PP02

Logarytmy — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetAbardzo ważny
Częstotliwość7/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszu1 pkt
Formy zadańzamknięte ABCD (niemal zawsze zadanie 3–4)
🔑 Sygnał: Współczynnik → do wykładnika, suma → iloczyn, różnica → iloraz; na końcu argument jako potęga podstawy.

🎯 Co musisz umieć

  • stosować definicję logarytmu: $\log_a b=c \iff a^c=b$,
  • obliczać logarytm liczby, która jest potęgą podstawy — także gdy podstawa jest pierwiastkiem lub ułamkiem,
  • stosować wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi,
  • wprowadzać współczynnik do wykładnika: $k\log_a x=\log_a x^k$.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • „Liczba $\log_{\dots}\dots$ jest równa” — suma lub różnica logarytmów o tej samej podstawie,
  • współczynnik przed logarytmem ($2\log_3 2$) — trzeba go „wciągnąć” do potęgi,
  • nietypowa podstawa: $\sqrt3$, $8$, $\tfrac12$ — zapisz podstawę i argument jako potęgi tej samej liczby.

📘 Teoria w pigułce

  • $\log_a b$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść $a$, żeby otrzymać $b$. Warunki: $a\gt 0$, $a\ne1$, $b\gt 0$.
  • $\log_a 1=0$, $\log_a a=1$, $a^{\log_a b}=b$. Logarytm dziesiętny: $\log b=\log_{10}b$.
  • Gdy $a=p^m$ i $b=p^n$, to $\log_a b=\dfrac nm$, np. $\log_8 4=\log_{2^3}2^2=\dfrac23$.

∑ Najważniejsze wzory

$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$
$\log_a\dfrac xy=\log_a x-\log_a y$
$\log_a x^k=k\log_a x$
$\log_a a^p=p$
$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Sprawdź, czy wszystkie logarytmy mają tę samą podstawę.
  2. Współczynniki przenieś do wykładnika: $2\log_3 2=\log_3 4$.
  3. Połącz w jeden logarytm: suma → iloczyn argumentów, różnica → iloraz.
  4. Zapisz argument (i ewentualnie podstawę) jako potęgę tej samej liczby i odczytaj wykładnik.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ $\log_3 108-2\log_3 2=\log_3 104$✓ $\log_3 108-\log_3 4=\log_3 27=3$najpierw współczynnik do potęgi, różnica → iloraz
✗ $\log(x+y)=\log x+\log y$✓ $\log(xy)=\log x+\log y$suma logarytmów = logarytm iloczynu
✗ $\log_9 3=3$✓ $\log_9 3=\dfrac12$, bo $9^{\frac12}=3$logarytm to wykładnik
✗ $2\log_5 3=\log_5 6$✓ $2\log_5 3=\log_5 9$współczynnik → wykładnik, nie mnożnik argumentu
✗ $\log_4 2-\log_4 32=\log_4(-30)$✓ $\log_4\dfrac{2}{32}=\log_4\dfrac1{16}=-2$różnica logarytmów ≠ logarytm różnicy

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 3 z matury 2025

Liczba $\log_5 150-2\log_5\sqrt6$ jest równa
A. $2$
B. $\log_5 138$
C. $25$
D. $\log_5 144$

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2026zad. 41 pkt$\log_8 4-\log_8 32$
2025zad. 31 pkt$\log_3 108-2\log_3 2$
2024zad. 41 pkt$\log_{\sqrt3}9$
2023zad. 41 pkt$\log_9 27+\log_9 3$
2022zad. 31 pkt$4\log_4 2+2\log_4 8$
2021zad. 41 pkt$2\log\sqrt{10}+\log10^3$
2020zad. 31 pkt$\log_5\sqrt{125}$
Działy w serwisie:Logarytm i jego własnościLogarytmWłasności logarytmów

✍️ Trening: 10 zadań w formacie maturalnym

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP02.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log_2 32$ jest równa

A$16$
B$5$
C$\dfrac15$
D$30$
PP02.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log_3 81-\log_3 3$ jest równa

A$\log_3 78$
B$3$
C$27$
D$4$
PP02.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log_9 3$ jest równa

A$3$
B$\dfrac13$
C$\dfrac12$
D$2$
PP02.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log_{\sqrt2} 8$ jest równa

A$6$
B$\dfrac32$
C$4$
D$3\sqrt2$
PP02.5zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log_4 2-\log_4 32$ jest równa

A$-2$
B$2$
C$\log_4(-30)$
D$-\dfrac12$
PP02.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $2\log_3 6-\log_3 4$ jest równa

A$2$
B$\log_3 8$
C$\log_3 32$
D$1$
PP02.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $x$ spełniająca równanie $\log_x 49=2$ jest równa

A$7$
B$-7$ lub $7$
C$24{,}5$
D$49^2$
PP02.8prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

  1. $\log_2 12-\log_2 3=2$
  2. $\log_5 10+\log_5 2{,}5=\log_5 12{,}5$

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
PP02.9odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Wiadomo, że $a=\log_2 5$. Zapisz liczbę $\log_2 40$ za pomocą $a$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PP02.10odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Wiadomo, że $\log_a 2=0{,}3$ oraz $\log_a 3=0{,}5$. Oblicz $\log_a 72$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 3,6 MB ⬇✍️Zadania10 zadań na klucz, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 2,2 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 4,1 MB ⬇
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas