6|\lt 4 \Rightarrow |x-3|\lt 4$✓ $|x-3|\lt 2$promień też dzielimy przez 2
✗ $|x-5|\lt 0 \Rightarrow x=5$✓ brak rozwiązańmoduł nigdy nie jest ujemny

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 1 z matury 2023

Na osi liczbowej zaznaczono zbiór:
x−137
Zbiór ten jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
A. $|x-3|\ge4$
B. $|x+3|\ge4$
C. $|x-4|\ge3$
D. $|x-3|\le4$

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2026—0 pktbrak osobnego zadania
2025—0 pktbrak (zad. 6 — nierówność liniowa na osi, klucz PP08)
2024zad. 11 pktzbiór rozwiązań $|x-1|\ge3$ na osi liczbowej
2023zad. 11 pktzbiór $(-\infty,-2]\cup[5,\infty)$ z osi → nierówność z modułem
2022—0 pktbrak zadania z tego klucza
2021zad. 31 pktliczby całkowite należące jednocześnie do $(-\infty,5)$ i $[-1,+\infty)$
2020—0 pktbrak zadania z tego klucza
Działy w serwisie:Działania na przedziałachPrzedziałyWartość bezwzględna

✍️ Trening: 10 zadań w formacie maturalnym

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP03.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $|x-3|\lt 5$ jest

A$(-2,8)$
B$(-\infty,-2)\cup(8,\infty)$
C$(-8,2)$
D$[-2,8]$
PP03.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $|x+2|\ge4$ jest

A$[-6,2]$
B$(-\infty,-6]\cup[2,\infty)$
C$(-\infty,-2]\cup[6,\infty)$
D$(-\infty,-6)\cup(2,\infty)$
PP03.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiązaniami równania $|x-4|=6$ są liczby

A$-2$ i $10$
B$2$ i $10$
C$-10$ i $2$
Dtylko $10$
PP03.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Przedział $[-3,7]$ jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

A$|x-2|\le5$
B$|x+2|\le5$
C$|x-5|\le2$
D$|x-2|\ge5$
PP03.5zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $|2x-1|\ge3$ jest

A$(-\infty,-1]\cup[2,\infty)$
B$[-1,2]$
C$(-\infty,-2]\cup[1,\infty)$
D$(-\infty,-1)\cup(2,\infty)$
PP03.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Na osi liczbowej zaznaczono zbiór:
x−4−12
Jest to zbiór wszystkich rozwiązań nierówności

A$|x+1|\gt 3$
B$|x-1|\gt 3$
C$|x+1|\ge3$
D$|x+1|\lt 3$
PP03.7prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

  1. Nierówność $|x-5|\lt 0$ nie ma rozwiązań.
  2. Nierówność $|x|\le-1$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
PP03.8odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Wypisz wszystkie liczby całkowite spełniające nierówność $|x-1|\lt 3$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PP03.9zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $|\sqrt3-2|+|\sqrt3-1|$ jest równa

A$1$
B$2\sqrt3-3$
C$3-2\sqrt3$
D$-1$
PP03.10odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Dane są zbiory $A=[-3,5)$ oraz $B$ — zbiór rozwiązań nierówności $|x-4|\lt 3$. Wyznacz $A\cap B$ oraz $A\cup B$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 3,6 MB ⬇✍️Zadania10 zadań na klucz, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 2,2 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 4,1 MB ⬇
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas