PP34

Wielomiany i równania wielomianowe — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetBważny po opanowaniu filarów
Częstotliwość5/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszu1 pkt
Formy zadańzamknięte ABCD i krótka odpowiedź
🔑 Sygnał: Rozłóż na czynniki i przyrównaj każdy do zera: iloczyn $=0$, gdy któryś czynnik $=0$.

🎯 Co musisz umieć

  • określać stopień wielomianu,
  • rozkładać wielomian na czynniki (wyłączanie, wzory skróconego mnożenia),
  • rozwiązywać równania w postaci iloczynowej,
  • obliczać wartość wielomianu dla danego argumentu.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • równanie z iloczynem $=0$ - każdy czynnik przyrównaj do zera,
  • 'ile rozwiązań' - policz różne pierwiastki (czynnik bez pierwiastków, np. $x^2+25$, pomijasz),
  • $W(a)$ - podstaw $a$ za $x$.

📘 Teoria w pigułce

  • Stopień wielomianu to najwyższa potęga zmiennej. Iloczyn jest zerem, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem.
  • Rozkład przez wyłączenie: $x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$.
  • Czynnik typu $x^2+a$ (z $a>0$) nie ma pierwiastków rzeczywistych - nie daje rozwiązań.

∑ Najważniejsze wzory

$a\cdot b=0\iff a=0\ \lor\ b=0$
$x^2-a^2=(x-a)(x+a)$
$x^3-x=x(x-1)(x+1)$
$x^2+a>0$ dla $a>0$
suma pierwiastków $x^2+px+q$: $-p$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Przenieś wszystko na jedną stronę (równanie $=0$).
  2. Rozłóż wielomian na czynniki.
  3. Przyrównaj każdy czynnik do zera.
  4. Zbierz różne pierwiastki rzeczywiste.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ $2x(x^2+25)=0$ ma trzy rozwiązania✓ ma jedno: $x=0$$x^2+25>0$ nie ma pierwiastków
✗ stopień $3x^4-2x$ to $1$✓ to $4$stopień = najwyższa potęga
✗ $x(x-3)=0\Rightarrow x=3$✓ $x=0$ lub $x=3$nie gub pierwiastka $x=0$
✗ $x^2-9=0\Rightarrow x=3$✓ $x=3$ lub $x=-3$różnica kwadratów daje dwa pierwiastki
✗ $W(2)$ to wartość dla $x=W$✓ $W(2)$ - podstaw $2$ za $x$argument w nawiasie

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania z równaniem iloczynowym z matury podstawowej

Równanie $x(x-3)(x+2)=0$ ma rozwiązania

A. $0,\ 3,\ -2$
B. $3,\ -2$
C. $0,\ -3,\ 2$
D. $0,\ 3,\ 2$

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2022zad. 61 pkt$x^4-3x^3+3\lt0$
2023zad. 93 pkt$3x^3-2x^2-12x+8=0$
2024zad. 81 pkt$W(x)=3x^3+6x^2+9x$
2025zad. 71 pkt$2x(x+3)\left(x^{2}+25\right)=0$

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP34.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Stopień wielomianu $W(x)=3x^4-2x+1$ jest równy

A$4$
B$3$
C$1$
D$9$
PP34.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Równanie $(x-1)(x+4)=0$ ma rozwiązania

A$-1$ i $4$
B$1$ i $-4$
C$1$ i $4$
D$-1$ i $-4$
PP34.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Równanie $x^2(x-5)=0$ ma rozwiązania

A$5$
B$0$ i $-5$
C$0$ i $5$
D$2$ i $5$
PP34.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Równanie $2x(x^2+25)=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Adwa rozwiązania
Btrzy rozwiązania
Cbrak rozwiązań
Djedno rozwiązanie
PP34.5odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiąż równanie $x^3-4x=0$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt
PP34.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Dla $W(x)=x^3-3x+1$ wartość $W(2)$ jest równa

A$3$
B$1$
C$5$
D$-1$
PP34.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Wielomian $x^3-x$ rozkłada się na

A$x(x^2+1)$
B$x(x-1)(x+1)$
C$(x-1)(x+1)$
D$x^2(x-1)$
PP34.8zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Suma pierwiastków równania $x^2-7x+10=0$ jest równa

A$10$
B$-7$
C$7$
D$3$
PP34.9zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Równanie $x^2-16=0$ ma rozwiązania

A$4$
B$-16$ i $16$
C$2$ i $8$
D$-4$ i $4$
PP34.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Rozwiąż równanie $x^3+2x^2-3x=0$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PP34.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Stopień wielomianu $2x^5-x$ jest równy

A$5$
B$2$
C$1$
D$6$
PP34.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Równanie $(x+2)(x-5)=0$ ma rozwiązania

A$2$ i $-5$
B$-2$ i $5$
C$2$ i $5$
D$-2$ i $-5$
PP34.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Równanie $x^2(x-3)=0$ ma rozwiązania

A$3$
B$0$ i $-3$
C$0$ i $3$
D$2$ i $3$
PP34.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Dla $W(x)=x^3-2x$ wartość $W(2)$ jest równa

A$6$
B$2$
C$8$
D$4$
PP34.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiąż równanie $x^3-9x=0$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas