Dla każdej liczby całkowitej $k$ liczbą nieparzystą jest
| Źle | Dobrze | Dlaczego |
|---|---|---|
| ✗ „Dla $n=1,2,3$ działa, więc prawda” | ✓ dowód ogólny dla dowolnego $n$ | przykłady nie są dowodem |
| ✗ $7n(n+3)$ … „więc podzielne przez 14” | ✓ $n(n+3)$ parzyste $\Rightarrow 7n(n+3)=14m$ | brak uzasadnienia parzystości = 1 pkt |
| ✗ $3n^2+6n+5=3(n^2+2n+1)+2$ bez komentarza | ✓ … $=3m+2$, gdzie $m=n^2+2n+1\in\mathbb Z$ | nazwij całkowitą liczbę $m$ |
| ✗ rachunek bez wniosku | ✓ „Zatem liczba jest podzielna przez 8.” | zdanie końcowe jest częścią dowodu |
| Rok | Zadania | Pkt | Czego dotyczyło |
|---|---|---|---|
| 2026 | zad. 7 | 2 pkt | $7n^2+21n$ podzielne przez $14$ ($n$ całkowite) |
| 2025 | zad. 5 | 2 pkt | $3n^2+2n+7$ podzielne przez $4$ ($n$ nieparzyste) |
| 2024 | zad. 3 | 2 pkt | $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$ daje resztę $2$ z dzielenia przez $3$ |
| 2023 | zad. 3 | 2 pkt | $(2n+1)^2-1$ podzielne przez $8$ |
| 2022 | zad. 31 | 2 pkt | dowód nierówności z wyrażeniem $a^2+b^2$ |
| 2021 | zad. 30 | 2 pkt | $\frac ab\lt \frac{a+c}{b+c}$ dla $0\lt a\lt b$ i $c\gt 0$ |
| 2020 | zad. 28 | 2 pkt | $a(a-2b)+2b^2\gt 0$ dla $a\ne b$ |
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Dla każdej liczby całkowitej $k$ liczbą nieparzystą jest
Dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n(n+1)$ jest
Liczba $3n+7$, gdzie $n$ jest liczbą naturalną, przy dzieleniu przez $3$ daje resztę
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $(n+3)^2-(n-3)^2$ jest podzielna przez $12$.
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $n^2+3$ jest podzielna przez $4$.
Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $1$.
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $3n^2+9n$ jest podzielna przez $6$.
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n^3-n$ jest podzielna przez $6$.
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej $n$ liczba $n^2-1$ jest podzielna przez $8$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.