PP24

Statystyka: średnia, mediana, dominanta — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetAbardzo ważny

Częstotliwość7/7arkuszy 2020–2026

Punkty w arkuszuśr. 1,7 pkt (1–3)

Formy zadańzamknięte ABCD, P/F, otwarte 2 pkt (dane z diagramu)

🔑 Sygnał: Suma = $n\cdot\bar x$. Mediana: posortuj, licz pozycje. Dominanta to wartość.

🎯 Co musisz umieć

obliczać średnią arytmetyczną i ważoną, medianę i dominantę (także z tabeli/diagramu),
wyznaczać brakującą daną ze znanej średniej,
przewidywać zmianę średniej po przekształceniu danych ($2a$, $a+1$, dodanie liczby),
obliczać odchylenie standardowe prostego zestawu danych.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

diagram słupkowy „ocena — liczba uczniów” → dane z powtórzeniami, mediana z pozycji,
„średnia … jest równa …; oblicz $x$” → równanie z sumą,
„średnia liczb $2a, 2b, \dots$” → własności średniej.

📘 Teoria w pigułce

Średnia: $\bar x=\frac{x_1+\dots+x_n}{n}$ — zatem suma danych $=n\cdot\bar x$.
Mediana: uporządkuj dane; $n$ nieparzyste — środkowa wartość, $n$ parzyste — średnia dwóch środkowych (pozycje $\frac n2$ i $\frac n2+1$).
Dominanta: wartość występująca najczęściej (może być kilka).
Pomnożenie wszystkich danych przez $k$ mnoży średnią przez $k$; dodanie $c$ do wszystkich danych zwiększa średnią o $c$.
Odchylenie standardowe: $\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar x)^2+\dots+(x_n-\bar x)^2}{n}}$.

∑ Najważniejsze wzory

$\bar x=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$

$\bar x_w=\dfrac{w_1x_1+\ldots+w_nx_n}{w_1+\ldots+w_n}$

$\sigma^2=\dfrac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n}$

mediana: pozycje $\tfrac n2$, $\tfrac n2+1$

⚙️ Algorytm krok po kroku

Z diagramu wypisz dane jako tabelę „wartość — liczebność” i policz $n$.
Średnia: suma (wartość · liczebność) przez $n$.
Mediana: licz narastająco liczebności, aż dojdziesz do pozycji środkowych.
Sprawdź: mediana i dominanta to wartości danych (nie liczebności!).

⚠️ Najczęstsze pułapki

Źle	Dobrze	Dlaczego
✗ mediana z nieuporządkowanych danych	✓ najpierw uporządkuj	środek listy posortowanej
✗ dominanta = największa liczebność ($6$)	✓ dominanta = wartość o największej liczebności	wartość, nie liczba osób
✗ średnia z diagramu: średnia wysokości słupków	✓ $\frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i}$	ważymy liczebnościami
✗ $n=20$: mediana to $10$. wartość	✓ średnia $10.$ i $11.$ wartości	n parzyste

✍️ Przykład wzorcowy typ zadań 29–30 z matur 2023–2025

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu: ocena $1$ — $2$ uczniów, $2$ — $4$, $3$ — $7$, $4$ — $5$, $5$ — $2$. Oblicz średnią i medianę ocen.

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

Rok	Zadania	Pkt	Czego dotyczyło
2026	zad. 31, 32	2 pkt	P/F o średnich i medianach dwóch klas; średnia siedmiu liczb z dwóch grup
2025	zad. 29, 30	3 pkt	suma $x+y$ ze średniej; dane z diagramu (2 pkt)
2024	zad. 28, 29	2 pkt	średnia liczb $a,a,b,b,c,c$; mediana z diagramu
2023	zad. 29	2 pkt	mediana i średnia cen z diagramu
2022	zad. 28	1 pkt	średnia zestawu $2x,\ 4,\ 6,\ 8,\ 11,\ 13$
2021	zad. 28	1 pkt	mediana ciągu niemalejącego z parametrem
2020	zad. 23	1 pkt	mediana zestawu $2,\ 3,\ a,\ 8$

Działy w serwisie:Mediana, skala centylowa i dominanta Odchylenie standardowe Średnia arytmetyczna Średnia ważona

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP24.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Średnia arytmetyczna liczb $2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 10$ jest równa

A$5$

B$4$

C$4{,}5$

D$25$

PP24.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Mediana danych $7,\ 1,\ 9,\ 3,\ 5,\ 8$ jest równa

A$5$

B$6$

C$7$

D$5{,}5$

PP24.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Dominanta danych $3,\ 5,\ 5,\ 2,\ 7,\ 5,\ 3$ jest równa

A$3$

B$4$

C$5$

D$7$

PP24.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Średnia arytmetyczna liczb $a,\ b,\ c,\ d$ jest równa $5$. Średnia arytmetyczna liczb $2a,\ 2b,\ 2c,\ 2d,\ 10$ jest równa

A$12$

B$8$

C$11$

D$10$

PP24.5zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Średnia arytmetyczna liczb $2,\ 4,\ 6,\ x,\ y$ jest równa $5$. Suma $x+y$ jest równa

A$13$

B$3$

C$8$

D$25$

PP24.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Oceny ze sprawdzianu: ocena $2$ — $3$ uczniów, $3$ — $5$ uczniów, $4$ — $6$ uczniów, $5$ — $4$ uczniów, $6$ — $2$ uczniów. Mediana ocen jest równa

A$3{,}5$

B$4$

C$3$

D$6$

PP24.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Uczeń otrzymał ocenę $5$ ze sprawdzianu (waga $3$), ocenę $4$ z kartkówki (waga $2$) i ocenę $3$ z odpowiedzi (waga $1$). Średnia ważona tych ocen jest równa

A$4$

B$4{,}5$

C$\tfrac{13}{3}$

D$\tfrac{26}{3}$

PP24.8prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Dane są liczby $2,\ 4,\ 4,\ 6,\ 9$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

Średnia arytmetyczna tych liczb jest większa od ich mediany.
Dominanta tych liczb jest równa $6$.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P

P/F1. P, 2. F

F/P1. F, 2. P

F/F1. F, 2. F

PP24.9odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Oblicz odchylenie standardowe danych: $2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

PP24.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

W teście $24$ uczniów uzyskało następujące liczby punktów: $1$ pkt — $3$ uczniów, $2$ pkt — $6$ uczniów, $3$ pkt — $7$ uczniów, $4$ pkt — $4$ uczniów, $5$ pkt — $4$ uczniów. Oblicz średnią i medianę liczby punktów.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

PP24.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Średnia arytmetyczna liczb $3, 5, 10, 14$ jest równa

A$7{,}5$

B$32$

C$10$

D$8$

PP24.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Mediana zbioru liczb $8, 2, 6, 4, 10, 12$ jest równa

A$7$

B$6$

C$8$

D$5$

PP24.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Dominanta zbioru $2,3,3,4$ jest równa

A$2$

B$3$

C$4$

D$3{,}5$

PP24.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rozstęp zbioru liczb $-3, 7, 2, 11, 0$ jest równy

A$8$

B$11$

C$14$

D$4$

PP24.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Dane są liczby $5, 3, 8, 3, 6, 9, 3, 7$. Podaj medianę i dominantę.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 1,3 MB ⬇✍️Zadaniazadania do każdego klucza, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 6,1 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 3,5 MB ⬇

🎯 Co musisz umieć

🔍 Jak rozpoznać zadanie

📘 Teoria w pigułce

∑ Najważniejsze wzory

⚙️ Algorytm krok po kroku

⚠️ Najczęstsze pułapki

✍️ Przykład wzorcowy typ zadań 29–30 z matur 2023–2025

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Pobierz PDF — matura podstawowa

Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje