PP36

Własności logarytmów w zadaniach — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetBważny po opanowaniu filarów
Częstotliwość4/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszu1 pkt
Formy zadańzamknięte ABCD (obliczenia z logarytmami)
🔑 Sygnał: Suma logarytmów -> logarytm iloczynu, różnica -> ilorazu, współczynnik -> wykładnik.

🎯 Co musisz umieć

  • stosować $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ i $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$,
  • wciagac współczynnik do wykładnika: $k\log_a x=\log_a x^k$,
  • korzystać z $\log_a 1=0$, $\log_a a=1$,
  • obliczać logarytmy dziesiętne i o różnych podstawach.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • suma/różnica logarytmów o tej samej podstawie - połącz w jeden logarytm,
  • współczynnik przed logarytmem - 'wciagnij' go do potęgi argumentu,
  • $\log_a a^k$ - wynik to po prostu $k$.

📘 Teoria w pigułce

  • $\log_a b$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść $a$, aby otrzymać $b$. Warunki: $a>0$, $a\ne1$, $b>0$.
  • Własności: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$, $\log_a x^k=k\log_a x$.
  • $\log_a 1=0$, $\log_a a=1$, logarytm dziesiętny $\log b=\log_{10} b$.

∑ Najważniejsze wzory

$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$
$\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$
$\log_a x^k=k\log_a x$
$\log_a a=1,\ \log_a 1=0$
$\log_a a^k=k$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Sprowadź logarytmy do tej samej podstawy.
  2. Współczynniki wciagnij do wykładnika.
  3. Połącz sumy/różnice w jeden logarytm.
  4. Zapisz argument jako potęgę podstawy i odczytaj wynik.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ $\log_2 8=4$✓ $\log_2 8=3$ (bo $2^3=8$)logarytm to wykładnik
✗ $\log_3 9+\log_3 3=\log_3 12$✓ $=\log_3 27=3$suma logarytmów = logarytm iloczynu
✗ $\log 5+\log 2=\log 7$✓ $=\log 10=1$$5\cdot2=10$, nie $5+2$
✗ $2\log_3 6=\log_3 12$✓ $=\log_3 36$współczynnik idzie do wykładnika: $6^2$
✗ $\log_2\tfrac18=3$✓ $=-3$ (bo $2^{-3}=\tfrac18$)ułamek daje ujemny wykładnik

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 3 z matury podstawowej

Liczba $\log_3 9+\log_3 3$ jest równa

A. $3$
B. $\log_3 12$
C. $1$
D. $27$

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2023zad. 11 pkt$\log_{9}27+\log_{9}3$
2024zad. 41 pkt$\log_{\sqrt3}9$
2025zad. 11 pkt$(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2$
2026zad. 41 pkt$\log_8 4-\log_8 32$
Działy w serwisie:Logarytm i jego własnościWłasności logarytmów

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP36.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log_2 8$ jest równa

A$3$
B$4$
C$16$
D$2$
PP36.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log 5+\log 2$ jest równa

A$\log 7$
B$1$
C$10$
D$0$
PP36.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log_{10} 1000$ jest równa

A$100$
B$10$
C$3$
D$1$
PP36.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log_2 32-\log_2 4$ jest równa

A$8$
B$28$
C$5$
D$3$
PP36.5odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Oblicz $\log_2 48-\log_2 3$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt
PP36.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $3\log_2 4-\log_2 8$ jest równa

A$3$
B$-1$
C$6$
D$2$
PP36.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log_2\dfrac18$ jest równa

A$3$
B$-3$
C$\dfrac18$
D$-\dfrac18$
PP36.8zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log_7 7$ jest równa

A$0$
B$7$
C$1$
D$49$
PP36.9zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log_3 27+\log_3\dfrac13$ jest równa

A$3$
B$4$
C$1$
D$2$
PP36.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Wykaż, że $\log_6 2+\log_6 3=1$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PP36.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log_2 16$ jest równa

A$4$
B$8$
C$2$
D$16$
PP36.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log_3 9+\log_3 3$ jest równa

A$\log_3 12$
B$3$
C$1$
D$27$
PP36.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log 5+\log 20$ jest równa

A$\log 25$
B$1$
C$2$
D$25$
PP36.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Liczba $\log_2 64-\log_2 8$ jest równa

A$8$
B$56$
C$2$
D$3$
PP36.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Oblicz $\log_3 54-\log_3 2$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 1,3 MB ⬇✍️Zadaniazadania do każdego klucza, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 6,1 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 3,5 MB ⬇
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas